Дифференциальные уравнения первого порядка
Содержание
Уравнения с разделяющимися переменными
Разделение переменных подразумевает возможность преобразования исходного дифференциального уравнения таким образом, что в левой части уравнения находятся и , а в правой .
Пример
Делим обе части на , а выражение производной записываем как . Получаем
Теперь домножаем на , чтобы в обеих частях уравнения получились дифференциалы
Теперь обе части можно интегрировать
Однородные уравнения
Однородные уравнения в виде приводятся к уравнению с разделяющимися переменными при помощи замены
Пример
Делим обе части на
Теперь можно сделать замену
Разделяем переменные
Уравнения Бернулли
Уравнение Бернулли в общем виде записывается как
Обычно его решают заменой
Пример
Делаем замену
В левой части уравнения для второго и третьего слагаемых вынесем за скобки .
Приравняем полученную скобку к нулю и найдем ненулевое частное решение уравнения
Подставляем полученную функцию в уравнение
Подставляем в выражение для