До начала разговора о комплексных числах надо иметь представление о вещественных числах. С вещественными числами имеет дело школьная математика. Каждое вещественное число можно записать десятичной дробью — правда, эта дробь может оказаться бесконечной, как у числа (периодическая дробь) или у числа (бесконечная непериодическая дробь). Вещественные числа изображаются точками на числовой прямой: каждому числу соответствует точка, и каждой точке — число.
Все множество вещественных чисел обозначается .
Математическая запись означает, что является вещественным числом (принадлежит множеству вещественных чисел). Вещественные числа — то же самое, что действительные.
Построение комплексных чисел
Комплексное число состоит из двух вещественных чисел и одного уникального нового элемента, который обозначается буквой и не является вещественным числом.
Элемент называется мнимой единицей, а комплексное число записывается выражением
,
где
Знак умножения обычно опускается, как это принято в математике, и запись комплексного числа может выглядеть так: или даже так: .
Примеры комплексных чисел:
Последний пример показывает, что вещественные числа тоже относятся к комплексным (потому что любое вещественное число x можно записать как ).
Все множество комплексных чисел обозначается символом .
Тот факт, что все вещественные числа являются и комплексными, можно математически записать в виде включения множеств: .
Пусть — комплексное число. Тогда число называется вещественной частью числа (записывается это так: ), а число — мнимой частью числа (это записывается так: . Например:
Изображение комплексных чисел. Комплексная плоскость
У комплексного числа две вещественные координаты: и .
Поэтому комплексные числа можно изображать точками на плоскости с обычной декартовой системой координат: любому комплексному числу соответствует точка плоскости с координатами , и любой точке декартовой плоскости, поскольку у неё есть две координаты, соответствует комплексное число. На следующем рисунке отмечены несколько точек плоскости и записаны соответствующие им комплексные числа.
При изображении комплексного числа точкой плоскости вещественная часть числа откладывается на горизонтальной оси (оси абсцисс), а мнимая часть — на вертикальной (оси ординат). Поэтому на комплексной плоскости ось абсцисс называется также вещественной осью, а ось ординат — мнимой осью.
Заказать статью по математике у экспертов биржи Студворк!
Комментарии