127
11 Сен в 12:1711.09.2018 в 12:17

Исследование функций на монотонность

Функция называется монотонной на какой-то области, если ее приращение не меняет знак и остается постоянным (по знаку) всегда на этой области.
Если каждое последующее значение функции больше предыдущего, то функция называется возрастающей, если же наоборот, ее приращение отрицательно, то она называется убывающей.
Для того, чтобы определить характер поведения функции, нужно взять ее производную и провести ее исследование.
Если производная неотрицательна, то функция не убывает, если неположительна – не возрастает.
Если производная в каждой точке области определения функции равна нулю, то функция постоянна на этой области. Графиком такой функции является прямая, параллельная оси абсцис.

Пример 1

Дано функцию y=x7+3x5+2x1y=x^7+3x^5+2x-1. Необходимо произвести исследование этой функции на монотонность.

1 шаг. Находим производную.

y=7x6+15x4+2y'=7x^6+15x^4+2

2 шаг. Сравнение с нулем.

Производная на всей области определения принимает исключительно положительные значения, значит исходная функция возрастает на всей области от минус бесконечности к плюс бесконечности.

Пример 2

Дано y=x34x216x+17y=x^3-4x^2-16x+17. Провести исследование данной функции на монотонность.

1 шаг. Находим производную.

y=3x28x16y'=3x^2-8x-16

2 шаг. Сравнение с нулем.

Приравниваем производную к нулю и решаем квадратное уравнение:

3x28x16=03x^2-8x-16=0

D=6443(16)=64+192=256D=64-4\cdot3\cdot(-16)=64+192=256

x1=8+166=4x_1=\frac{8+16}{6}=4

x2=8166=43x_2=\frac{8-16}{6}=-\frac{4}{3}

Так как это парабола и ее ветви направлены вверх, то в интервале (;43)(-\infty;-\frac{4}{3}) и интервале (4;+)(4;+\infty) исходная функция возрастает (поскольку на этих интервалах производная этой функции положительна), а в интервале (43;4)(-\frac{4}{3};4) функция убывает (производная на этом интервале отрицательна).

+0
-0
Комментарии
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Как составить резюме молодому специалисту

Что написать в резюме, если вы только окончили вуз и у вас нет опыта?
51 +39
0

Как защищать курсовую работу

О том, как преподнести себя публике и уберечь нервную систему (не только свою), представляя свое научное детище, – читайте в нашей статье.
199 +27
1

Кто в России счастлив на работе

Кто в России счастлив на работе?
435 +27
4

Антиплагиат: что это такое

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
3538 +26
0
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ