256
13 Авг 2018 в 08:3113.08.2018 в 08:31

Дифференциальные уравнения первого порядка

Содержание

Уравнения с разделяющимися переменными

Разделение переменных подразумевает возможность преобразования исходного дифференциального уравнения таким образом, что в левой части уравнения находятся yy^\prime и f(y)f(y), а в правой g(x)g(x).

Пример

exy=sin2ye^x y^\prime=\sin^2 y

Делим обе части на exsin2ye^x \cdot \sin^2 y, а выражение производной записываем как y=dydxy^\prime =\frac{dy}{dx}. Получаем

dydx1sin2y=1ex\frac{dy}{dx} \cdot \frac{1}{\sin^2 y}=\frac{1}{e^x}

Теперь домножаем на dxdx, чтобы в обеих частях уравнения получились дифференциалы

dysin2y=dxex\frac{dy}{\sin^2 y }=\frac{dx}{e^x}

Теперь обе части можно интегрировать

dysin2y=dxex\int{\frac{dy}{\sin^2 y }}=\int{\frac{dx}{e^x}}

ctgy=ex+C-ctg y=-e^{-x}+C

ctgy=ex+Cctg y=e^{-x}+C

y=arcctg(ex+C)y= arcctg(e^{-x}+C)

Однородные уравнения

Однородные уравнения в виде y=f(yx)y^\prime=f\left(\frac{y}{x}\right) приводятся к уравнению с разделяющимися переменными при помощи замены

y=xuy=xu

y=u+uxy^\prime=u+u^\prime x

Пример

yxy=x2y^\prime x-y=x^2

Делим обе части на xx

yyx=xy^\prime -\frac{y}{x}=x

Теперь можно сделать замену y=xuy=xu

ux+uu=xu^\prime x +u-u=x

ux=xu^\prime x =x

Разделяем переменные

dudxx=x\frac{du}{dx}\cdot x=x

dudx=1\frac{du}{dx}=1

du=dxdu=dx

du=dx\int du=\int dx

u=x+Cu=x+C
y=ux=(x+C)x=x2+Cxy=ux=(x+C)x=x^2+Cx

Уравнения Бернулли

Уравнение Бернулли в общем виде записывается как

y+p(x)y=q(x)yny^\prime +p(x) y=q(x)y^n

Обычно его решают заменой

y=uvy=uv

y=uv+uvy^\prime=u^\prime v+uv^\prime

Пример

y+xy=e1xy2y^\prime + xy=e^{\frac{1}{x}}y^2

Делаем замену y=uvy=uv

uv+uv+xuv=e1x(uv)2u^\prime v+uv^\prime + xuv= e^{\frac{1}{x}} (uv)^2

В левой части уравнения для второго и третьего слагаемых вынесем за скобки uu.

uv+u(v+xv)=e1x(uv)2u^\prime v+u(v^\prime + xv)= e^{\frac{1}{x}} (uv)^2

Приравняем полученную скобку к нулю и найдем ненулевое частное решение уравнения

v+xv=0v^\prime + xv=0

v=xvv^\prime =-xv

dvdx=xv\frac{dv}{dx}=-xv

dvv=xdx\frac{dv}{v}=-xdx

dvv=xdx\int\frac{dv}{v}=-\int xdx

lnv=x22ln|v|= -\frac{x^2}{2}

v=ex22v=e^{-\frac{x^2}{2}}

Подставляем полученную функцию в уравнение

uex22=e1x(uex22)2u^\prime e^{-\frac{x^2}{2}}= e^{\frac{1}{x}} (u e^{-\frac{x^2}{2}})^2

dudxex22=e1x(uex22)2\frac{du}{dx} e^{-\frac{x^2}{2}}= e^{\frac{1}{x}} (u e^{-\frac{x^2}{2}})^2

dudx=e1xu2ex22\frac{du}{dx} = e^{\frac{1}{x}}u^2 e^{-\frac{x^2}{2}}

duu2=e1xex22dx\frac{du}{u^2} = e^{\frac{1}{x}} e^{-\frac{x^2}{2}}dx

duu2=ex2dx\frac{du}{u^2} = e^{-\frac{x}{2}}dx

duu2=ex2dx\int\frac{du}{u^2} = \int e^{-\frac{x}{2}}dx

1u=2ex2+C-\frac{1}{u}=-2 e^{-\frac{x}{2}}+C

u=12ex2+Cu= \frac{1}{2 e^{-\frac{x}{2}}+C}

Подставляем в выражение для yy

y=uv=12ex2+Cex22=ex222ex2+Cy=uv=\frac{1}{2 e^{-\frac{x}{2}}+C } e^{-\frac{x^2}{2}}=\frac{ e^{-\frac{x^2}{2}}}{2 e^{-\frac{x}{2}}+C}

Автор статьи
+1
-0
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

10 крутых способов заработать, если ты студент. Без финансовых пирамид, продажи косметики и ночных подработок в баре.
560 +131
1
Офисная работа с каждым днем становится все скучнее. Однообразный график работы, корпоративный стиль, одни и те же люди вокруг. Это все забавляет...
211 +66
1
Как совмещать учебу и работу? Пользователь Студворк делится опытом.
65 +65
0
Что советуют успешные предприниматели? Какие навыки нужны современному рынку труда?
160 +38
1
Какие профессии находятся на грани исчезновения?
447 +35
2
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ