Как вычислить определитель матрицы третьего порядка

Содержание

Тест: 3 вопроса
1. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на их ______.
Алгебраические дополнения
Миноры
Определители
2. Определитель (n-1)(n−1)-го порядка, который получается из исходного определителя вычеркиванием ii-той строки и jj-того столбца именуется…
Минором
Алгебраическим дополнением
Определителем
3. Этот способ нахождения определителя также именуют способом присоединения двух строк/столбцов или правилом параллельных полосок.
Метод треугольника
Правило Саррюса
Правило алгебраического дополнения

Мы уже знакомы с понятием определителя матрицы. Также мы рассмотрели правила вычисления детерминантов (определителей) первого и второго порядка. Познакомимся с различными вариантами нахождения определителей третьего порядка.

Вычисление определителей по правилу треугольника

Схематически раскрытие определителя по этому правилу выглядит так:

Как вычислить определитель матрицы третьего порядка 1.png

Согласно рисункам №1 и №2 мы перемножаем элементы, соединенные прямыми. Произведения элементов будут иметь определенные знаки: для рисунка 1 — «+», для рисунка 2 — «-».

Произведения, которые берутся со знаком «+» Произведения, которые берутся со знаком «-»
a11a22a33a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} a13a22a31a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}
a12a23a31a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} a12a33a21a_{12}\cdot a_{33}\cdot a_{21}
a13a32a21a_{13} \cdot a_{32} \cdot a_{21} a11a23a32a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}

На рисунке 1 мы видим равнобедренные треугольники с основаниями, параллельными главной диагонали; на рисунке 2 — равнобедренные треугольники с основаниями, параллельными второй (побочной) диагонали. Поэтому данное правило имеет такое название.

Определитель может быть вычислен по формуле:

a11a12a13a21a22a23a31a32a33=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=

=a11a22a33+a12a23a31+a13a32a21a13a22a31a12a33a21a11a23a32=a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{32}\cdot a_{21}-a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{12}\cdot a_{33}\cdot a_{21}-a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}.

Примеры

Рассмотрим примеры нахождения определителя по правилу треугольника.

Пример 1

Найти определитель 925148637\begin{vmatrix}9&2&5\\1&4&8\\6&3&7\end{vmatrix} по правилу треугольника.

По правилу треугольника определитель третьего порядка равен:

925148637=947+286+531546271983=\begin{vmatrix}9&2&5\\1&4&8\\6&3&7\end{vmatrix}=9\cdot4\cdot7+2\cdot8\cdot6+5\cdot3\cdot1-5\cdot4\cdot6-2\cdot7\cdot1-9\cdot8\cdot3=

=252+96+1512014216=13=252+96+15-120-14-216=13.

Пример 2

Найти определитель 214635101\begin{vmatrix}2&1&-4\\6&-3&5\\1&0&-1\end{vmatrix} по правилу треугольника.

Искомый определитель третьего порядка равен:

214635101=\begin{vmatrix}2&1&-4\\6&-3&5\\1&0&-1\end{vmatrix}=

=2(3)(1)+151+(4)06(4)(3)11(1)6250=6+512+6=5=2\cdot(-3)\cdot(-1)+1\cdot5\cdot1+(-4)\cdot0\cdot6-(-4)\cdot(-3)\cdot1-1\cdot(-1)\cdot6-2\cdot5\cdot0=6+5-12+6=5.

При вычислении определителей таким способом можно легко совершить ошибку из-за невнимательности. Чтобы избежать таких ошибок существует второй способ, называемый правилом Саррюса, или способом «параллельных полосок».

Вычисление определителей по правилу Саррюса

Правило Саррюса также именуют способом присоединения двух строк/столбцов или правилом параллельных полосок.

Основная идея этого правила состоит в приписывании первого и второго столбца справа от определителя.

Вычисления будем производить по следующей схеме:

Как вычислить определитель матрицы третьего порядка 2.png

Перемножаем элементы, соединенные прямыми. Данные произведения берем со знаком «+», если диагональ, на которой они стоят, является главной или параллельной ей; со знаком «-», если она является второй (побочной) или параллельной ей.

Произведения, которые берутся со знаком «+» Произведения, которые берутся со знаком «-»
a11a22a33a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} a13a22a31a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}
a12a23a31a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} a11a23a32a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}
a13a21a32a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32} a12a21a33a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}

В общем виде вычисление по правилу Саррюса можно записать следующим образом:

a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11a12a13a21a22a23a31a32a33a11a12a21a22a31a32=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}=

=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a13a22a31a11a23a32a12a21a33=a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}-a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}-a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}.

Сравнивая эти два способа вычисления определителей, видим одинаковые множители, которые во втором случае немного переставлены местами.
Возможность допустить ошибку, вычисляя определитель по правилу Саррюса, намного меньше.

Примеры

Пример 1

Найти определитель 925148637\begin{vmatrix}9&2&5\\1&4&8\\6&3&7\end{vmatrix} по правилу Саррюса.

Приписываем два первых столбца справа от определителя и вычисляем его:

925148637921463=\begin{vmatrix}9&2&5\\1&4&8\\6&3&7\end{vmatrix}\begin{matrix}9&2\\1&4\\6&3\end{matrix}=

=947+286+513546983217=252+96+1512021614=13=9\cdot4\cdot7+2\cdot8\cdot6+5\cdot1\cdot3-5\cdot4\cdot6-9\cdot8\cdot3-2\cdot1\cdot7=252+96+15-120-216-14=13.

Пример 2

Найти определитель 214635101\begin{vmatrix}2&1&-4\\6&-3&5\\1&0&-1\end{vmatrix} по правилу Саррюса.

Приписываем два первых столбца справа от определителя и вычисляем его:

214635101216310=\begin{vmatrix}2&1&-4\\6&-3&5\\1&0&-1\end{vmatrix}\begin{matrix}2&1\\6&-3\\1&0\end{matrix}=

=2(3)(1)+151+(4)60(4)(3)125016(1)=6+512+6=5=2\cdot(-3)\cdot(-1)+1\cdot5\cdot1+(-4)\cdot6\cdot0-(-4)\cdot(-3)\cdot1-2\cdot5\cdot0-1\cdot6\cdot(-1)=6+5-12+6=5.

Существует еще одна вариация правила Саррюса. Она состоит в приписывании первой и второй строки снизу от определителя. Вычисления производятся аналогично.

Минор и алгебраическое дополнение

Прежде чем перейти к рассмотрению еще одного способа вычисления определителей 3-го порядка разберем 2 понятия: минор, алгебраическое дополнение.

Минор

Минор

Минором MijM_{ij} к элементу aija_{ij} определителя n-го порядка называется определитель (n1)(n-1)-го порядка, который получается из исходного определителя вычеркиванием ii-той строки и jj-того столбца.

Таким образом, минор — это определитель, который остается после вычеркивания определенной строки и определенного столбца. Например, M11M_{11} получается вычеркиванием 1-й строки и 1-го столбца, M23M_{23} — вычеркиванием 2-й строки и 3-го столбца.

Алгоритм нахождения миноров:

  1. вычеркиваем ii-ю строку;
  2. вычеркиваем jj-й столбец;
  3. записываем определитель, который получили в результате действий 1 и 2.

Примеры

Пример 1

Найти миноры матрицы F=(