396
20 Апр в 15:2520.04.2018 в 15:25

Физический смысл производной

Содержание

В этой статье мы раскроем физический смысл понятия производной. Для этого рассмотрим пример, подтолкнувший Ньютона к созданию дифференциального и интегрального исчисления (вместе с Лейбницем, который подошел к этому вопросу с математической точки зрения).

Классическое определение производной

Рассмотрим функцию одной переменной y=f(x)y=f(x). Функция ff устанавливает зависимость между величинами xx и yy. Каждому значению независимой переменной xx ставится в соответствие определенное значение величины yy (yy есть функция от xx). Выберем теперь любое значение xx и обозначим его через x0x_0. Этому значению соответствует величина y0y_0: y0=f(x0)y_0=f(x_0). Придадим значению x0x_0 какое-то приращение Δx\Delta x и рассмотрим точку x0+Δxx_0+\Delta x. Этой точке будет соответствовать величина f(x0+Δx)f(x_0+\Delta x). Рассмотрим такое отношение:

f(x0+Δx)f(x0)Δx\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

Теперь нужно устремить приращение Δx\Delta x к нулю (перейти к пределу при Δx0\Delta x\rightarrow 0) и мы получим значение производной функции f(x)f(x) в точке x0x_0:

f(x0)=limΔx0f(x0+Δx)f(x0)Δx.f'(x_0)=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.

Осталось сказать, что значение x0x_0 мы выбирали произвольно и на его месте могла быть любая другая точка. Так что можно убрать нулевой индекс возле x0x_0 и написать просто:

f(x)=limΔx0f(x+Δx)f(x)Δx.f'(x)=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.

Это и есть производная функции f(x)f(x) в любой точке xx. Такую формулу вы видите почти во всех учебниках по математическому анализу (другое название дифференциального и интегрального исчисления). Ее часто бывает удобно переписать в следующем виде:

f(x)=dydxf'(x)=\frac{dy}{dx},

где буква dd обозначает бесконечно малое приращение, а величины dydy и dxdx называют дифференциалами соответственно величин yy и xx.

Смысл производной

Это отношение приращения функции к приращению аргумента (независимой переменной), при условии, что последнее стремится к нулю (становится сколь угодно малым).

Для тех, кто хоть немного представляет себе использование различных функций в физике, станет очевидным и физический смысл производной. Это просто скорость изменения какой то величины (функции).

Новый взгляд на понятие производной

Рассмотрим задачу, к которой приходят, как только начинают изучать физику. Это задача о движении тела и одной из главных его характеристик – скорости. Предположим (для простоты), что тело движется вдоль прямой и за время t=10t=10 с прошло расстояние l=50l=50 м. Что можно сказать о скорости vv данного тела? Простейшая формула физики говорит:

v=lt.v=\frac{l}{t}.

В нашем случае получаем, что v=5v=5 м/c. Казалось бы, что такая простая задача может иметь общего с производной и функциями? Из формулы v=l/tv=l/t можно выразить путь, который тело, двигаясь со скоростью vv, проходит за время tt:

l=vt.l=vt.

Смотрите, у нас есть функция l=l(t)l=l(t) – зависимость пройденного пути от времени. Давайте теперь попробуем найти производную от этой функции по ее аргументу (то есть по времени). Найдем величину:

l(t)=dldt=limΔt0l(t+Δt)l(t)Δt.\displaystyle l'(t)=\frac{dl}{dt}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{l(t+\Delta t)-l(t)}{\Delta t}.

Мы взяли и разделили приращение функции (бесконечно малого пути dldl, проходимого телом за бесконечно малое время dtdt) на приращение аргумента (время движения dtdt): разделили пройденное расстояние на время движения. Это и есть скорость движения. Мы даже видим, что размерность производной будет м/c. Таким образом, становится ясно, что производная действительно является скоростью изменения функции при изменении аргумента. В нашем случае в роли функции выступает путь, а в роли аргумента – время. Однако мы рассмотрели самый простой случай движения – с постоянной скоростью. Но самое интересное состоит в том, что какое бы сложное движение мы ни брали, его скорость всегда будет определяться как производная. Тут необходимо сделать некоторые обобщения. Например, если местоположение тела (материальной точки) задается радиус-вектором r(t){r}(t) как функция времени, то скорость этого тела v(t){v}(t) тоже будет вектором и по определению равна:

v(t)=dr(t)dt=limΔt0r(t+Δt)r(t)Δt.\displaystyle {v}(t)=\frac{d{r}(t)}{dt}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{{r}(t+\Delta t)-{r}(t)}{\Delta t}.

Этот пример можно было бы назвать самым типичным и наглядным для понимания физического смысла производной. Именно так и поступают многие авторы книг по математике и физике. Но существует масса других примеров. Производные встречаются на каждом шагу в разных разделах физики. Давайте рассмотрим еще некоторые из них. Просто для того, чтобы оценить всю важность понятия производной.

Другие примеры производных в физике

Ускорение

Вектор ускорения материальной точки – это производная от вектор-функции скорости точки по времени:

a=dfvdt{a}=\frac{df{v}}{dt}

Плотность вещества

Плотность объемного тела определяется как производная от массы данного тела по объему, занимаемому этой массой:

ρ=dmdV\rho=\frac{dm}{dV}

Сила

Вектор силы, действующий на тело, равен производной от вектора импульса тела по времени:

F=dpdt{F}=\frac{d{p}}{dt}

В этом утверждение состоит основной закон нерелятивистской динамики – второй закон Ньютона.

Мощность

Мощность равна производной от работы по времени:

P=dAdtP=\frac{dA}{dt}

Теплоемкость

Теплоемкость – это производная от количества теплоты по температуре:

C=dQdTC=\frac{dQ}{dT}

Сила тока

Сила тока равна производной от заряда, проходящего в проводнике по времени:

I=dqdtI=\frac{dq}{dt}

Как видите, производная – это очень важное и полезное понятие. Она позволяет формулировать многие физические утверждения и законы математически строго, точно, кратко и красиво.

+0
-0
Комментарии
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Как защищать курсовую работу

О том, как преподнести себя публике и уберечь нервную систему (не только свою), представляя свое научное детище, – читайте в нашей статье.
132 +20
1

Кто в России счастлив на работе

Кто в России счастлив на работе?
359 +20
3

Антиплагиат: что это такое

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
3462 +17
0

Сессия досрочно

Можно ли сдать экзамены раньше срока?
1306 +15
1
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ