310
30 Июл в 16:4130.07.2018 в 16:41

Как вычислить определитель матрицы третьего порядка

Содержание

Мы уже знакомы с понятием определителя матрицы. Также мы рассмотрели правила вычисления детерминантов (определителей) первого и второго порядка. Познакомимся с различными вариантами нахождения определителей третьего порядка.

Вычисление определителей по правилу треугольника

Схематически раскрытие определителя по этому правилу выглядит так:

Как вычислить определитель матрицы третьего порядка 1.png

Согласно рисункам №1 и №2 мы перемножаем элементы, соединенные прямыми. Произведения элементов будут иметь определенные знаки: для рисунка 1 — «+», для рисунка 2 — «-».

Произведения, которые берутся со знаком «+» Произведения, которые берутся со знаком «-»
a11a22a33a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} a13a22a31a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}
a12a23a31a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} a12a33a21a_{12}\cdot a_{33}\cdot a_{21}
a13a32a21a_{13} \cdot a_{32} \cdot a_{21} a11a23a32a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}

На рисунке 1 мы видим равнобедренные треугольники с основаниями, параллельными главной диагонали; на рисунке 2 — равнобедренные треугольники с основаниями, параллельными второй (побочной) диагонали. Поэтому данное правило имеет такое название.

Определитель может быть вычислен по формуле:

a11a12a13a21a22a23a31a32a33=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=

=a11a22a33+a12a23a31+a13a32a21a13a22a31a12a33a21a11a23a32=a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{32}\cdot a_{21}-a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{12}\cdot a_{33}\cdot a_{21}-a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}.

Примеры

Рассмотрим примеры нахождения определителя по правилу треугольника.

Пример 1

Найти определитель 925148637\begin{vmatrix}9&2&5\\1&4&8\\6&3&7\end{vmatrix} по правилу треугольника.

По правилу треугольника определитель третьего порядка равен:

925148637=947+286+531546271983=\begin{vmatrix}9&2&5\\1&4&8\\6&3&7\end{vmatrix}=9\cdot4\cdot7+2\cdot8\cdot6+5\cdot3\cdot1-5\cdot4\cdot6-2\cdot7\cdot1-9\cdot8\cdot3=

=252+96+1512014216=13=252+96+15-120-14-216=13.

Пример 2

Найти определитель 214635101\begin{vmatrix}2&1&-4\\6&-3&5\\1&0&-1\end{vmatrix} по правилу треугольника.

Искомый определитель третьего порядка равен:

214635101=\begin{vmatrix}2&1&-4\\6&-3&5\\1&0&-1\end{vmatrix}=

=2(3)(1)+151+(4)06(4)(3)11(1)6250=6+512+6=5=2\cdot(-3)\cdot(-1)+1\cdot5\cdot1+(-4)\cdot0\cdot6-(-4)\cdot(-3)\cdot1-1\cdot(-1)\cdot6-2\cdot5\cdot0=6+5-12+6=5.

При вычислении определителей таким способом можно легко совершить ошибку из-за невнимательности. Чтобы избежать таких ошибок существует второй способ, называемый правилом Саррюса, или способом «параллельных полосок».

Вычисление определителей по правилу Саррюса

Правило Саррюса также именуют способом присоединения двух строк/столбцов или правилом параллельных полосок.

Основная идея этого правила состоит в приписывании первого и второго столбца справа от определителя.

Вычисления будем производить по следующей схеме:

Как вычислить определитель матрицы третьего порядка 2.png

Перемножаем элементы, соединенные прямыми. Данные произведения берем со знаком «+», если диагональ, на которой они стоят, является главной или параллельной ей; со знаком «-», если она является второй (побочной) или параллельной ей.

Произведения, которые берутся со знаком «+» Произведения, которые берутся со знаком «-»
a11a22a33a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} a13a22a31a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}
a12a23a31a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} a11a23a32a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}
a13a21a32a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32} a12a21a33a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}

В общем виде вычисление по правилу Саррюса можно записать следующим образом:

a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11a12a13a21a22a23a31a32a33a11a12a21a22a31a32=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}=

=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a13a22a31a11a23a32a12a21a33=a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}-a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}-a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}.

Сравнивая эти два способа вычисления определителей, видим одинаковые множители, которые во втором случае немного переставлены местами.
Возможность допустить ошибку, вычисляя определитель по правилу Саррюса, намного меньше.

Примеры

Пример 1

Найти определитель 925148637\begin{vmatrix}9&2&5\\1&4&8\\6&3&7\end{vmatrix} по правилу Саррюса.

Приписываем два первых столбца справа от определителя и вычисляем его:

925148637921463=\begin{vmatrix}9&2&5\\1&4&8\\6&3&7\end{vmatrix}\begin{matrix}9&2\\1&4\\6&3\end{matrix}=

=947+286+513546983217=252+96+1512021614=13=9\cdot4\cdot7+2\cdot8\cdot6+5\cdot1\cdot3-5\cdot4\cdot6-9\cdot8\cdot3-2\cdot1\cdot7=252+96+15-120-216-14=13.

Пример 2

Найти определитель 214635101\begin{vmatrix}2&1&-4\\6&-3&5\\1&0&-1\end{vmatrix} по правилу Саррюса.

Приписываем два первых столбца справа от определителя и вычисляем его:

214635101216310=\begin{vmatrix}2&1&-4\\6&-3&5\\1&0&-1\end{vmatrix}\begin{matrix}2&1\\6&-3\\1&0\end{matrix}=

=2(3)(1)+151+(4)60(4)(3)125016(1)=6+512+6=5=2\cdot(-3)\cdot(-1)+1\cdot5\cdot1+(-4)\cdot6\cdot0-(-4)\cdot(-3)\cdot1-2\cdot5\cdot0-1\cdot6\cdot(-1)=6+5-12+6=5.

Существует еще одна вариация правила Саррюса. Она состоит в приписывании первой и второй строки снизу от определителя. Вычисления производятся аналогично.

Минор и алгебраическое дополнение

Прежде чем перейти к рассмотрению еще одного способа вычисления определителей 3-го порядка разберем 2 понятия: минор, алгебраическое дополнение.

Минор

Минор

Минором MijM_{ij} к элементу aija_{ij} определителя n-го порядка называется определитель (n1)(n-1)-го порядка, который получается из исходного определителя вычеркиванием ii-той строки и jj-того столбца.

Таким образом, минор — это определитель, который остается после вычеркивания определенной строки и определенного столбца. Например, M11M_{11} получается вычеркиванием 1-й строки и 1-го столбца, M23M_{23} — вычеркиванием 2-й строки и 3-го столбца.

Алгоритм нахождения миноров:

  1. вычеркиваем ii-ю строку;
  2. вычеркиваем jj-й столбец;
  3. записываем определитель, который получили в результате действий 1 и 2.

Примеры

Пример 1

Найти миноры матрицы F=(925148637)F=\begin{pmatrix}9&2&5\\1&4&8\\6&3&7\end{pmatrix}.

Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, обозначим зеленым цветом.

M11=925148637=4837=4738=2824=4M_{11}=\begin{vmatrix}\color{green}9&\color{green}2&\color{green}5\\\color{green}1&4&8\\\color{green}6&3&7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}4&8\\3&7\end{vmatrix}=4\cdot7-3\cdot8=28-24=4,

M12=925148637=1867=1768=748=41M_{12}=\begin{vmatrix}\color{green}9&\color{green}2&\color{green}5\\1&\color{green}4&8\\6&\color{green}3&7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&8\\6&7\end{vmatrix}=1\cdot7-6\cdot8=7-48=-41,

M13=925148637=1463=1364=324=21M_{13}=\begin{vmatrix}\color{green}9&\color{green}2&\color{green}5\\1&4&\color{green}8\\6&3&\color{green}7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&4\\6&3\end{vmatrix}=1\cdot3-6\cdot4=3-24=-21,

M21=925148637=2537=2735=1415=1M_{21}=\begin{vmatrix}\color{green}9&2&5\\\color{green}1&\color{green}4&\color{green}8\\\color{green}6&3&7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&5\\3&7\end{vmatrix}=2\cdot7-3\cdot5=14-15=-1,

M22=925148637=9567=9765=6330=33M_{22}=\begin{vmatrix}9&\color{green}2&5\\\color{green}1&\color{green}4&\color{green}8\\6&\color{green}3&7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}9&5\\6&7\end{vmatrix}=9\cdot7-6\cdot5=63-30=33,

M23=925148637=9263=9362=2712=15M_{23}=\begin{vmatrix}9&2&\color{green}5\\\color{green}1&\color{green}4&\color{green}8\\6&3&\color{green}7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}9&2\\6&3\end{vmatrix}=9\cdot3-6\cdot2=27-12=15,

M31=925148637=2548=2845=1620=4M_{31}=\begin{vmatrix}\color{green}9&2&5\\\color{green}1&4&8\\\color{green}6&\color{green}3&\color{green}7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&5\\4&8\end{vmatrix}=2\cdot8-4\cdot5=16-20=-4,

M32=925148637=9518=9815=725=67M_{32}=\begin{vmatrix}9&\color{green}2&5\\1&\color{green}4&8\\\color{green}6&\color{green}3&\color{green}7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}9&5\\1&8\end{vmatrix}=9\cdot8-1\cdot5=72-5=67,

M33=925148637=9214=9412=362=34M_{33}=\begin{vmatrix}9&2&\color{green}5\\1&4&\color{green}8\\\color{green}6&\color{green}3&\color{green}7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}9&2\\1&4\end{vmatrix}=9\cdot4-1\cdot2=36-2=34.

Пример 2

Найти миноры матрицы G=(214635101)G=\begin{pmatrix}2&1&-4\\6&-3&5\\1&0&-1\end{pmatrix}.

Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, обозначим зеленым цветом.

M11=214635101=3501=(3)(1)05=30=3M_{11}=\begin{vmatrix}\color{green}2&\color{green}1&\color{green}-4\\\color{green}6&-3&5\\\color{green}1&0&-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}-3&5\\0&-1\end{vmatrix}=(-3)\cdot(-1)-0\cdot5=3-0=3,

M12=214635101=6511=6(1)15=65=11M_{12}=\begin{vmatrix}\color{green}2&\color{green}1&\color{green}-4\\6&\color{green}-3&5\\1&\color{green}0&-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}6&5\\1&-1\end{vmatrix}=6\cdot(-1)-1\cdot5=-6-5=-11,

M13=214635101=6310=601(3)=0+3=3M_{13}=\begin{vmatrix}\color{green}2&\color{green}1&\color{green}-4\\6&-3&\color{green}5\\1&0&\color{green}-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}6&-3\\1&0\end{vmatrix}=6\cdot0-1\cdot(-3)=0+3=3,

M21=214635101=1401=1(1)0(4)=10=1M_{21}=\begin{vmatrix}\color{green}2&1&-4\\\color{green}6&\color{green}-3&\color{green}5\\\color{green}1&0&-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&-4\\0&-1\end{vmatrix}=1\cdot(-1)-0\cdot(-4)=-1-0=-1,

M22=214635101=2411=2(1)1(4)=2+4=2M_{22}=\begin{vmatrix}2&\color{green}1&-4\\\color{green}6&\color{green}-3&\color{green}5\\1&\color{green}0&-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&-4\\1&-1\end{vmatrix}=2\cdot(-1)-1\cdot(-4)=-2+4=2,

M23=214635101=2110=2011=01=1M_{23}=\begin{vmatrix}2&1&\color{green}-4\\\color{green}6&\color{green}-3&\color{green}5\\1&0&\color{green}-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&1\\1&0\end{vmatrix}=2\cdot0-1\cdot1=0-1=-1,

M31=214635101=1435=15(3)(4)=512=7M_{31}=\begin{vmatrix}\color{green}2&1&-4\\\color{green}6&-3&5\\\color{green}1&\color{green}0&\color{green}-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&-4\\-3&5\end{vmatrix}=1\cdot5-(-3)\cdot(-4)=5-12=-7,

M32=214635101=2465=256(4)=10+24=34M_{32}=\begin{vmatrix}2&\color{green}1&-4\\6&\color{green}-3&5\\\color{green}1&\color{green}0&\color{green}-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&-4\\6&5\end{vmatrix}=2\cdot5-6\cdot(-4)=10+24=34,

M33=214635101=2163=2(3)61=66=12M_{33}=\begin{vmatrix}2&1&\color{green}-4\\6&-3&\color{green}5\\\color{green}1&\color{green}0&\color{green}-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&1\\6&-3\end{vmatrix}=2\cdot(-3)-6\cdot1=-6-6=-12.

Алгебраическое дополнение

Алгебраическое дополнение

Алгебраическим дополнением AijA_{ij} к элементу aija_{ij} определителя nn-го порядка называется число Aij=(1)i+jMijA_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot M_{ij},

где ii, jj — соответствующие строка и столбец,

MijM_{ij} — минор к элементу aija_{ij}.

Алгоритм нахождения алгебраических дополнений:

  1. найти сумму номеров строки (i)(i) и столбца (j)(j);
  2. найти минор MijM_{ij} по алгоритму нахождения миноров, который представлен выше;
  3. подставить значения, полученные на шагах 1 и 2, в формулу Aij=(1)i+jMijA_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot M_{ij}.

Примеры

Пример 1

Найти алгебраические дополнения матрицы F=(925148637)F=\begin{pmatrix}9&2&5\\1&4&8\\6&3&7\end{pmatrix}.

A11=(1)1+1M11=(1)24837=4A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot M_{11}= (-1)^{2}\cdot\begin{vmatrix}4&8\\3&7\end{vmatrix}=4,

A12=(1)1+2M12=(1)31867=41A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot M_{12}= (-1)^{3}\cdot\begin{vmatrix}1&8\\6&7\end{vmatrix}=41,

A13=(1)1+3M13=(1)41463=21A_{13}=(-1)^{1+3}\cdot M_{13}= (-1)^{4}\cdot\begin{vmatrix}1&4\\6&3\end{vmatrix}=-21,

A21=(1)2+1M21=(1)32537=1A_{21}=(-1)^{2+1}\cdot M_{21}= (-1)^{3}\cdot\begin{vmatrix}2&5\\3&7\end{vmatrix}=1,

A22=(1)2+2M22=(1)49567=33A_{22}=(-1)^{2+2}\cdot M_{22}= (-1)^{4}\cdot\begin{vmatrix}9&5\\6&7\end{vmatrix}=33,

A23=(1)2+3M23=(1)59263=15A_{23}=(-1)^{2+3}\cdot M_{23}= (-1)^{5}\cdot\begin{vmatrix}9&2\\6&3\end{vmatrix}=-15,

A31=(1)3+1M31=(1)42548=4A_{31}=(-1)^{3+1}\cdot M_{31}=(-1)^{4}\cdot\begin{vmatrix}2&5\\4&8\end{vmatrix}=-4,

A32=(1)3+2M32=(1)59518=67A_{32}=(-1)^{3+2}\cdot M_{32}=(-1)^{5}\cdot\begin{vmatrix}9&5\\1&8\end{vmatrix}=-67,

A33=(1)3+3M33=(1)69214=34A_{33}=(-1)^{3+3}\cdot M_{33}=(-1)^{6}\cdot\begin{vmatrix}9&2\\1&4\end{vmatrix}=34.

Пример 2

Найти алгебраические дополнения матрицы G=(214635101)G=\begin{pmatrix}2&1&-4\\6&-3&5\\1&0&-1\end{pmatrix}.

A11=(1)1+1M11=(1)23501=3A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot M_{11}=(-1)^{2}\cdot\begin{vmatrix}-3&5\\0&-1\end{vmatrix}=3,

A12=(1)1+2M12=(1)36511=11A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot M_{12}=(-1)^{3}\cdot\begin{vmatrix}6&5\\1&-1\end{vmatrix}=11,

A13=(1)1+3M13=(1)46310=3A_{13}=(-1)^{1+3}\cdot M_{13}=(-1)^{4}\cdot\begin{vmatrix}6&-3\\1&0\end{vmatrix}=3,

A21=(1)2+1M21=(1)31401=1A_{21}=(-1)^{2+1}\cdot M_{21}=(-1)^{3}\cdot\begin{vmatrix}1&-4\\0&-1\end{vmatrix}=1,

A22=(1)2+2M22=(1)42411=2A_{22}=(-1)^{2+2}\cdot M_{22}=(-1)^{4}\cdot\begin{vmatrix}2&-4\\1&-1\end{vmatrix}=2,

A23=(1)2+3M23=(1)52110=1A_{23}=(-1)^{2+3}\cdot M_{23}=(-1)^{5}\cdot\begin{vmatrix}2&1\\1&0\end{vmatrix}=1,

A31=(1)3+1M31=(1)41435=7A_{31}=(-1)^{3+1}\cdot M_{31}=(-1)^{4}\cdot\begin{vmatrix}1&-4\\-3&5\end{vmatrix}=-7,

A32=(1)3+2M32=(1)52465=34A_{32}=(-1)^{3+2}\cdot M_{32}=(-1)^{5}\cdot\begin{vmatrix}2&-4\\6&5\end{vmatrix}=-34,

A33=(1)3+3M33=(1)62163=12A_{33}=(-1)^{3+3}\cdot M_{33}=(-1)^{6}\cdot\begin{vmatrix}2&1\\6&-3\end{vmatrix}=-12.

Зная, что такое миноры и алгебраические дополнения, рассмотрим вычисление определителя по строке и столбцу.

Вычисление определителя по строке или столбцу

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Алгоритм вычисления определителя по строке или столбцу:

  1. находим алгебраические дополнения элементов строки или столбца;
  2. находим произведения элементов на их алгебраические дополнения;
  3. находим сумму, полученных на шаге 2, произведений.

Примеры

Пример 1

Найти определитель 925148637\begin{vmatrix}9&2&5\\1&4&8\\6&3&7\end{vmatrix} по 2 столбцу.

925148637=2A12+4A22+3\begin{vmatrix}9&2&5\\1&4&8\\6&3&7\end{vmatrix}=2\cdot A_{12}+4\cdot A_{22}+3\cdot

A32=2(1)3M12+4(1)4M22+3(1)5M32=2(1)31867+4(1)49567+3(1)59518=A_{32}=2(-1)^{3}M_{12}+4(-1)^{4}M_{22}+3(-1)^{5}M_{32}=2(-1)^{3}\begin{vmatrix}1&8\\6&7\end{vmatrix}+4(-1)^{4}\begin{vmatrix}9&5\\6&7\end{vmatrix}+3(-1)^{5}\begin{vmatrix}9&5\\1&8\end{vmatrix}=

=2(41)+433367=82+132201=13=-2\cdot(-41)+4\cdot33-3\cdot67=82+132-201=13.

Пример 2

Найти определитель 214635101\begin{vmatrix}2&1&-4\\6&-3&5\\1&0&-1\end{vmatrix} по 3 строке.

214635101=1A31+0A321A33=1(1)4M31+0(1)5M321(1)6M33=\begin{vmatrix}2&1&-4\\6&-3&5\\1&0&-1\end{vmatrix}=1\cdot A_{31}+0\cdot A_{32}-1\cdot A_{33}=1(-1)^{4}M_{31}+0(-1)^{5}M_{32}-1(-1)^{6}M_{33}=

=1(1)41435+0(1)524651(1)62163=7+0+12=5=1(-1)^{4}\begin{vmatrix}1&-4\\-3&5\end{vmatrix}+0(-1)^{5}\begin{vmatrix}2&-4\\6&5\end{vmatrix}-1(-1)^{6}\begin{vmatrix}2&1\\6&-3\end{vmatrix}=-7+0+12=5.

Любой из рассмотренных способов можно применять при нахождении определителей третьего порядка. В следующий раз мы разберем вычисление определителей матриц высших порядков.

Автор статьи
+1
-0
Комментарии
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Кто в России счастлив на работе

Кто в России счастлив на работе?
358 +21
3

Как защищать курсовую работу

О том, как преподнести себя публике и уберечь нервную систему (не только свою), представляя свое научное детище, – читайте в нашей статье.
131 +20
1

Антиплагиат: что это такое

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
3462 +17
0

Образование за рубежом: все ли так идеально?

Студенты за рубежом выступают против платного образования и поддельных дипломов.
20 +14
0
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ