25
18 Апр в 11:02 18.04.2019 в 11:02

Формулы приведения

Содержание

Каждую тригонометрическую функцию углов π/2±α,π±α,3π/2±α,2π±απ/2 ± α, π ± α, 3π/2 ± α, 2π ± α можно выразить через тригонометрическую функцию угла αα. Покажем это сначала для синусов и косинусов.

Вывод формул приведения

Пусть αα – произвольный угол, выраженный в радианах. На единичном круге ему соответствует определенная точка АА, а углу παπ - α – точка ВВ:

формулы приведения.png

Опустив перпендикуляры АКАК на ось xx и BLBL на ось yy, получим два равных треугольника АОКАОК и BOBOL (так угол АОКАОК равен BOLBOL и ОА=ОВОА = ОВ). Поэтому OL=ОКOL = ОК и BL=АКBL = АК, то есть sin(π/2α)=OL=OK=cosαsin (π/2 - α) = OL = OK = cos α, cos(π/2α)=BL=АК=sinаcos (π/2 - α) = BL = АК = sin а.

Углам (π/2α)(π/2 - α) и (π/2+α)(π/2 + α) на единичной окружности соответствуют точки, симметричные относительно оси yy:

формулы приведения2.png

Их ординаты на уровне абсциссы противоположные. Поэтому sin(π/2+α)=cosαsin (π/2 + α) = cos α, cos(π/2+α)=sinаcos (π/2 + α) = -sin а.

Углам (πα)(π - α) и αα также соответствуют точки единичного круга, симметричные относительно оси yy:

формулы приведения3.png

Поэтому sin(πα)=sinα,cos(πα)=cosαsin (π - α) = sin α, cos (π - α) = -cos α.

Углам π+απ + α и αα (а также (3π/2α)(3π/2 - α), (π/2α)(π/2 - α), (3π/2+α)(3π/2 + α), (π/2+α)(π/2 + α)) соответствуют точки единичного круга, симметричные относительно начала координат:

формулы приведения4 2.png

Их ординаты противоположные и абсциссы противоположные. Поэтому:

sin(π+α)=sinα,cos(π+α)=cosαsin (π + α) = -sin α, cos (π + α) = -cos α,
sin(3π/2α)=sin(π/2α)=cosαsin (3π/2 - α) = -sin (π/2 - α) = -cos α,
cos(3π/2α)=cos(π/2α)=sinαcos (3π/2 - α) = -cos (π/2 - α) = -sin α,
sin(3π/2+α)=sin(π/2+α)=cosαsin (3π/2 + α)= -sin (π/2 + α) = -cos α,
cos(3π/2+α)=cos(π/2+α)=sinαcos (3π/2 + α) = -cos (π/2 + α) = sin α.

Углам 2πα2π - α и αα соответствуют точки единичного круга, симметричные относительно оси xx:

формулы приведения4.png

Их абсциссы находятся на одном уровне, а ординаты противоположны. Поэтому:

sin(2πα)=sinαsin (2π - α)= -sin α,
cos(2πα)=cosαcos (2π - α) = cos α

Углам 2π+a2π + a и aa соответствует одна и та же точка единичного круга, поэтому sin(2π+α)=sinαsin (2π + α) = sin α, cos(2π+α)=cosαcos (2π + α) = cos α.

Из предыдущих рассуждений имеем 16 формул.

Еще 16 подобных формул можно доказать для тангенса и котангенса:

tg(π/2α)=sin(π/2α):cos(π/2α)=cosα:sinα=ctgαtg(π/2 - α) = sin (π/2 - α) : cos (π/2 - α)= cos α : sin α = ctg α и т. д.

Все эти 32 формулы называют формулами приведения, потому что они дают возможность каждую тригонометрическую функцию произвольного угла (а следовательно - и числа) свести к тригонометрической функции острого угла.

Правило приведения

Запоминать каждую из этих формул нет необходимости, лучше пользоваться общим правилом.
Чтобы понятнее его сформулировать, договоримся синус считать кофункцией косинуса и наоборот, а тангенс – кофункцией котангенса и наоборот. Скажем также, что угол строящейся функции откладывается от горизонтального диаметра, если он имеет вид π±απ ± α или 2π±α2π ± α, или от вертикального диаметра, если он имеет вид π/2±απ/2 ± α или 3π/2±α3π/2 ± α.

Правило приведения

Если угол строящейся тригонометрической функции откладывается от вертикального диаметра, то ее заменяют кофункцией, если же от горизонтального диаметра, то ее название не меняют. Знак ставим такой, который имеет значение строящейся функции при условии, что угол αα острый.

Пользуясь правилом сведения, мы только для удобства принимаем, что угол αα острый. На самом деле в каждой из формул сведения под переменной αα можно понимать и степень произвольного угла, в том числе отрицательного, и любое действительное число.

Формулам сведения можно отнести также тождества:

cos(α)=cosα,sin(α)=sinα,tg(α)=tgα,ctg(α)=ctgαcos (-α) = cos α, sin (-α) = -sin α, tg (-α) = -tgα, ctg (-α) = -ctg α.

Автор статьи
+0
-0
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Мы изучили несколько самых необычных предложений насчет ЕГЭ и решили пофантазировать, что будет, если их решат принять.
28810 +3559
0
Что делать, если не сдал ЕГЭ?
8734 +339
0
Блоги, стажировки, собственные проекты – возможностей масса, но что выбрать?
584 +214
0
Почему Оксфорд был самым опасным городом в Средние века?
308 +84
0
Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
8087 +70
6
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку более 30 355 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут