264
1 Авг в 10:3201.08.2018 в 10:32

Градиент функции. Производная по направлению

Содержание

Пусть F(x,y,z)F(x,y,z) – функция трех переменных, (x,y,z)(x,y,z) – декартовы координаты.

Градиентом функции F(x,y,z)F(x,y,z) называется векторное поле

F(x,y,z)=Fxi+Fyj+Fzk, \nabla F(x,y,z)=\frac{\partial F}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial F}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial F}{\partial z}\mathbf{k},

где Fx\frac{\partial F}{\partial x}, Fy\frac{\partial F}{\partial y} и Fz\frac{\partial F}{\partial z}частные производные функции F(x,y,z)F(x,y,z), а i\mathbf{i}, j\mathbf{j} и k\mathbf{k} – базис декартовой системы координат (x,y,z)(x,y,z).

Иногда градиент обозначается так: gradF(x,y,z)\operatorname{grad} F(x,y,z).

Градиент функции в данной точке показывает направление наибольшего роста функции.

Пример 1

Найти градиент функции F(x,y,z)=ln(x2+y2+z2)F(x,y,z)=\ln(x^2+y^2+z^2) в точке M(1,2,3)M(1,2,3).

Вычислим частные производные:
Fx=xln(x2+y2+z2)=2xx2+y2+z2, \frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\ln(x^2+y^2+z^2)=\frac{2x}{x^2+y^2+z^2},

Fy=yln(x2+y2+z2)=2yx2+y2+z2, \frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\ln(x^2+y^2+z^2)=\frac{2y}{x^2+y^2+z^2},

Fz=zln(x2+y2+z2)=2zx2+y2+z2. \frac{\partial F}{\partial z}=\frac{\partial }{\partial z}\ln(x^2+y^2+z^2)=\frac{2z}{x^2+y^2+z^2}.

Градиент в точке M(1,2,3)M(1,2,3) (подставляем в формулы для частных производных значения x=1x=1, y=2y=2, z=3z=3):

F(M)=17i+27j+37k=17OM. \nabla F(M)=\frac{1}{7}\,\,\mathbf{i}+\frac{2}{7}\,\,\mathbf{j}+\frac{3}{7}\,\,\mathbf{k}=\frac{1}{7}\,\,\overrightarrow{OM}.

Производная по направлению

Пусть FF – функция на плоскости или в пространстве.

Производной функции FF по направлению вектора a\mathbf{a} в точке MM называется число

Fa(M)=1addεF(M+εa)ε=0, \frac{\partial F}{\partial\mathbf{a}}(M)=\frac{1}{\|\mathbf{a}\|}\left.\frac{d}{d\varepsilon}F\left(M+\varepsilon \mathbf{a}\right)\right|_{\varepsilon=0},

если производная в правой части существует.

Пример 2

Найдем производную функции F(x,y,z)=x2yy2z+z2xF(x,y,z)=x^2y-y^2z+z^2x по направлению вектора a=i2j+2k\mathbf{a}=\mathbf{i}-2\mathbf{j}+2\mathbf{k} в точке M(1,0,1)M(-1,0,1).

Вычисляем значение функции в точке M+εaM+\varepsilon \mathbf{a} с координатами (1+ε,2ε,1+2ε)(-1+\varepsilon,-2\varepsilon,1+2\varepsilon):

F(M+εa)=(1+ε)2(2ε)(2ε)2(1+2ε)+(1+2ε)2(1+ε)=6ε35ε1. F\left(M+\varepsilon \mathbf{a}\right)=(-1+\varepsilon)^2(-2\varepsilon)-(-2\varepsilon)^2(1+2\varepsilon)+(1+2\varepsilon)^2(-1+\varepsilon)=-6{\varepsilon^{3}}-5\varepsilon-1.

Длина вектора a\mathbf{a}:

a=a12+a22+a32=12+(2)2+22=9=3. \|\mathbf{a}\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}=\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=\sqrt{9}=3.

Производная по направлению:
Fa(M)=1addεF(M+εa)ε=0=13ddε(6ε35ε1)ε=0=53 \frac{\partial F}{\partial\mathbf{a}}(M)=\frac{1}{\|\mathbf{a}\|}\left.\frac{d}{d\varepsilon}F\left(M+\varepsilon \mathbf{a}\right)\right|_{\varepsilon=0}=\frac{1}{3}\left.\frac{d}{d\varepsilon}\left(-6{\varepsilon^{3}}-5\varepsilon-1\right)\right|_{\varepsilon=0}=-\frac{5}{3}

Выражение производной по направлению через градиент

Используя формулу Тейлора для функций нескольких переменных, легко получить выражение производной по направлению через градиент. Действительно, из равенства

F(M+εa)=F(M)+ε(F(M),a)+o(ε2)F\left(M+\varepsilon \mathbf{a}\right)=F(M)+\varepsilon\left(\nabla F(M),\mathbf{a}\right)+o\left(\varepsilon^2\right)

следует, что

ddεF(M+εa)ε=0=(F(M),a). \left.\frac{d}{d\varepsilon}F\left(M+\varepsilon \mathbf{a}\right)\right|_{\varepsilon=0}=\left(\nabla F(M),\mathbf{a}\right).

Таким образом,

Fa(M)=(F(M),a)a. \frac{\partial F}{\partial\mathbf{a}}(M)=\frac{\left(\nabla F(M),\mathbf{a}\right)}{\|\mathbf{a}\|}.

Пример 22'

Найдем производную функции F(x,y,z)=x2yy2z+z2xF(x,y,z)=x^2y-y^2z+z^2x по направлению вектора a=i2j+2k\mathbf{a}=\mathbf{i}-2\mathbf{j}+2\mathbf{k} в точке M(1,0,1)M(-1,0,1) используя градиент.

Частные производные:

Fx(M)=2xy+z2(x,y,z)=(1,0,1)=1, \frac{\partial F}{\partial x}(M)=\left.2xy+z^2\right|_{(x,y,z)=(-1,0,1)}=1,

Fy(M)=x22yz(x,y,z)=(1,0,1)=1, \frac{\partial F}{\partial y}(M)=\left.x^2-2yz\right|_{(x,y,z)=(-1,0,1)}=1,

Fz(M)=y2+2zx(x,y,z)=(1,0,1)=2. \frac{\partial F}{\partial z}(M)=\left.-y^2+2zx\right|_{(x,y,z)=(-1,0,1)}=-2.

Градиент:

F(M)=i+j2k. \nabla F(M)=\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k}.

Скалярное произведение:

(F(M),a)=(i+j2k,i2j+2k)=124=5. \left(\nabla F(M),\mathbf{a}\right)=\left(\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k},\mathbf{i}-2\mathbf{j}+2\mathbf{k}\right)=1-2-4=-5.

Производная по направлению:

Fa(M)=(F(M),a)a=53. \frac{\partial F}{\partial\mathbf{a}}(M)=\frac{\left(\nabla F(M),\mathbf{a}\right)}{\|\mathbf{a}\|}=-\frac{5}{3}.

Автор статьи
+1
-0
Комментарии
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Как составить резюме молодому специалисту

Что написать в резюме, если вы только окончили вуз и у вас нет опыта?
51 +39
0

Как защищать курсовую работу

О том, как преподнести себя публике и уберечь нервную систему (не только свою), представляя свое научное детище, – читайте в нашей статье.
199 +27
1

Кто в России счастлив на работе

Кто в России счастлив на работе?
435 +27
4

Антиплагиат: что это такое

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
3538 +26
0
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ