Как вычислить длину вектора

Содержание

  1. 1. Нахождение длины вектора по его координатам
    1. 1.1. Пример 1
    2. 1.2. Пример 2
  2. 2. Нахождение длины вектора по координатам точек его начала и конца
    1. 2.1. Пример 1
    2. 2.2. Пример 2
  3. 3. Нахождение длины вектора по теореме косинусов
    1. 3.1. Пример 1
  4. 4. Тест по теме «Как вычислить длину вектора»

Вектором является направленный отрезок. Длина этого отрезка является длиной вектора.

Длина вектора b\vec{b} обозначается b.\left | \vec{b} \right |. Модуль числа имеет аналогичное обозначение и длина вектора часто называется модулем вектора.

Длина нулевого вектора равна нулю.

Нахождение длины вектора по его координатам

Длина вектора, который задан своими координатами, – это квадратный корень из суммы квадратов его координат.

Для того чтобы найти длину вектора, заданного своими координатами, нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов его координат.

  1. Для вектора b=(bx;by),\vec{b}=(b_{x};b_{y}), заданного на плоскости, длина вычисляется по формуле b\left |\vec{b} \right|=bx2+by2\sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}.
  2. Для вектора b=(bx;by;bz),\vec{b}=(b_{x};b_{y};b_{z}), заданного в пространстве, длина вычисляется по формуле b=bx2+by2+bz2\left | \vec{b} \right |=\sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}.

Пример 1

Найти длину вектора b=(6;4).\vec{b}=(6;-4).

Вектор задан на плоскости, поэтому воспользуемся первой формулой: b=bx2+by2\left | \vec{b} \right |=\sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}.

Подставим координаты вектора b\vec{b} в формулу, получим: b=62+(4)2=36+16=52=213\left | \vec{b} \right |=\sqrt {6^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt {36+16}=\sqrt {52}=2\sqrt {13}.

Ответ: 2132\sqrt {13}.

Пример 2

Найти длину вектора d=(1;3;5).\vec{d}=(1;3;5).

Вектор задан в пространстве, поэтому воспользуемся второй формулой:

d=dx2+dy2+dz2\left | \vec{d} \right |=\sqrt {d_{x}^{2}+d_{y}^{2}+d_{z}^{2}}.

Подставим координаты вектора d\vec{d} в формулу, получим:

d=12+32+52=1+9+25=35\left | \vec{d} \right |=\sqrt {1^{2}+3^{2}+5^{2}}=\sqrt {1+9+25}=\sqrt {35}.

Нахождение длины вектора по координатам точек его начала и конца

Для нахождения длины вектора CD\vec{CD}, где C(cx;cy)C(c_{x};c_{y}) и D(dx;dy)D(d_{x};d_{y}) существует определенная последовательность действий:

  1. Найти координаты вектора CD\vec{CD} по формуле: CD=(dxcx;dycy)\left | \vec{CD} \right |=(d_{x}-c_{x};d_{y}-c_{y}).
  2. Найти длину вектора по его координатам по формуле: CD=(dxcx)2+(dycy)2\left | \vec{CD} \right |=\sqrt {(d_{x}-c_{x})^{2}+(d_{y}-c_{y})^{2}}.

Аналогично находится длина вектора CD,\vec{CD}, заданного в пространстве, где C(cx;cy;cz)C(c_{x};c_{y};c_{z}) и D(dx;dy;dz)D(d_{x};d_{y};d_{z}):

  1. Найти координаты вектора CD\vec{CD} по формуле: CD=(dxcx;dycy;dzcz).\vec{CD}=(d_{x}-c_{x};d_{y}-c_{y};d_{z}-c_{z}).
  2. Найти длину вектора по его координатам по формуле: CD=(dxcx)2+(dycy)2+(dzcz)2\left | \vec{CD} \right |=\sqrt {(d_{x}-c_{x})^{2}+(d_{y}-c_{y})^{2}+(d_{z}-c_{z})^{2}}.

Пример 1

На плоскости заданы точки E(1;3)иK(3;4)E(-1;3) и K(3;-4). Найти длину вектора EK.\vec{EK}.

Найдем координаты вектора EK.\vec{EK}. Для этого из координат конца вычтем координаты начала, получим:

EK=(3(1);43)=(3+1;43)=(4;7).\vec{EK}=(3-(-1);-4-3)=(3+1;-4-3)=(4;-7).

Воспользуемся формулой b=bx2+by2\left | \vec{b} \right |=\sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}} для нахождения длины вектора, получим:

EK=42+(7)2\left | \vec{EK} \right |=\sqrt {4^{2}+(-7)^{2}}=16+49\sqrt {16+49}=65\sqrt {65}.

Пример 2

В пространстве заданы точки C(1;2;3)C(1;2;3) и D(3;4;5).D(3;4;5). Найти длину вектора CD.\vec{CD}.

Найдем координаты вектора CD.\vec{CD}. Для этого из координат конца вычтем координаты начала, получим: CD=(31;42;53)=(2;2;2).\vec{CD}=(3-1;4-2;5-3)=(2;2;2).

Воспользуемся формулой b=bx2+by2+bz2\left | \vec{b} \right |=\sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}} для нахождения длины вектора, получим: b=22+22+22=4+4+4=12=23\left | \vec{b} \right |=\sqrt {2^{2}+2^{2}+2^{2}}=\sqrt {4+4+4}=\sqrt {12}=2\sqrt 3.

Нахождение длины вектора по теореме косинусов

Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Для треугольника со сторонами a,b,ca, b, c и углами α,β\alpha, \beta и γ,\gamma, противолежащими этим сторонам соответственно, справедливы равенства:

b=a2+c22accos(β),b=a^{2}+c^{2}-2a\cdot c\cdot cos (\beta), a=b2+c22bccos(α),a=b^{2}+c^{2}-2b\cdot c\cdot cos (\alpha), c=a2+b22abcos(γ).c=a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot cos (\gamma).

Аналогично поступают и с векторами. Рассмотрим пример.

Пример 1

Длины векторов KL\vec{KL} и KM\vec{KM} равны соответственно 2 и 4, а угол между ними равен π4.\frac{\pi }{4}. Вычислите длину вектора LM.\vec{LM}.

Длина вектора LM\vec{LM} равна длине стороны LMLM в треугольнике LMKLMK. Также нам известны стороны KLKL и KMKM треугольника LMKLMK. Они равны длинам соответствующих векторов. Нам известен угол между векторами. Найдем сторону LMLM треугольника KLM.\triangle KLM.

LM2=KL2+KM22KLKMcosLKM.LM^2=KL^2+KM^2-2KL\cdot KM\cdot \cos \angle LKM.
LM2=22+42224cosπ4=4+1682=2082.LM^2=2^2+4^2-2\cdot 2\cdot4\cdot \cos \frac{\pi }{4}=4+16-8\sqrt{2}=20-8\sqrt{2}.
LM=2082.LM=\sqrt{20-8\sqrt{2}}.
LM=2082.|\vec{LM}|=\sqrt{20-8\sqrt{2}}.

Не получается самостоятельно разобраться с темой? Заказать написание статьи по математике!

Тест по теме «Как вычислить длину вектора»

Комментарии

Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир