Пусть F ( x , y , z ) F(x,y,z) F ( x , y , z ) ( x , y , z ) (x,y,z) ( x , y , z )
Градиентом функции F ( x , y , z ) F(x,y,z) F ( x , y , z )
∇ F ( x , y , z ) = ∂ F ∂ x i + ∂ F ∂ y j + ∂ F ∂ z k ,
\nabla F(x,y,z)=\frac{\partial F}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial F}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial F}{\partial z}\mathbf{k},
∇ F ( x , y , z ) = ∂ x ∂ F i + ∂ y ∂ F j + ∂ z ∂ F k ,
где ∂ F ∂ x \frac{\partial F}{\partial x} ∂ x ∂ F ∂ F ∂ y \frac{\partial F}{\partial y} ∂ y ∂ F ∂ F ∂ z \frac{\partial F}{\partial z} ∂ z ∂ F частные производные функции F ( x , y , z ) F(x,y,z) F ( x , y , z ) i \mathbf{i} i j \mathbf{j} j k \mathbf{k} k ( x , y , z ) (x,y,z) ( x , y , z )
Иногда градиент обозначается так: grad F ( x , y , z ) \operatorname{grad} F(x,y,z) g r a d F ( x , y , z )
Градиент функции в данной точке показывает направление наибольшего роста функции.
Пример 1
Найти градиент функции F ( x , y , z ) = ln ( x 2 + y 2 + z 2 ) F(x,y,z)=\ln(x^2+y^2+z^2) F ( x , y , z ) = ln ( x 2 + y 2 + z 2 ) M ( 1 , 2 , 3 ) M(1,2,3) M ( 1 , 2 , 3 )
Вычислим частные производные:∂ F ∂ x = ∂ ∂ x ln ( x 2 + y 2 + z 2 ) = 2 x x 2 + y 2 + z 2 ,
\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\ln(x^2+y^2+z^2)=\frac{2x}{x^2+y^2+z^2},
∂ x ∂ F = ∂ x ∂ ln ( x 2 + y 2 + z 2 ) = x 2 + y 2 + z 2 2 x ,
∂ F ∂ y = ∂ ∂ y ln ( x 2 + y 2 + z 2 ) = 2 y x 2 + y 2 + z 2 ,
\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\ln(x^2+y^2+z^2)=\frac{2y}{x^2+y^2+z^2},
∂ y ∂ F = ∂ y ∂ ln ( x 2 + y 2 + z 2 ) = x 2 + y 2 + z 2 2 y ,
∂ F ∂ z = ∂ ∂ z ln ( x 2 + y 2 + z 2 ) = 2 z x 2 + y 2 + z 2 .
\frac{\partial F}{\partial z}=\frac{\partial }{\partial z}\ln(x^2+y^2+z^2)=\frac{2z}{x^2+y^2+z^2}.
∂ z ∂ F = ∂ z ∂ ln ( x 2 + y 2 + z 2 ) = x 2 + y 2 + z 2 2 z .
Градиент в точке M ( 1 , 2 , 3 ) M(1,2,3) M ( 1 , 2 , 3 ) x = 1 x=1 x = 1 y = 2 y=2 y = 2 z = 3 z=3 z = 3
∇ F ( M ) = 1 7 i + 2 7 j + 3 7 k = 1 7 O M → .
\nabla F(M)=\frac{1}{7}\,\,\mathbf{i}+\frac{2}{7}\,\,\mathbf{j}+\frac{3}{7}\,\,\mathbf{k}=\frac{1}{7}\,\,\overrightarrow{OM}.
∇ F ( M ) = 7 1 i + 7 2 j + 7 3 k = 7 1 O M .
Пусть F F F
Производной функции F F F по направлению вектора a \mathbf{a} a M M M
∂ F ∂ a ( M ) = 1 ∥ a ∥ d d ε F ( M + ε a ) ∣ ε = 0 ,
\frac{\partial F}{\partial\mathbf{a}}(M)=\frac{1}{\|\mathbf{a}\|}\left.\frac{d}{d\varepsilon}F\left(M+\varepsilon \mathbf{a}\right)\right|_{\varepsilon=0},
∂ a ∂ F ( M ) = ∥ a ∥ 1 d ε d F ( M + ε a ) ∣ ∣ ε = 0 ,
если производная в правой части существует.
Пример 2
Найдем производную функции F ( x , y , z ) = x 2 y − y 2 z + z 2 x F(x,y,z)=x^2y-y^2z+z^2x F ( x , y , z ) = x 2 y − y 2 z + z 2 x a = i − 2 j + 2 k \mathbf{a}=\mathbf{i}-2\mathbf{j}+2\mathbf{k} a = i − 2 j + 2 k M ( − 1 , 0 , 1 ) M(-1,0,1) M ( − 1 , 0 , 1 )
Вычисляем значение функции в точке M + ε a M+\varepsilon \mathbf{a} M + ε a ( − 1 + ε , − 2 ε , 1 + 2 ε ) (-1+\varepsilon,-2\varepsilon,1+2\varepsilon) ( − 1 + ε , − 2 ε , 1 + 2 ε )
F ( M + ε a ) = ( − 1 + ε ) 2 ( − 2 ε ) − ( − 2 ε ) 2 ( 1 + 2 ε ) + ( 1 + 2 ε ) 2 ( − 1 + ε ) = − 6 ε 3 − 5 ε − 1.
F\left(M+\varepsilon \mathbf{a}\right)=(-1+\varepsilon)^2(-2\varepsilon)-(-2\varepsilon)^2(1+2\varepsilon)+(1+2\varepsilon)^2(-1+\varepsilon)=-6{\varepsilon^{3}}-5\varepsilon-1.
F ( M + ε a ) = ( − 1 + ε ) 2 ( − 2 ε ) − ( − 2 ε ) 2 ( 1 + 2 ε ) + ( 1 + 2 ε ) 2 ( − 1 + ε ) = − 6 ε 3 − 5 ε − 1 .
Длина вектора a \mathbf{a} a
∥ a ∥ = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 = 1 2 + ( − 2 ) 2 + 2 2 = 9 = 3.
\|\mathbf{a}\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}=\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=\sqrt{9}=3.
∥ a ∥ = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 = 1 2 + ( − 2 ) 2 + 2 2 = 9 = 3 .
Производная по направлению:∂ F ∂ a ( M ) = 1 ∥ a ∥ d d ε F ( M + ε a ) ∣ ε = 0 = 1 3 d d ε ( − 6 ε 3 − 5 ε − 1 ) ∣ ε = 0 = − 5 3
\frac{\partial F}{\partial\mathbf{a}}(M)=\frac{1}{\|\mathbf{a}\|}\left.\frac{d}{d\varepsilon}F\left(M+\varepsilon \mathbf{a}\right)\right|_{\varepsilon=0}=\frac{1}{3}\left.\frac{d}{d\varepsilon}\left(-6{\varepsilon^{3}}-5\varepsilon-1\right)\right|_{\varepsilon=0}=-\frac{5}{3}
∂ a ∂ F ( M ) = ∥ a ∥ 1 d ε d F ( M + ε a ) ∣ ∣ ε = 0 = 3 1 d ε d ( − 6 ε 3 − 5 ε − 1 ) ∣ ∣ ε = 0 = − 3 5
Используя формулу Тейлора для функций нескольких переменных, легко получить выражение производной по направлению через градиент. Действительно, из равенства
F ( M + ε a ) = F ( M ) + ε ( ∇ F ( M ) , a ) + o ( ε 2 ) F\left(M+\varepsilon \mathbf{a}\right)=F(M)+\varepsilon\left(\nabla F(M),\mathbf{a}\right)+o\left(\varepsilon^2\right) F ( M + ε a ) = F ( M ) + ε ( ∇ F ( M ) , a ) + o ( ε 2 )
следует, что
d d ε F ( M + ε a ) ∣ ε = 0 = ( ∇ F ( M ) , a ) .
\left.\frac{d}{d\varepsilon}F\left(M+\varepsilon \mathbf{a}\right)\right|_{\varepsilon=0}=\left(\nabla F(M),\mathbf{a}\right).
d ε d F ( M + ε a ) ∣ ∣ ε = 0 = ( ∇ F ( M ) , a ) .
Таким образом,
∂ F ∂ a ( M ) = ( ∇ F ( M ) , a ) ∥ a ∥ .
\frac{\partial F}{\partial\mathbf{a}}(M)=\frac{\left(\nabla F(M),\mathbf{a}\right)}{\|\mathbf{a}\|}.
∂ a ∂ F ( M ) = ∥ a ∥ ( ∇ F ( M ) , a ) .
Пример 2 ′ 2' 2 ′
Найдем производную функции F ( x , y , z ) = x 2 y − y 2 z + z 2 x F(x,y,z)=x^2y-y^2z+z^2x F ( x , y , z ) = x 2 y − y 2 z + z 2 x a = i − 2 j + 2 k \mathbf{a}=\mathbf{i}-2\mathbf{j}+2\mathbf{k} a = i − 2 j + 2 k M ( − 1 , 0 , 1 ) M(-1,0,1) M ( − 1 , 0 , 1 )
Частные производные:
∂ F ∂ x ( M ) = 2 x y + z 2 ∣ ( x , y , z ) = ( − 1 , 0 , 1 ) = 1 ,
\frac{\partial F}{\partial x}(M)=\left.2xy+z^2\right|_{(x,y,z)=(-1,0,1)}=1,
∂ x ∂ F ( M ) = 2 x y + z 2 ∣ ∣ ( x , y , z ) = ( − 1 , 0 , 1 ) = 1 ,
∂ F ∂ y ( M ) = x 2 − 2 y z ∣ ( x , y , z ) = ( − 1 , 0 , 1 ) = 1 ,
\frac{\partial F}{\partial y}(M)=\left.x^2-2yz\right|_{(x,y,z)=(-1,0,1)}=1,
∂ y ∂ F ( M ) = x 2 − 2 y z ∣ ∣ ( x , y , z ) = ( − 1 , 0 , 1 ) = 1 ,
∂ F ∂ z ( M ) = − y 2 + 2 z x ∣ ( x , y , z ) = ( − 1 , 0 , 1 ) = − 2.
\frac{\partial F}{\partial z}(M)=\left.-y^2+2zx\right|_{(x,y,z)=(-1,0,1)}=-2.
∂ z ∂ F ( M ) = − y 2 + 2 z x ∣ ∣ ( x , y , z ) = ( − 1 , 0 , 1 ) = − 2 .
Градиент:
∇ F ( M ) = i + j − 2 k .
\nabla F(M)=\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k}.
∇ F ( M ) = i + j − 2 k .
Скалярное произведение:
( ∇ F ( M ) , a ) = ( i + j − 2 k , i − 2 j + 2 k ) = 1 − 2 − 4 = − 5.
\left(\nabla F(M),\mathbf{a}\right)=\left(\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k},\mathbf{i}-2\mathbf{j}+2\mathbf{k}\right)=1-2-4=-5.
( ∇ F ( M ) , a ) = ( i + j − 2 k , i − 2 j + 2 k ) = 1 − 2 − 4 = − 5 .
Производная по направлению:
∂ F ∂ a ( M ) = ( ∇ F ( M ) , a ) ∥ a ∥ = − 5 3 .
\frac{\partial F}{\partial\mathbf{a}}(M)=\frac{\left(\nabla F(M),\mathbf{a}\right)}{\|\mathbf{a}\|}=-\frac{5}{3}.
∂ a ∂ F ( M ) = ∥ a ∥ ( ∇ F ( M ) , a ) = − 3 5 .
Статья по математике на заказ от проверенных исполнителей!
Комментарии