Комплексные числа

Содержание

  1. 1. Построение комплексных чисел
  2. 2. Изображение комплексных чисел. Комплексная плоскость

До начала разговора о комплексных числах надо иметь представление о вещественных числах. С вещественными числами имеет дело школьная математика. Каждое вещественное число можно записать десятичной дробью — правда, эта дробь может оказаться бесконечной, как у числа 111=0,090909...=0,(09)\frac{1}{11} = 0,090909... = 0,(09) (периодическая дробь) или у числа π=3,14159...\pi = 3,14159... (бесконечная непериодическая дробь). Вещественные числа изображаются точками на числовой прямой: каждому числу соответствует точка, и каждой точке — число.

Все множество вещественных чисел обозначается R\mathbb{R}.

Математическая запись xRx \in \mathbb{R} означает, что xx является вещественным числом (принадлежит множеству вещественных чисел). Вещественные числа — то же самое, что действительные.

Построение комплексных чисел

Комплексное число состоит из двух вещественных чисел и одного уникального нового элемента, который обозначается буквой ii и не является вещественным числом.

Элемент ii называется мнимой единицей, а комплексное число записывается выражением

x+yix+y \cdot i,

где x,yR.x,y \in \mathbb{R}.

Знак умножения обычно опускается, как это принято в математике, и запись комплексного числа может выглядеть так: x+yix+yi или даже так: x+iyx+iy.

Примеры комплексных чисел: 2+3i,2+3i, πi,5i,4.\pi - i, 5i, 4.

Последний пример показывает, что вещественные числа тоже относятся к комплексным (потому что любое вещественное число x можно записать как x+0ix+0\cdot i).

Все множество комплексных чисел обозначается символом C\mathbb{C}.

Тот факт, что все вещественные числа являются и комплексными, можно математически записать в виде включения множеств: RC\mathbb{R} \subset \mathbb{C}.

Пусть z=x+yiz=x+yi — комплексное число. Тогда число xx называется вещественной частью числа zz (записывается это так: x=Re zx = \mathrm{Re}\,z), а число yy — мнимой частью числа zz (это записывается так: y=Im z)y = \mathrm{Im}\,z). Например:
Re (2+3i)=2, Im (5i)=1, Re (7i)=0.\mathrm{Re}\,(2+3i) = 2, \ \mathrm{Im}\,(5-i) = -1, \ \mathrm{Re}\,\left(7i\right) = 0.

Изображение комплексных чисел. Комплексная плоскость

У комплексного числа x+yix+yi две вещественные координаты: xx и yy.

Поэтому комплексные числа можно изображать точками на плоскости с обычной декартовой системой координат: любому комплексному числу x+yix+yi соответствует точка плоскости с координатами (x,y)(x,y), и любой точке декартовой плоскости, поскольку у неё есть две координаты, соответствует комплексное число. На следующем рисунке отмечены несколько точек плоскости и записаны соответствующие им комплексные числа.

комплексные числа.png

При изображении комплексного числа точкой плоскости вещественная часть числа откладывается на горизонтальной оси (оси абсцисс), а мнимая часть — на вертикальной (оси ординат). Поэтому на комплексной плоскости ось абсцисс называется также вещественной осью, а ось ординат — мнимой осью.

Заказать статью по математике у экспертов биржи Студворк!

Комментарии

Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир