Физический смысл производной

Содержание

В этой статье мы раскроем физический смысл понятия производной. Для этого рассмотрим пример, подтолкнувший Ньютона к созданию дифференциального и интегрального исчисления (вместе с Лейбницем, который подошел к этому вопросу с математической точки зрения).

Классическое определение производной

Рассмотрим функцию одной переменной y=f(x)y=f(x). Функция ff устанавливает зависимость между величинами xx и yy. Каждому значению независимой переменной xx ставится в соответствие определенное значение величины yy (yy есть функция от xx). Выберем теперь любое значение xx и обозначим его через x0x_0. Этому значению соответствует величина y0y_0: y0=f(x0)y_0=f(x_0). Придадим значению x0x_0 какое-то приращение Δx\Delta x и рассмотрим точку x0+Δxx_0+\Delta x. Этой точке будет соответствовать величина f(x0+Δx)f(x_0+\Delta x). Рассмотрим такое отношение:

f(x0+Δx)f(x0)Δx\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

Теперь нужно устремить приращение Δx\Delta x к нулю (перейти к пределу при Δx0\Delta x\rightarrow 0) и мы получим значение производной функции f(x)f(x) в точке x0x_0:

f(x0)=limΔx0f(x0+Δx)f(x0)Δx.f'(x_0)=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.

Осталось сказать, что значение x0x_0 мы выбирали произвольно и на его месте могла быть любая другая точка. Так что можно убрать нулевой индекс возле x0x_0 и написать просто:

f(x)=limΔx0f(x+Δx)f(x)Δx.f'(x)=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.

Это и есть производная функции f(x)f(x) в любой точке xx. Такую формулу вы видите почти во всех учебниках по математическому анализу (другое название дифференциального и интегрального исчисления). Ее часто бывает удобно переписать в следующем виде:

f(x)=dydxf'(x)=\frac{dy}{dx},

где буква dd обозначает бесконечно малое приращение, а величины dydy и dxdx называют дифференциалами соответственно величин yy и xx.

Смысл производной

Это отношение приращения функции к приращению аргумента (независимой переменной), при условии, что последнее стремится к нулю (становится сколь угодно малым).

Для тех, кто хоть немного представляет себе использование различных функций в физике, станет очевидным и физический смысл производной. Это просто скорость изменения какой то величины (функции).

Новый взгляд на понятие производной

Рассмотрим задачу, к которой приходят, как только начинают изучать физику. Это задача о движении тела и одной из главных его характеристик – скорости. Предположим (для простоты), что тело движется вдоль прямой и за время t=10t=10 с прошло расстояние l=50l=50 м. Что можно сказать о скорости vv данного тела? Простейшая формула физики говорит:

v=lt.v=\frac{l}{t}.

В нашем случае получаем, что v=5v=5 м/c. Казалось бы, что такая простая задача может иметь общего с производной и функциями? Из формулы v=l/tv=l/t можно выразить путь, который тело, двигаясь со скоростью vv, проходит за время tt:

l=vt.l=vt.

Смотрите, у нас есть функция l=l(t)l=l(t) – зависимость пройденного пути от времени. Давайте теперь попробуем найти производную от этой функции по ее аргументу (то есть по времени). Найдем величину:

l(t)=dldt=limΔt0l(t+Δt)l(t)Δt.\displaystyle l'(t)=\frac{dl}{dt}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{l(t+\Delta t)-l(t)}{\Delta t}.

Мы взяли и разделили приращение функции (бесконечно малого пути dldl, проходимого телом за бесконечно малое время dtdt) на приращение аргумента (время движения dtdt): разделили пройденное расстояние на время движения. Это и есть скорость движения. Мы даже видим, что размерность производной будет м/c. Таким образом, становится ясно, что производная действительно является скоростью изменения функции при изменении аргумента. В нашем случае в роли функции выступает путь, а в роли аргумента – время. Однако мы рассмотрели самый простой случай движения – с постоянной скоростью. Но самое интересное состоит в том, что какое бы сложное движение мы ни брали, его скорость всегда будет определяться как производная. Тут необходимо сделать некоторые обобщения. Например, если местоположение тела (материальной точки) задается радиус-вектором r(t){r}(t) как функция времени, то скорость этого тела v(t){v}(t) тоже будет вектором и по определению равна:

v(t)=dr(t)dt=limΔt0r(t+Δt)r(t)Δt.\displaystyle {v}(t)=\frac{d{r}(t)}{dt}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{{r}(t+\Delta t)-{r}(t)}{\Delta t}.

Этот пример можно было бы назвать самым типичным и наглядным для понимания физического смысла производной. Именно так и поступают многие авторы книг по математике и физике. Но существует масса других примеров. Производные встречаются на каждом шагу в разных разделах физики. Давайте рассмотрим еще некоторые из них. Просто для того, чтобы оценить всю важность понятия производной.

Другие примеры производных в физике

Ускорение

Вектор ускорения материальной точки – это производная от вектор-функции скорости точки по времени:

a=dfvdt{a}=\frac{df{v}}{dt}

Плотность вещества

Плотность объемного тела определяется как производная от массы данного тела по объему, занимаемому этой массой:

ρ=dmdV\rho=\frac{dm}{dV}

Сила

Вектор силы, действующий на тело, равен производной от вектора импульса тела по времени:

F=dpdt{F}=\frac{d{p}}{dt}

В этом утверждение состоит основной закон нерелятивистской динамики – второй закон Ньютона.

Мощность

Мощность равна производной от работы по времени:

P=dAdtP=\frac{dA}{dt}

Теплоемкость

Теплоемкость – это производная от количества теплоты по температуре:

C=dQdTC=\frac{dQ}{dT}

Сила тока

Сила тока равна производной от заряда, проходящего в проводнике по времени:

I=dqdtI=\frac{dq}{dt}

Как видите, производная – это очень важное и полезное понятие. Она позволяет формулировать многие физические утверждения и законы математически строго, точно, кратко и красиво.

+3
-0
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Делимся основными ошибками, которые из года в год допускают старшеклассники.
1404 +166
0
Как к ним подготовиться и что отвечать.
3340 +140
3
Признаки хорошего колледжа.
765 +104
0
Автор
Хотите выполнять заказы? Стать автором
Заказчик
Хотите заказать работу? Разместить заказ
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 33 747 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Напишем уникальную работу
Скидка 10%