Дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнения с разделяющимися переменными

Разделение переменных подразумевает возможность преобразования исходного дифференциального уравнения таким образом, что в левой части уравнения находятся $y^\prime$ и $f(y)$, а в правой $g(x)$.

Пример

$e^x y^\prime=\sin^2 y$

Делим обе части на $e^x \cdot \sin^2 y$, а выражение производной записываем как $y^\prime =\frac{dy}{dx}$. Получаем

$\frac{dy}{dx} \cdot \frac{1}{\sin^2 y}=\frac{1}{e^x}$

Теперь домножаем на $dx$, чтобы в обеих частях уравнения получились дифференциалы

$\frac{dy}{\sin^2 y }=\frac{dx}{e^x}$

Теперь обе части можно интегрировать

$\int{\frac{dy}{\sin^2 y }}=\int{\frac{dx}{e^x}}$

$-ctg y=-e^{-x}+C$

$ctg y=e^{-x}+C$

$y= arcctg(e^{-x}+C)$

Однородные уравнения

Однородные уравнения в виде $y^\prime=f\left(\frac{y}{x}\right)$ приводятся к уравнению с разделяющимися переменными при помощи замены

$y=xu$

$y^\prime=u+u^\prime x$

Пример

$y^\prime x-y=x^2$

Делим обе части на $x$

$y^\prime -\frac{y}{x}=x$

Теперь можно сделать замену $y=xu$

$u^\prime x +u-u=x$

$u^\prime x =x$

Разделяем переменные

$\frac{du}{dx}\cdot x=x$

$\frac{du}{dx}=1$

$du=dx$

$\int du=\int dx$

$u=x+C$
$y=ux=(x+C)x=x^2+Cx$

Уравнения Бернулли

Уравнение Бернулли в общем виде записывается как

$y^\prime +p(x) y=q(x)y^n$

Обычно его решают заменой

$y=uv$

$y^\prime=u^\prime v+uv^\prime$

Пример

$y^\prime + xy=e^{\frac{1}{x}}y^2$

Делаем замену $y=uv$

$u^\prime v+uv^\prime + xuv= e^{\frac{1}{x}} (uv)^2$

В левой части уравнения для второго и третьего слагаемых вынесем за скобки $u$.

$u^\prime v+u(v^\prime + xv)= e^{\frac{1}{x}} (uv)^2$

Приравняем полученную скобку к нулю и найдем ненулевое частное решение уравнения

$v^\prime + xv=0$

$v^\prime =-xv$

$\frac{dv}{dx}=-xv$

$\frac{dv}{v}=-xdx$

$\int\frac{dv}{v}=-\int xdx$

$ln|v|= -\frac{x^2}{2}$

$v=e^{-\frac{x^2}{2}}$

Подставляем полученную функцию в уравнение

$u^\prime e^{-\frac{x^2}{2}}= e^{\frac{1}{x}} (u e^{-\frac{x^2}{2}})^2$

$\frac{du}{dx} e^{-\frac{x^2}{2}}= e^{\frac{1}{x}} (u e^{-\frac{x^2}{2}})^2$

$\frac{du}{dx} = e^{\frac{1}{x}}u^2 e^{-\frac{x^2}{2}}$

$\frac{du}{u^2} = e^{\frac{1}{x}} e^{-\frac{x^2}{2}}dx$

$\frac{du}{u^2} = e^{-\frac{x}{2}}dx$

$\int\frac{du}{u^2} = \int e^{-\frac{x}{2}}dx$

$-\frac{1}{u}=-2 e^{-\frac{x}{2}}+C$

$u= \frac{1}{2 e^{-\frac{x}{2}}+C}$

Подставляем в выражение для $y$

$y=uv=\frac{1}{2 e^{-\frac{x}{2}}+C } e^{-\frac{x^2}{2}}=\frac{ e^{-\frac{x^2}{2}}}{2 e^{-\frac{x}{2}}+C}$