Дифференциальные уравнения, допускающие понижение степени

Дифференциальное уравнение явно не содержит $y$ и производные до $k-1$ порядка

В этом случае уравнение решается путем замены

$y^{(k)}=p(x)$

$y^{(k+1)}=p^\prime (x)$
…
$y^{(n)}=p^{(n-k)} (x)$

Пример

$y'=x^2+x$

Делаем замену

$y^\prime =p(x)$

$y' =p^\prime (x)$

Получаем уравнение первого порядка

$p'=x^2+x$

$\frac{dp}{dx}=x^2+x$

$dp=\left(x^2+x\right)dx$

$\int dp=\int\left(x^2+x\right)dx$

$p=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+C_1$

Делаем обратную замену

$y^\prime=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+C_1$

$\frac{dy}{dx}=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+C_1$

$dy=\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+C_1\right)dx$

$\int dy=\int\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+C_1\right)dx$

$y=\frac {x^{4}}{{12}+\frac{x^3}{6}+C_1 x+C_2}$

Дифференциальное уравнение явно не содержит $x$

В данном случае используют замену

$y' = p(y)$

$y' = p' (y) p(y)$$

Пример

$y'=y$

Делаем вышеуказанную замену

$p^\prime p =y$

$\frac{dp}{dy}p=y$

$pdp=ydy$

$\int pdp=\int ydy$

$\frac{p^2}{2}= \frac{y^2}{2}+C_1$

Делаем обратную замену

$y^\prime=\frac{y^2}{2}+C_1$

$\frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{2}+C_1$

$\frac {dy}{\frac{y^2}{2}+C_1}=dx$

$\int\frac {dy}{\frac{y^2}{2}+C_1}=\int dx$

$\frac{1}{\sqrt C_1} arctg \frac{y}{\sqrt C_1}+C_2=x$

Статья по математике на заказ от проверенных исполнителей!