224
8 Авг в 07:4108.08.2018 в 07:41

Как вычислить определитель матрицы высших порядков

Содержание

Если вы приступили к изучению данной темы, то вы уже знакомы с понятием определителя матрицы и умеете находить определители первого, второго и третьего порядка.

Прежде чем начать рассмотрение новой темы, рекомендуется повторить правило вычисления определителя по строке и столбцу, рассматривающееся в теме «Как вычислить определитель матрицы третьего порядка», свойства определителей, а также нахождение миноров и алгебраических дополнений.

Разложение определителей по строкам или столбцам

Для вычисления определителей высших порядков применяется способ разложения определителя по строке или столбцу. Это позволяет представить детерминант в виде суммы произведений элементов какой-либо его строки или столбца на соответствующие этим элементам алгебраические дополнения. В таком случае вычисление определителя nn-го порядка сводится к вычислению определителей n1n-1-го порядка.

Пример 1

Найти определитель 3245432452373429\begin{vmatrix}3&2&4&5\\4&-3&2&-4\\5&-2&-3&-7\\-3&4&2&9\end{vmatrix} двумя способами:

  1. по 2-й строке;
  2. по 3-у столбцу.

1 способ. Разложим определитель 4-го порядка по строке №2 и вычислим его:

3245432452373429=4(1)2+1245237429+(3)(1)2+2345537329+2(1)2+3325527349+(4)(1)2+4324523342=\begin{vmatrix}3&2&4&5\\4&-3&2&-4\\5&-2&-3&-7\\-3&4&2&9\end{vmatrix}=4(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}2&4&5\\-2&-3&-7\\4&2&9\end{vmatrix}+(-3)(-1)^{2+2}\begin{vmatrix}3&4&5\\5&-3&-7\\-3&2&9\end{vmatrix}+2(-1)^{2+3}\begin{vmatrix}3&2&5\\5&-2&-7\\-3&4&9\end{vmatrix}+(-4)(-1)^{2+4}\begin{vmatrix}3&2&4\\5&-2&-3\\-3&4&2\end{vmatrix}=

=4245237429334553732923255273494324523342=4(5420112+60+28+72)3(81+50+8445+42180)2(54+100+4230+8490)4(12+80+1824+3620)=4(26)3(130)252478=104+390104312=78=-4\begin{vmatrix}2&4&5\\-2&-3&-7\\4&2&9\end{vmatrix}-3\begin{vmatrix}3&4&5\\5&-3&-7\\-3&2&9\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}3&2&5\\5&-2&-7\\-3&4&9\end{vmatrix}-4\begin{vmatrix}3&2&4\\5&-2&-3\\-3&4&2\end{vmatrix}=-4(-54-20-112+60+28+72)-3(-81+50+84-45+42-180)-2(-54+100+42-30+84-90)-4(-12+80+18-24+36-20)=-4(-26)-3(-130)-2\cdot52-4\cdot78=104+390-104-312=78.

2 способ. Разложим определитель 4-го порядка по 3 столбцу и вычислим его:

3245432452373429=4(1)1+3434527349+2(1)2+3325527349+(3)(1)3+3325434349+2(1)4+3325434527=\begin{vmatrix}3&2&4&5\\4&-3&2&-4\\5&-2&-3&-7\\-3&4&2&9\end{vmatrix}=4(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}4&-3&-4\\5&-2&-7\\-3&4&9\end{vmatrix}+2(-1)^{2+3}\begin{vmatrix}3&2&5\\5&-2&-7\\-3&4&9\end{vmatrix}+(-3)(-1)^{3+3}\begin{vmatrix}3&2&5\\4&-3&-4\\-3&4&9\end{vmatrix}+2(-1)^{4+3}\begin{vmatrix}3&2&5\\4&-3&-4\\5&-2&-7\end{vmatrix}=

=4434527349232552734933254343492325434527=4(728063+24+112+135)2(54+100+4230+8490)3(81+80+2445+4872)2(634040+7524+56)=4562523(45)290=224104+138180=78=4\begin{vmatrix}4&-3&-4\\5&-2&-7\\-3&4&9\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}3&2&5\\5&-2&-7\\-3&4&9\end{vmatrix}-3\begin{vmatrix}3&2&5\\4&-3&-4\\-3&4&9\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}3&2&5\\4&-3&-4\\5&-2&-7\end{vmatrix}=4(-72-80-63+24+112+135)-2(-54+100+42-30+84-90)-3(-81+80+24-45+48-72)-2(63-40-40+75-24+56)=4\cdot56-2\cdot52-3\cdot(-45)-2\cdot90=224-104+138-180=78.

Метод понижения порядка

Для упрощения расчетов при вычислении определителей рекомендуется применять их свойства. Рассмотрим примеры вычисления определителей с применением их свойств.

Пример 1

Вычислить определитель

6384564203424146\begin{vmatrix}6&3&8&-4\\5&6&4&2\\0&3&4&2\\4&1&-4&6\end{vmatrix}.

Вынесем из столбца №3 множитель 4:

6384564203424146=46324561203124116\begin{vmatrix}6&3&8&-4\\5&6&4&2\\0&3&4&2\\4&1&-4&6\end{vmatrix}=4\cdot\begin{vmatrix}6&3&2&-4\\5&6&1&2\\0&3&1&2\\4&1&-1&6\end{vmatrix}.

Вынесем из столбца №4 множитель 2:

46324561203124116=426322561103114113=863225611031141134\cdot\begin{vmatrix}6&3&2&-4\\5&6&1&2\\0&3&1&2\\4&1&-1&6\end{vmatrix}=4\cdot2\cdot\begin{vmatrix}6&3&2&-2\\5&6&1&1\\0&3&1&1\\4&1&-1&3\end{vmatrix}=8\cdot\begin{vmatrix}6&3&2&-2\\5&6&1&1\\0&3&1&1\\4&1&-1&3\end{vmatrix}.

Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на -2:

86322561103114113=849045611031141138\cdot\begin{vmatrix}6&3&2&-2\\5&6&1&1\\0&3&1&1\\4&1&-1&3\end{vmatrix}=8\cdot\begin{vmatrix}-4&-9&0&-4\\5&6&1&1\\0&3&1&1\\4&1&-1&3\end{vmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №2, умноженную на -1:

84904561103114113=849045611530041138\cdot\begin{vmatrix}-4&-9&0&-4\\5&6&1&1\\0&3&1&1\\4&1&-1&3\end{vmatrix}=8\cdot\begin{vmatrix}-4&-9&0&-4\\5&6&1&1\\-5&-3&0&0\\4&1&-1&3\end{vmatrix}.

Прибавим к строке №4 строку №2, умноженную на 1:

84904561153004113=849045611530097048\cdot\begin{vmatrix}-4&-9&0&-4\\5&6&1&1\\-5&-3&0&0\\4&1&-1&3\end{vmatrix}=8\cdot\begin{vmatrix}-4&-9&0&-4\\5&6&1&1\\-5&-3&0&0\\9&7&0&4\end{vmatrix}.

Разложим определитель по столбцу №3:

84904561153009704=81(1)2+3494530974=8(1)5494530974=84945309748\cdot\begin{vmatrix}-4&-9&0&-4\\5&6&1&1\\-5&-3&0&0\\9&7&0&4\end{vmatrix}=8\cdot1\cdot(-1)^{2+3}\begin{vmatrix}-4&-9&-4\\-5&-3&0\\9&7&4\end{vmatrix}=8\cdot(-1)^{5}\begin{vmatrix}-4&-9&-4\\-5&-3&0\\9&7&4\end{vmatrix}=-8\begin{vmatrix}-4&-9&-4\\-5&-3&0\\9&7&4\end{vmatrix}.

Прибавим к строке №1 строку №3, умноженную на 1:

8494530974=8520530974-8\begin{vmatrix}-4&-9&-4\\-5&-3&0\\9&7&4\end{vmatrix}=-8\begin{vmatrix}5&-2&0\\-5&-3&0\\9&7&4\end{vmatrix}.

Разложим определитель по столбцу №3 и вычислим его:

8520530974=84(1)3+35253=32(1)65253=325253-8\begin{vmatrix}5&-2&0\\-5&-3&0\\9&7&4\end{vmatrix}=-8\cdot4\cdot(-1)^{3+3}\begin{vmatrix}5&-2\\-5&-3\end{vmatrix}=-32\cdot(-1)^{6}\begin{vmatrix}5&-2\\-5&-3\end{vmatrix}=-32\begin{vmatrix}5&-2\\-5&-3\end{vmatrix}.

Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на 1:

325253=325205-32\begin{vmatrix}5&-2\\-5&-3\end{vmatrix}=-32\begin{vmatrix}5&-2\\0&-5\end{vmatrix}.

Разложим определитель по столбцу №1 и заменим определитель 1-го порядка единственным его элементом:

325205=325(1)1+1(5)=3251(5)=800-32\begin{vmatrix}5&-2\\0&-5\end{vmatrix}=-32\cdot5\cdot(-1)^{1+1}\cdot(-5)=-32\cdot5\cdot1\cdot(-5)=800.

Пример 2

Вычислить определитель

441018237523325732122112176657211221\begin{vmatrix}4&4&-1&0&-1&8\\2&3&7&5&2&3\\3&2&5&7&3&2\\1&2&2&1&1&2\\1&7&6&6&5&7\\2&1&1&2&2&1\end{vmatrix}.

Прибавим к строке №1 строку №4, умноженную на -4:

441018237523325732122112176657211221=049450237523325732122112176657211221\begin{vmatrix}4&4&-1&0&-1&8\\2&3&7&5&2&3\\3&2&5&7&3&2\\1&2&2&1&1&2\\1&7&6&6&5&7\\2&1&1&2&2&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&-4&-9&-4&-5&0\\2&3&7&5&2&3\\3&2&5&7&3&2\\1&2&2&1&1&2\\1&7&6&6&5&7\\2&1&1&2&2&1\end{vmatrix}.

Прибавим к строке №2 строку №4, умноженную на -2:

049450237523325732122112176657211221=049450013301325732122112176657211221\begin{vmatrix}0&-4&-9&-4&-5&0\\2&3&7&5&2&3\\3&2&5&7&3&2\\1&2&2&1&1&2\\1&7&6&6&5&7\\2&1&1&2&2&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&-4&-9&-4&-5&0\\0&-1&3&3&0&-1\\3&2&5&7&3&2\\1&2&2&1&1&2\\1&7&6&6&5&7\\2&1&1&2&2&1\end{vmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №4, умноженную на -3:

049450013301325732122112176657211221=049450013301041404122112176657211221\begin{vmatrix}0&-4&-9&-4&-5&0\\0&-1&3&3&0&-1\\3&2&5&7&3&2\\1&2&2&1&1&2\\1&7&6&6&5&7\\2&1&1&2&2&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&-4&-9&-4&-5&0\\0&-1&3&3&0&-1\\0&-4&-1&4&0&-4\\1&2&2&1&1&2\\1&7&6&6&5&7\\2&1&1&2&2&1\end{vmatrix}.

Прибавим к строке №5 строку №4, умноженную на -1:

049450013301041404122112176657211221=049450013301041404122112054545211221\begin{vmatrix}0&-4&-9&-4&-5&0\\0&-1&3&3&0&-1\\0&-4&-1&4&0&-4\\1&2&2&1&1&2\\1&7&6&6&5&7\\2&1&1&2&2&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&-4&-9&-4&-5&0\\0&-1&3&3&0&-1\\0&-4&-1&4&0&-4\\1&2&2&1&1&2\\0&5&4&5&4&5\\2&1&1&2&2&1\end{vmatrix}.

Прибавим к строке №6 строку №4, умноженную на -2:

049450013301041404122112054545211221=049450013301041404122112054545033003\begin{vmatrix}0&-4&-9&-4&-5&0\\0&-1&3&3&0&-1\\0&-4&-1&4&0&-4\\1&2&2&1&1&2\\0&5&4&5&4&5\\2&1&1&2&2&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&-4&-9&-4&-5&0\\0&-1&3&3&0&-1\\0&-4&-1&4&0&-4\\1&2&2&1&1&2\\0&5&4&5&4&5\\0&-3&-3&0&0&-3\end{vmatrix}.

Разложим определитель по 1 столбцу:

049450013301041404122112054545033003=1(1)4+14945013301414045454533003=4945013301414045454533003\begin{vmatrix}0&-4&-9&-4&-5&0\\0&-1&3&3&0&-1\\0&-4&-1&4&0&-4\\1&2&2&1&1&2\\0&5&4&5&4&5\\0&-3&-3&0&0&-3\end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{4+1}\begin{vmatrix}-4&-9&-4&-5&0\\-1&3&3&0&-1\\-4&-1&4&0&-4\\5&4&5&4&5\\-3&-3&0&0&-3\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}-4&-9&-4&-5&0\\-1&3&3&0&-1\\-4&-1&4&0&-4\\5&4&5&4&5\\-3&-3&0&0&-3\end{vmatrix}.

Прибавим к строке №1 строку №3, умноженную на -1:

4945013301414045454533003=0885413301414045454533003-\begin{vmatrix}-4&-9&-4&-5&0\\-1&3&3&0&-1\\-4&-1&4&0&-4\\5&4&5&4&5\\-3&-3&0&0&-3\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}0&-8&-8&-5&4\\-1&3&3&0&-1\\-4&-1&4&0&-4\\5&4&5&4&5\\-3&-3&0&0&-3\end{vmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №2, умноженную на -4:

0885413301414045454533003=08854133010138005454533003-\begin{vmatrix}0&-8&-8&-5&4\\-1&3&3&0&-1\\-4&-1&4&0&-4\\5&4&5&4&5\\-3&-3&0&0&-3\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}0&-8&-8&-5&4\\-1&3&3&0&-1\\0&-13&-8&0&0\\5&4&5&4&5\\-3&-3&0&0&-3\end{vmatrix}.

Прибавим к строке №4 строку №2, умноженную на 5:

08854133010138005454533003=0885413301013800019204033003-\begin{vmatrix}0&-8&-8&-5&4\\-1&3&3&0&-1\\0&-13&-8&0&0\\5&4&5&4&5\\-3&-3&0&0&-3\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}0&-8&-8&-5&4\\-1&3&3&0&-1\\0&-13&-8&0&0\\0&19&20&4&0\\-3&-3&0&0&-3\end{vmatrix}.

Прибавим у строке №5 строку №2, умноженную на -3:

0885413301013800019204033003=08854133010138000192040012900-\begin{vmatrix}0&-8&-8&-5&4\\-1&3&3&0&-1\\0&-13&-8&0&0\\0&19&20&4&0\\-3&-3&0&0&-3\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}0&-8&-8&-5&4\\-1&3&3&0&-1\\0&-13&-8&0&0\\0&19&20&4&0\\0&-12&-9&0&0\end{vmatrix}.

Разложим определитель по 1 столбцу:

08854133010138000192040012900=(1)(1)2+188541380019204012900=(1)388541380019204012900=88541380019204012900-\begin{vmatrix}0&-8&-8&-5&4\\-1&3&3&0&-1\\0&-13&-8&0&0\\0&19&20&4&0\\0&-12&-9&0&0\end{vmatrix}=-(-1)\cdot(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}-8&-8&-5&4\\-13&-8&0&0\\19&20&4&0\\-12&-9&0&0\end{vmatrix}=(-1)^{3}\begin{vmatrix}-8&-8&-5&4\\-13&-8&0&0\\19&20&4&0\\-12&-9&0&0\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}-8&-8&-5&4\\-13&-8&0&0\\19&20&4&0\\-12&-9&0&0\end{vmatrix}.

Вынесем множитель -3 из строки №4:

88541380019204012900=(3)8854138001920404300=38854138001920404300-\begin{vmatrix}-8&-8&-5&4\\-13&-8&0&0\\19&20&4&0\\-12&-9&0&0\end{vmatrix}=-(-3)\begin{vmatrix}-8&-8&-5&4\\-13&-8&0&0\\19&20&4&0\\4&3&0&0\end{vmatrix}=3\begin{vmatrix}-8&-8&-5&4\\-13&-8&0&0\\19&20&4&0\\4&3&0&0\end{vmatrix}.

Разложим определитель по 4 столбцу:

38854138001920404300=34(1)1+4138019204430=12(1)5138019204430=121380192044303\begin{vmatrix}-8&-8&-5&4\\-13&-8&0&0\\19&20&4&0\\4&3&0&0\end{vmatrix}=3\cdot4\cdot(-1)^{1+4}\begin{vmatrix}-13&-8&0\\19&20&4\\4&3&0\end{vmatrix}=12\cdot(-1)^{5}\begin{vmatrix}-13&-8&0\\19&20&4\\4&3&0\end{vmatrix}=-12\begin{vmatrix}-13&-8&0\\19&20&4\\4&3&0\end{vmatrix}.

Разложим определитель по столбцу №3 и вычислим его:

12138019204430=124(1)2+313843=48(1)513843=4813843-12\begin{vmatrix}-13&-8&0\\19&20&4\\4&3&0\end{vmatrix}=-12\cdot4\cdot(-1)^{2+3}\begin{vmatrix}-13&-8\\4&3\end{vmatrix}=-48\cdot(-1)^{5}\begin{vmatrix}-13&-8\\4&3\end{vmatrix}=48\begin{vmatrix}-13&-8\\4&3\end{vmatrix}.

Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на 3:

4813843=48114348\begin{vmatrix}-13&-8\\4&3\end{vmatrix}=48\begin{vmatrix}-1&1\\4&3\end{vmatrix}.

Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на 4:

481143=48110748\begin{vmatrix}-1&1\\4&3\end{vmatrix}=48\begin{vmatrix}-1&1\\0&7\end{vmatrix}.

Разложим определитель по столбцу №1 и заменим определитель 1-го порядка единственным его элементом:

481107=48(1)(1)1+17=48(1)17=33648\begin{vmatrix}-1&1\\0&7\end{vmatrix}=48\cdot(-1)\cdot(-1)^{1+1}\cdot7=48\cdot(-1)\cdot1\cdot7=-336 .

Приведение к треугольному виду

Данный метод состоит в том, чтобы привести определитель к треугольному виду, а затем вычислить произведение элементов, стоящих на главной диагонали.

Пример 1

Вычислить определитель 4205322121312363\begin{vmatrix}4&-2&0&5\\3&2&-2&1\\-2&1&3&-1\\2&3&-6&-3\end{vmatrix}.

Поменяем местами строки №1 и №3:

4205322121312363=2131322142052363\begin{vmatrix}4&-2&0&5\\3&2&-2&1\\-2&1&3&-1\\2&3&-6&-3\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}-2&1&3&-1\\3&2&-2&1\\4&-2&0&5\\2&3&-6&-3\end{vmatrix}.

Прибавим к строке №4 строку №1, умноженную на 1:

2131322142052363=2131322142050434-\begin{vmatrix}-2&1&3&-1\\3&2&-2&1\\4&-2&0&5\\2&3&-6&-3\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}-2&1&3&-1\\3&2&-2&1\\4&-2&0&5\\0&4&-3&-4\end{vmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №1, умноженную на 2:

2131322142050434=2131322100630434-\begin{vmatrix}-2&1&3&-1\\3&2&-2&1\\4&-2&0&5\\0&4&-3&-4\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}-2&1&3&-1\\3&2&-2&1\\0&0&6&3\\0&4&-3&-4\end{vmatrix}.

Умножим строку №2 на 2:

2131322100630434=122131644200630434\begin{vmatrix}-2&1&3&-1\\3&2&-2&1\\0&0&6&3\\0&4&-3&-4\end{vmatrix}=-\frac{1}{2}\begin{vmatrix}-2&1&3&-1\\6&4&-4&2\\0&0&6&3\\0&4&-3&-4\end{vmatrix}