Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения состоит из двух частей: решения соответствующего однородного уравнения и непосредственно решения неоднородного. Поэтому на первом шаге решается уравнение без учета правой части. Затем ищется решение в зависимости от вида правой части. И, наконец, эти решения складываются.
О решении однородного уравнения читайте в статье.

Правая часть вида Pn(x)P_n(x) — многочлен степени nn

Решение ищется в виде

y~=Qn(x)xs,\tilde y=Q_n(x) x^s,

где Qn(x)Q_n(x) - многочлен той же степени, что и в правой части. Показатель степени ss равен количеству нулевых корней характеристического уравнения.

Пример

yy2y=x23x+1y''-y^\prime-2y=x^2-3x+1
k2k2=0k^2-k-2=0
k1=1;k2=2k_1=-1;k_2=2
yo=C1ex+C2e2xy_o=C_1 e^{-x}+C_2 e^{2x}

Теперь рассмотрим правую часть. Она представляет собой многочлен второй степени, при этом нулевых корней у характеристического уравнения нет (ss=0), следовательно, решение нелинейного уравнения ищем в виде

y~=Ax2+Bx+C\tilde y=Ax^2+Bx+C

Первая производная

y~=2Ax+B\tilde y^\prime=2Ax+B

Вторая производная

y~=2A\tilde y''=2A

Подставляем их в начальное уравнение

2A(2Ax+B)2(Ax2+Bx+C)=x23x+12A-(2Ax+B)-2(Ax^2+Bx+C)=x^2-3x+1

2Ax2+(2A2B)x+(2AB2C)=x23x+1-2Ax^2+(-2A-2B)x+(2A-B-2C)=x^2-3x+1

Коэффициенты при равных степенях должны быть равны

{2A=12A2B=32AB2C=1\begin{cases} -2A=1 \\-2A-2B=-3 \\2A-B-2C=1 \end{cases}

{A=12B=32A=32(12)=2C=1+2AB2=1\begin{cases} A=-\frac{1}{2} \\B=\frac{3}{2}-A=\frac{3}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)=2 \\C=\frac{-1+2A-B}{2}=-1 \end{cases}

Получаем

y~=12x2+2x1\tilde y=-\frac{1}{2}x^2+2x-1

И окончательно

y=yo+y~=C1ex+C2e2x12x2+2x1y=y_o+\tilde y = C_1 e^{-x}+C_2 e^{2x}-\frac{1}{2}x^2+2x-1

Правая часть вида eαxPne^{\alpha x}P_n

Решение ищется в виде

y~=eαxQn(x)xs,\tilde y= e^{\alpha x}Q_n(x) x^s,

где Qn(x)Q_n(x) - многочлен той же степени, что и в правой части. Показатель степени ss равен количеству кратных корней характеристического уравнения, которые при это еще равны α\alpha.

Пример

y+3y+2y=ex(x+1)y'' +3y^\prime +2y= e^{x}(x+1)

k1=2;k2=1k_1=-2; k_2=-1

yo=C1e2x+C2exy_o=C_1 e^{-2 x}+ C_2 e^{- x}

Теперь рассмотрим правую часть. Она содержит многочлен первой степени, при этом корней, равных единицу (в правой части α=1\alpha=1) у характеристического уравнения нет (ss=0), следовательно, решение нелинейного уравнения ищем в виде

y~=ex(Ax+B)\tilde y= e^{ x}(Ax+B)

Первая производная

y~=ex(Ax+B)+exA=ex(Ax+A+B)\tilde y^\prime= e^{ x}(Ax+B)+ e^{ x}\cdot A= e^{ x}(Ax+A+B)

Вторая производная

y~=ex(Ax+A+B)+exA=ex(Ax+2A+B)\tilde y''= e^{ x}(Ax+A+B)+ e^{ x}\cdot A = e^{ x}(Ax+2A+B)

Подставляем их в начальное уравнение

ex(Ax+2A+B)+3ex(Ax+A+B)+2ex(Ax+B)=ex(x+1)e^{ x}(Ax+2A+B)+3e^{ x}(Ax+A+B)+2e^{ x}(Ax+B)= e^{x}(x+1)

(Ax+2A+B)+3(Ax+A+B)+2(Ax+B)=x+1(Ax+2A+B)+3(Ax+A+B)+2(Ax+B)= x+1

6Ax+5A+6B=x+16Ax+5A+6B=x+1

Коэффициенты при равных степенях должны быть равны

{6A=15A+6B=1{A=16B=136\begin{cases} 6A=1 \\5A+6B=1 \end{cases} \begin{cases} A=\frac{1}{6} \\B=\frac{1}{36} \end{cases}

Получаем

y~=ex(16x+136)\tilde y= e^{ x}\left(\frac{1}{6}x+\frac{1}{36}\right)

И окончательно

y=yo+y~=C1e2x+C2ex+ex(16x+136)y=y_o+\tilde y = C_1 e^{-2 x}+ C_2 e^{- x}+ e^{ x}\left(\frac{1}{6}x+\frac{1}{36}\right)

Правая часть вида eαx(Pncosβx+Qmsinβx)e^{\alpha x}\left(P_n\cos \beta x +Q_m\sin \beta x\right)

Решение ищется в виде

y~=eαx(Rlcosβx+Qlsinβx)xs\tilde y= e^{\alpha x} \left(R_l\cos \beta x +Q_l\sin \beta x\right) x^s

Многочлены, входящие в решение имеют максимальную степень из тех, что содержат многочлены правой части l=max(n;m)l=max(n;m). Далее рассматриваются корни характеристического уравнения, и если они комплексные и равны α±βi\alpha\pm\beta i, где α\alpha и β\beta из правой части, то s=1s=1 (не забываем, что мы рассматриваем уравнения второй степени, поэтому больше 1 в данном случае ss не может быть).

Пример

y+3y+2y=exsin3xy'' +3y^\prime +2y= e^{x}\sin 3x

k1=2;k2=1k_1=-2; k_2=-1

yo=C1e2x+C2exy_o=C_1 e^{-2 x}+ C_2 e^{- x}

Проанализировав правую часть, видим, что решение необходимо искать в виде

y~=ex(Acos3x+Bsin3x)\tilde y= e^{x}(A\cos 3 x +B\sin 3 x)

Первая производная

y~=ex(Acos3x+Bsin3x)+ex(3Asin3x+3Bcos3x)=\tilde y^\prime = e^{x}(A\cos 3x+B\sin 3x)+ e^{x}(-3A\sin 3 x +3B\cos 3 x)=

=ex(3Asin3x+3Bcos3x+Acos3x+Bsin3x)= e^{x}(-3A\sin 3x+3B\cos 3x+ A\cos 3x+B\sin 3x )

Вторая производная

y~=ex(3Asin3x+3Bcos3x+Acos3x+Bsin3x)+\tilde y''= e^{x}(-3A\sin 3x+3B\cos 3x+ A\cos 3x+B\sin 3x )+

+ex(9Acos3x9Bsin3x3Asin3x+3Bcos3x)=+ e^{x}(-9A\cos 3x-9B\sin 3x- 3A\sin 3x+3B\cos 3x )=

=ex(6Asin3x+8Acos3x+8Bsin3x6Bcos3x)= e^{x}(-6A\sin 3x+8A\cos 3x+8B\sin 3x-6B\cos 3x)

Подставляем их в начальное уравнение

ex(6Asin3x+8Acos3x+8Bsin3x6Bcos3x)+- e^{x}(-6A\sin 3x+8A\cos 3x+8B\sin 3x-6B\cos 3x) +

+3ex(3Asin3x+3Bcos3x+Acos3x+Bsin3x)++3 e^{x}(-3A\sin 3x+3B\cos 3x+ A\cos 3x+B\sin 3x )+

+2ex(Acos3x+Bsin3x)=exsin3x+2 e^{x}(A\cos 3 x +B\sin 3 x)= e^{x}\sin 3x

Приводим подобные

15Aexsin3x3Aexcos3x3Bexsin3x+15Bexcos3x=exsin3x-15Ae^x \sin 3x-3Ae^x \cos 3x-3Be^x \sin 3x +15Be^x \cos 3x= e^{x}\sin 3x

Коэффициенты при одинаковых функциях должны быть равны

{15A3B=13A+15B=0{A=578B=178\begin{cases} -15A-3B=1 \\-3A+15B=0 \end{cases} \begin{cases} A=-\frac{5}{78} \\B=-\frac{1}{78} \end{cases}

Получаем
y~=ex(578cos3x178sin3x)\tilde y= e^{x}(-\frac{5}{78}\cos 3 x -\frac{1}{78}\sin 3 x)

И окончательно
y=yo+y~=C1e2x+C2ex+ex(578cos3x178sin3x)y=y_o+\tilde y = C_1 e^{-2 x}+ C_2 e^{- x} + e^{x}(-\frac{5}{78}\cos 3 x -\frac{1}{78}\sin 3 x)

На Студворк вы можете заказать статью по математике онлайн у профильных экспертов!

Комментарии

Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир