Касательная функции

Содержание

  1. 1. Касательная к графику
  2. 2. Что же понимают под касательной к графику функции?
  3. 3. Особенности касательной к функции
  4. 4. Тест на тему “Касательная функции”
Касательная прямая к кривой в точке

Прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Говоря общими словами, касательная прямая - это такая прямая, которая в данной конкретной точке наилучшим образом представляет кривую и ее направление в ней. Касательную прямую также можно определить, как предельное положение секущей прямой в данной точке.

Касательная к графику

Частным случаем касательной к кривой является касательная к графику (некоей функции). Например - касательная к синусоиде.

Прямая а может быть касательной к синусоиде в какой-то точке ТТ и пересекать эту синусоиду в других точках:

Касательная функции.png

Что же понимают под касательной к графику функции?

Пусть дано график функции y=f(x)y = f(x) и на ней точку ТТ, которая не является концом графика (см. рис.):

Касательная функции2.png

Обозначим на данном графике по разные стороны от ТТ произвольные точки Т1Т_1 и Т2Т_2. Прямые ТТ1ТТ_1 и ТТ2ТТ_2, вообще говоря, - секущие. Если же точки Т1Т_1 и Т2Т_2, двигаясь по графику, приближать достаточно близко к ТТ, то секущие ТТ1ТТ_1 и ТТ2ТТ_2 как угодно близко будут приближаться к некоторой прямой аа.

Такую прямую аа (если она существует) называют касательной к графику функции у=f(x)у = f(x) в точке ТТ.

Если график функции иной:

Касательная функции3.png

то при неограниченном приближении точек Т1Т_1 и Т2Т_2 к ТТ предельные положения секущих ТТ1ТТ_1 и ТТ2ТТ_2 не будут совпадать. Говорят, что в точке ТТ касательной к графику не существует. И если ТТ - конечная точка графика, то касательной к нему в точке ТТ не существует.

До сих пор речь шла о касательной криволинейных графиков. Но графиком функции может быть и прямая или часть прямой. Поэтому для всеобщности соображений договариваются, что касательной к прямой в любой ее точке считают эту самую прямую. Касательной к отрезку или лучу в любой его внутренней точке считают прямую, которой принадлежит этому отрезку или лучу. Понятие касательной к графику часто используют для исследования функций.

Особенности касательной к функции

Уравнение касательной прямой функции имеет вид у=kx+bу = kx + b, где kk - угловой коэффициент - тангенс угла между лучом касательной, расположенным выше оси хх, и положительным направлением этой оси. Обратите внимание на угловой коэффициент kk касательной, проведенной к графику какой-либо функции в его точке с абсциссой хх. Если число хх принадлежит промежутку возрастания функции, то соответствующее значение kk примет положительное значение:

Касательная функции4.png

Если хх принадлежит промежутку убывания функции, то соответствующее значение kk примет отрицательное значение.

Касательная функции5.png

И наоборот: если каждому значению х из некоторого промежутка (а;b)(а; b) соответствует положительное значение kk, то на (а;b)(а; b) данная функция возрастает; если каждому значению хх из некоторого промежутка (с;d)(с; d) соответствует отрицательное значение kk, то на (с;d)(с; d) функция убывает. Заслуживают внимания и те точки графика функции, в которых касательная не существует, и в которых она параллельна оси хх, то есть когда ее угловой коэффициент равен 00.

На Студворк вы можете заказать статью по математике онлайн у профильных экспертов!

Тест на тему “Касательная функции”

Комментарии

Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир