628
24 Июл 2018 в 15:32 24.07.2018 в 15:32

Как найти транспонированную матрицу

Содержание

Многие считают, что тема «Транспонированные матрицы» довольно сложная, но это не так. В студенческом курсе математики транспонирование выполняется легко и без каких-либо усилий. Для того чтобы понимать, как именно осуществляется операция, необходимо знать, что такое матрица.

Что такое транспонированная матрица

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с этим же номером, называется матрицей транспонированной данной. Обозначается такая матрица ATA^{T} или AA'.

При транспонировании матрицы AA размера m×nm\times n получаем матрицу ATA^{T} размера n×mn\times m.

В общем виде транспонированная матрица для матрицы

Am×n=(a11a12...a1na21a22...a2n............am1am2...amn)A_{m\times n}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&...&...\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{pmatrix}

выглядит следующим образом:

An×mT=(a11a21...am1a12a22...am2............a1na2n...amn)A^{T}_{n\times m}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{21}&...&a_{m1}\\a_{12}&a_{22}&...&a_{m2}\\...&...&...&...\\a_{1n}&a_{2n}&...&a_{mn}\end{pmatrix}.

Элементы ii строки исходной матрицы становятся элементами ii столбца транспонированной матрицы. Таким образом, транспонирование матрицы заключается в том, что строки исходной матрицы AA записывают в новую матрицу по столбцам.

Пример 1

Транспонировать матрицы K=(15231418)K=\begin{pmatrix}15&-23&14&-18\end{pmatrix} и L=(2510118)L=\begin{pmatrix}25\\-10\\11\\8\end{pmatrix}.

KT=(15231418)K^{T}=\begin{pmatrix}15\\-23\\14\\-18\end{pmatrix},

LT=(2510118)L^{T}=\begin{pmatrix}25&-10&11&8\end{pmatrix}.

Пример 2

Транспонировать матрицу G=(53118205148653794)G=\begin{pmatrix}5&-3&11&8\\2&0&5&1\\4&-8&6&5\\3&7&-9&4\end{pmatrix}.

GT=(52433087115698154)G^{T}=\begin{pmatrix}5&2&4&3\\-3&0&-8&7\\11&5&6&-9\\8&1&5&4\end{pmatrix}.

Свойства транспонированных матриц

  1. Дважды транспонированная матрица равна исходной матрице: ATT=(AT)T=AA^{TT}=(A^{T})^{T}=A.
  2. Транспонированная матрица суммы равна сумме транспонированных матриц: (A+B)T=AT+BT(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}.
  3. Транспонированная матрица произведения равна произведению транспонированных матриц: (AB)T=ATBT(A\cdot B)^{T}=A^{T}\cdot B^{T}.
  4. При транспонировании можно выносить скаляр (число, на которое можно разделить все элементы матрицы): (kA)T=kAT(k\cdot A)^{T}=k\cdot A^{T}.
  5. Определитель исходной матрицы и определитель транспонированной матрицы равны.

С понятием определителя матрицы мы познакомимся на следующем уроке.

Автор статьи
+1
-0
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

В жизни каждого студента случается момент, когда он задумывается, «где я повернул не туда?».
1137 +114
0
Пришла пора получше изучить свои права как студента.
664 +100
0
Форму набора каждый выбирает сам – по возможностям или по желанию. Спешим обрадовать: у коммерции тоже есть плюсы.
2792 +52
0
Сегодня вы студент, а завтра уже нет. Как вернуться к учебе после отчисления?
4803 +37
0
Где лучше всего студентам живется?
3509 +34
1
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 30 715 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут