Как найти угол между двумя векторами

Содержание

  1. 1. Нахождение угла между векторами с помощью скалярного произведения
    1. 1.1. Пример 1
    2. 1.2. Пример 2
    3. 1.3. Пример 3
    4. 1.4. Пример 4
  2. 2. Нахождение угла между векторами с помощью векторного произведения
    1. 2.1. Пример 1
    2. 2.2. Пример 2
  3. 3. Тест по теме “Как найти угол между двумя векторами”

Нахождение угла между векторами с помощью скалярного произведения

Косинус угла между векторами a=(a1;a2)\vec{a}=(a_{1};a_{2}) и b=(b1;b2)\vec{b}=(b_{1};b_{2}) может быть вычислен по формуле

cos(a,b^)=abab=a1b1+a2b2a12+a22b12+b22.\cos\left(\widehat{\vec{a},\vec{b}}\right)=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}= \frac{a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\cdot\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}.

Следовательно, угол между векторами a=(a1;a2)\vec{a}=(a_{1};a_{2}) и b=(b1;b2)\vec{b}=(b_{1};b_{2}) может быть вычислен по формуле

(a,b^)=arccos(abab)=arccos(a1b1+a2b2a12+a22b12+b22).\left(\widehat{\vec{a},\vec{b}}\right)=\arccos\left(\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}\right)=\arccos\left(\frac{a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\cdot\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}\right).

Пример 1

Найти угол между векторами a=(1;1)\vec{a}=(1; -1) и b=(1;2).\vec{b}=(1; 2).

cos(a,b^)=abab=11+(1)212+(1)212+22=1225=110.\cos\left(\widehat{\vec{a},\vec{b}}\right)=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left | \vec{a} \right |\cdot \left | \vec{b} \right |}=\frac{1\cdot1+(-1)\cdot2}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}\cdot \sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\frac{1-2}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{5}}=\frac{-1}{\sqrt{10}}.

(a,b^)=arccos(110)=arccos(1010).\left ( \widehat{\vec{a},\vec{b}} \right )=\arccos\left ( \frac{-1}{\sqrt{10}} \right )=\arccos\left ( \frac{-\sqrt{10}}{10} \right ).

Ответ: (a,b^)=arccos(1010).\left ( \widehat{\vec{a},\vec{b}} \right )=\arccos\left ( \frac{-\sqrt{10}}{10} \right).

Пример 2

Найти угол между векторами a=(2;3)\vec{a}=(2; 3) и b=(3;1).\vec{b}=(3; 1).

cos(a,b^)=abab=23+3122+3232+12=6+31310=9130=9130130.\cos\left(\widehat{\vec{a},\vec{b}}\right)=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left | \vec{a} \right |\cdot \left | \vec{b} \right |}=\frac{2\cdot3+3\cdot1}{\sqrt{2^{2}+3^{2}}\cdot \sqrt{3^{2}+1^{2}}}=\frac{6+3}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{10}}=\frac{9}{\sqrt{130}}=\frac{9\sqrt{130}}{130}.

(a,b^)=arccos(9130130).\left ( \widehat{\vec{a},\vec{b}} \right )=\arccos\left ( \frac{9\sqrt{130}}{130} \right ).

Ответ: (a,b^)=arccos(9130130).\left ( \widehat{\vec{a},\vec{b}} \right )=\arccos \left ( \frac{9\sqrt{130}}{130} \right ).

Косинус угла между векторами a=(a1;a2;a3)\vec{a}=(a_{1};a_{2};a_{3}) и b=(b1;b2;b3)\vec{b}=(b_{1};b_{2};b_{3}) может быть вычислен по формуле

cos(a,b^)=abab=a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32b12+b22+b32.\cos\left(\widehat{\vec{a},\vec{b}}\right)=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}= \frac{a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}+a_{3}\cdot b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}\cdot\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}.

Следовательно, угол между векторами a=(a1;a2;a3)\vec{a}=(a_{1};a_{2};a_{3}) и b=(b1;b2;b3)\vec{b}=(b_{1};b_{2};b_{3}) может быть вычислен по формуле

(a,b^)=arccos(abab)=arccos(a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32b12+b22+b32).\left(\widehat{\vec{a},\vec{b}}\right)=\arccos\left(\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}\right)=\arccos\left(\frac{a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}+a_{3}\cdot b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+ a_{3}^{2}}\cdot\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+ b_{3}^{2}}}\right).

Пример 3

Найти угол между векторами a=(1;2;3)иb=(1;2;3).\vec{a}=(1; 2; 3) и \vec{b}=(1; -2; 3).

cos(a,b^)=abab=11+2(2)+3312+22+3212+(2)2+32=14+91414=614=37.\cos\left(\widehat{\vec{a},\vec{b}}\right)=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left | \vec{a} \right |\cdot \left | \vec{b} \right |}=\frac{1\cdot1+2\cdot(-2)+3\cdot3}{\sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}\cdot \sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+3^{2}}}=\frac{1-4+9}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}}=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}.

(a,b^)=arccos(37).\left(\widehat{\vec{a},\vec{b}}\right)=\arccos\left ( \frac{3}{7} \right ).

Ответ: (a,b^)=arccos(37).\left(\widehat{\vec{a},\vec{b}}\right)=\arccos\left ( \frac{3}{7} \right ).

Пример 4

Найти угол между векторами a=(2;1;2)\vec{a}=(2; -1; -2) и b=(1;3;2).\vec{b}=(1; 3; -2).

cos(a,b^)=abab=21+(1)3+(2)(2)22+(1)2+(2)212+32+(2)2=23+4914=3314=114=1414.\cos\left(\widehat{\vec{a},\vec{b}}\right)=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left | \vec{a} \right |\cdot \left | \vec{b} \right |}=\frac{2\cdot1+(-1)\cdot3+(-2)\cdot(-2)}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}\cdot \sqrt{1^{2}+3^{2}+(-2)^{2}}}=\frac{2-3+4}{\sqrt{9}\cdot\sqrt{14}}=\frac{3}{3\cdot\sqrt{14}}=\frac{1}{\sqrt{14}}=\frac{\sqrt{14}}{14}.

(a,b^)=arccos(1414).\left(\widehat{\vec{a},\vec{b}}\right)=\arccos\left ( \frac{\sqrt{14}}{14} \right ).

Ответ: (a,b^)=arccos(1414).\left(\widehat{\vec{a},\vec{b}}\right)=\arccos\left ( \frac{\sqrt{14}}{14} \right ).

Нахождение угла между векторами с помощью векторного произведения

Синус угла между векторами можно вычислить по формуле: sin(a,b^)=a×bab.\sin(\widehat{\vec{a},\vec{b}})=\frac{\left | \vec{a}\times \vec{b} \right |}{\left | \vec{a} \right |\cdot\left | \vec{b} \right |}.

Пример 1

Найти угол между векторами a=(2;1;2)\vec{a}=(2;-1;2) и b=(3;0;1).\vec{b}=(3;0;1).

a×b=ijk212301=(10)i(26)j+(0+3)k=i+4j+3k.\vec{a}\times \vec{b}=\begin{vmatrix}i&j&k\\2&-1&2\\3&0&1\end{vmatrix}=(-1-0)i-(2-6)j+(0+3)k=-i+4j+3k.

a×b=(1)2+42+32=1+16+9=26.\left | \vec{a}\times \vec{b} \right |=\sqrt{(-1)^{2}+4^{2}+3^{2}}=\sqrt{1+16+9}=\sqrt{26}.

a=22+(1)2+22=4+1+4=9=3.\left | \vec{a} \right |=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3.

b=32+02+12=9+0+1=10.\left | \vec{b} \right |=\sqrt{3^{2}+0^{2}+1^{2}}=\sqrt{9+0+1}=\sqrt{10}.

sin(a,b^)=26310=132325=1335=6515.\sin(\widehat{\vec{a},\vec{b}})=\frac{\sqrt{26}}{3\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{13}\sqrt{2}}{3\sqrt{2}\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{13}}{3\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{65}}{15}.

(a,b^)=arcsin(6515).(\widehat{\vec{a},\vec{b}})=\arcsin\left ( \frac{\sqrt{65}}{15} \right ).

Ответ: (a,b^)=arcsin(6515).(\widehat{\vec{a},\vec{b}})=\arcsin\left ( \frac{\sqrt{65}}{15} \right ).

Пример 2

Найти угол между векторами a=(1;1;3)\vec{a}=(1;1;3) и b=(0;1;1).\vec{b}=(0;1;1).

a×b=ijk113011=(13)i(10)j+(10)k=2ij+k.\vec{a}\times \vec{b}=\begin{vmatrix}i&j&k\\1&1&3\\0&1&1\end{vmatrix}=(1-3)i-(1-0)j+(1-0)k=-2i-j+k.

a×b=(2)2+(1)2+12=4+1+1=6.\left | \vec{a}\times \vec{b} \right |=\sqrt{(-2)^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}.

a=12+12+32=1+1+9=11.\left | \vec{a} \right |=\sqrt{1^{2}+1^{2}+3^{2}}=\sqrt{1+1+9}=\sqrt{11}.

b=02+12+12=0+1+1=2.\left | \vec{b} \right |=\sqrt{0^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{0+1+1}=\sqrt{2}.

sin(a,b^)=6112=32112=311=3311.\sin(\widehat{\vec{a},\vec{b}})=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{11}\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}\sqrt{2}}{\sqrt{11}\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{11}}=\frac{\sqrt{33}}{11}.

(a,b^)=arcsin(3311).(\widehat{\vec{a},\vec{b}})=\arcsin\left ( \frac{\sqrt{33}}{11} \right ).

Ответ: (a,b^)=arcsin(3311).(\widehat{\vec{a},\vec{b}})=\arcsin\left ( \frac{\sqrt{33}}{11} \right ).

На Студворк вы можете заказать статью по математике онлайн у профильных экспертов!

Тест по теме “Как найти угол между двумя векторами”

Комментарии

Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир