Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа $z = x+iy$ называется вещественное число, равное
$|z| = \sqrt{x^2+y^2}.$

Модуль всегда определен (другими словами, модуль есть у любого комплексного числа): в самом деле, какими бы ни были $x$ и $y$, сумма квадратов $x^2+y^2$ есть число неотрицательное, а значит, из него можно извлечь квадратный корень, и он тоже будет неотрицательным числом. Модуль равен нулю в единственном случае: если $z=0$, то есть $x=y=0$. Если же хотя бы одна из координат $x, y$ отлична от нуля, ее квадрат будет строго положительным, и, следовательно, значение выражения $\sqrt{x^2+y^2}$ также будет строго положительным. Итак, модуль любого ненулевого числа есть строго положительное число.

Мы знаем, что любое вещественное число можно представить как комплексное число с нулевой мнимой частью:

$x = x + 0 \cdot i.$

Для такого числа формула модуля дает следующий результат:

$|z| = \sqrt{x^2+0^2} = \sqrt{x^2} = |x|.$

Таким образом, для вещественных чисел новое (комплексное) определение модуля совпадает со старым. Так и должно быть, если мы расширяем известное понятие.

Говорят, что понятие модуля комплексного числа обобщает понятие модуля вещественного числа.

Как найти модуль комплексного числа

Модуль числа выражает расстояние от этого числа до нуля. В самом деле, на плоскости расстояние между точками с координатами $(x,y)$ и $(x_1,y_1)$ вычисляется по формуле

$d = \sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}.$

Если в этой формуле положить $x_1=y_1=0$, то есть в качестве второй точки взять начало координат, то мы получим

$d = \sqrt{x^2+y^2}.$

Эта формула выражает расстояние до начала координат от точки $(x,y)$, и это расстояние в точности равно модулю комплексного числа $x+yi.$

Для примера на следующем рисунке изображено комплексное число $4+3i,$ модуль которого равен $\sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{25} = 5$. Отрезок длины $5$, соединяющий начало координат с точкой $(4,3)$, служит гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $4$ и $3$.

Все комплексные числа, модуль которых равен определенному положительному числу $r$, образуют окружность радиуса $r$ с центром в нуле. На следующем рисунке изображена окружность радиуса $1$, на которой лежат все комплексные числа единичного модуля (среди них числа $1,$ $-1,$ $i$ и $-i$).

Пример решения задачи

Найти модули комплексных чисел $6+8i, \ 8-6i,\ -15,\ 4i, \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i.$

Решение

$|6+8i| = \sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{100} = 10.$

$|8-6i| = \sqrt{8^2+(-6)^2} = \sqrt{100} = 10.$

$|-15| = |-15+0 \cdot i| = \sqrt{(-15)^2+0^2} = \sqrt{15^2} = 15.$

$|4i| = |0+4i| = \sqrt{0^2+4^2} = \sqrt{4^2} = 4.$

$|\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i| = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{1} = 1.$

Заказать статью по математике у экспертов биржи Студворк!

Тест на тему “Модуль комплексного числа”