Исследование функций на монотонность

Тест: 3 вопроса
1. Если приращение функции не меняет знак и остается постоянным (по знаку) всегда на какой-то области, то эта функция называется:
Возрастающей
Убывающей
Монотонной
Нулевой
2. Функция называется убывающей, если:
Каждое последующее значение функции больше предыдущего
Каждое последующее значение функции меньше предыдущего
Каждое последующее значение функции равно предыдущему
Каждое последующее значение функции равно нулю
3. Если производная в каждой точке области определения функции равна нулю, то график такой функции:
Прямая, параллельная оси абсцисс
Прямая, параллельная оси ординат
Прямая, проходящая под углом 45° к оси абсцисс
Парабола

Функция называется монотонной на какой-то области, если ее приращение не меняет знак и остается постоянным (по знаку) всегда на этой области.
Если каждое последующее значение функции больше предыдущего, то функция называется возрастающей, если же наоборот, ее приращение отрицательно, то она называется убывающей.
Для того, чтобы определить характер поведения функции, нужно взять ее производную и провести ее исследование.
Если производная неотрицательна, то функция не убывает, если неположительна – не возрастает.
Если производная в каждой точке области определения функции равна нулю, то функция постоянна на этой области. Графиком такой функции является прямая, параллельная оси абсцис.

Пример 1

Дано функцию y=x7+3x5+2x1y=x^7+3x^5+2x-1. Необходимо произвести исследование этой функции на монотонность.

1 шаг. Находим производную.

y=7x6+15x4+2y'=7x^6+15x^4+2

2 шаг. Сравнение с нулем.

Производная на всей области определения принимает исключительно положительные значения, значит исходная функция возрастает на всей области от минус бесконечности к плюс бесконечности.

Пример 2

Дано y=x34x216x+17y=x^3-4x^2-16x+17. Провести исследование данной функции на монотонность.

1 шаг. Находим производную.

y=3x28x16y'=3x^2-8x-16

2 шаг. Сравнение с нулем.

Приравниваем производную к нулю и решаем квадратное уравнение:

3x28x16=03x^2-8x-16=0

D=6443(16)=64+192=256D=64-4\cdot3\cdot(-16)=64+192=256

x1=8+166=4x_1=\frac{8+16}{6}=4

x2=8166=43x_2=\frac{8-16}{6}=-\frac{4}{3}

Так как это парабола и ее ветви направлены вверх, то в интервале (;43)(-\infty;-\frac{4}{3}) и интервале (4;+)(4;+\infty) исходная функция возрастает (поскольку на этих интервалах производная этой функции положительна), а в интервале (43;4)(-\frac{4}{3};4) функция убывает (производная на этом интервале отрицательна).

Не получается самостоятельно разобраться с темой? Заказать написание статьи по математике!

Тест по теме «Исследование функции на монотонность»

Комментарии

Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир