182
11 Сен 2018 в 12:1711.09.2018 в 12:17

Исследование функций на монотонность

Функция называется монотонной на какой-то области, если ее приращение не меняет знак и остается постоянным (по знаку) всегда на этой области.
Если каждое последующее значение функции больше предыдущего, то функция называется возрастающей, если же наоборот, ее приращение отрицательно, то она называется убывающей.
Для того, чтобы определить характер поведения функции, нужно взять ее производную и провести ее исследование.
Если производная неотрицательна, то функция не убывает, если неположительна – не возрастает.
Если производная в каждой точке области определения функции равна нулю, то функция постоянна на этой области. Графиком такой функции является прямая, параллельная оси абсцис.

Пример 1

Дано функцию y=x7+3x5+2x1y=x^7+3x^5+2x-1. Необходимо произвести исследование этой функции на монотонность.

1 шаг. Находим производную.

y=7x6+15x4+2y'=7x^6+15x^4+2

2 шаг. Сравнение с нулем.

Производная на всей области определения принимает исключительно положительные значения, значит исходная функция возрастает на всей области от минус бесконечности к плюс бесконечности.

Пример 2

Дано y=x34x216x+17y=x^3-4x^2-16x+17. Провести исследование данной функции на монотонность.

1 шаг. Находим производную.

y=3x28x16y'=3x^2-8x-16

2 шаг. Сравнение с нулем.

Приравниваем производную к нулю и решаем квадратное уравнение:

3x28x16=03x^2-8x-16=0

D=6443(16)=64+192=256D=64-4\cdot3\cdot(-16)=64+192=256

x1=8+166=4x_1=\frac{8+16}{6}=4

x2=8166=43x_2=\frac{8-16}{6}=-\frac{4}{3}

Так как это парабола и ее ветви направлены вверх, то в интервале (;43)(-\infty;-\frac{4}{3}) и интервале (4;+)(4;+\infty) исходная функция возрастает (поскольку на этих интервалах производная этой функции положительна), а в интервале (43;4)(-\frac{4}{3};4) функция убывает (производная на этом интервале отрицательна).

+0
-0
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

10 крутых способов заработать, если ты студент. Без финансовых пирамид, продажи косметики и ночных подработок в баре.
560 +131
1
Офисная работа с каждым днем становится все скучнее. Однообразный график работы, корпоративный стиль, одни и те же люди вокруг. Это все забавляет...
211 +66
1
Как совмещать учебу и работу? Пользователь Студворк делится опытом.
65 +65
0
Что советуют успешные предприниматели? Какие навыки нужны современному рынку труда?
160 +38
1
Какие профессии находятся на грани исчезновения?
447 +35
2
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ