Минор матрицы и алгебраическое дополнение матрицы

Понятие минора и алгебраического дополнения было рассмотрено нами в теме «Как вычислить определитель матрицы третьего порядка». В данной статье разберем тему более подробно, а также научимся вычислять миноры и алгебраические дополнения матриц высших порядков.

Сначала рекомендуется повторить вычисление определителей второго, третьего и высших порядков.

Минор

Минором $M_{ij}$ к элементу $a_{ij}$ определителя $n$-го порядка называется определитель $(n-1)$-го порядка, который получается из исходного определителя вычеркиванием $i$-той строки и $j$-того столбца.

Таким образом, минор — это определитель, который остается после вычеркивания определенной строки и определенного столбца. Например, $M_{12}$ получается вычеркиванием 1-й строки и 2-го столбца, $M_{34}$ — вычеркиванием 3-й строки и 4-го столбца.
Алгоритм нахождения миноров

1. вычеркиваем i-ю строку;
2. вычеркиваем j-й столбец;
3. записываем определитель, который получили в результате действий 1 и 2.

Пример 1

Найти минор $M_{34}$ к элементу $a_{34}$ определителя $\begin{vmatrix}2&1&-2&3\\-1&2&1&2\\1&3&-1&5\\4&3&-3&1\end{vmatrix}$.

Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, выделим зеленым цветом.

$M_{34}=\begin{vmatrix}2&1&-2&\color{green}3\\-1&2&1&\color{green}2\\\color{green}1&\color{green}3&\color{green}-1&\color{green}5\\4&3&-3&\color{green}1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&1&-2\\-1&2&1\\4&3&-3\end{vmatrix}=2\cdot2\cdot(-3)+1\cdot1\cdot4+(-2)\cdot3\cdot(-1)-(-2)\cdot2\cdot4-1\cdot(-3)\cdot(-1)-2\cdot1\cdot3=-12+4+6+16-3-6=5$.

Пример 2

Найти миноры матрицы $K= \begin{pmatrix}0&3&-1&2\\2&1&0&0\\-2&-1&0&2\\-5&7&1&1\end{pmatrix}$.

Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, выделим зеленым цветом.

$M_{11}= \begin{pmatrix}\color{green}0&\color{green}3&\color{green}-1&\color{green}2\\\color{green}2&1&0&0\\\color{green}-2&-1&0&2\\\color{green}-5&7&1&1\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}1&0&0\\-1&0&2\\7&1&1\end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}0&2\\1&1\end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{2}\begin{vmatrix}0&2\\1&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&2\\1&1\end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{2+1}\cdot2=1\cdot(-1)^{3}\cdot2=-2$,

$M_{12}= \begin{pmatrix}\color{green}0&\color{green}3&\color{green}-1&\color{green}2\\2&\color{green}1&0&0\\-2&\color{green}-1&0&2\\-5&\color{green}7&1&1\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}2&0&0\\-2&0&2\\-5&1&1\end{vmatrix}=2\cdot(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}0&2\\1&1\end{vmatrix}=2\cdot(-1)^{2}\begin{vmatrix}0&2\\1&1\end{vmatrix}=2\begin{vmatrix}0&2\\1&1\end{vmatrix}=2\cdot(-1)^{2+1}\cdot2=2\cdot(-1)^{3}\cdot2=-4$,

$M_{13}= \begin{pmatrix}\color{green}0&\color{green}3&\color{green}-1&\color{green}2\\2&1&\color{green}0&0\\-2&-1&\color{green}0&2\\-5&7&\color{green}1&1\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}2&1&0\\-2&-1&2\\-5&7&1\end{vmatrix}=2\cdot(-1)\cdot1+0\cdot7\cdot(-2)+1\cdot2\cdot(-5)-0\cdot(-1)\cdot(-5)-2\cdot2\cdot7-1\cdot1\cdot(-2)=-2-10-28+2=-38$,

$M_{14}= \begin{pmatrix}\color{green}0&\color{green}3&\color{green}-1&\color{green}2\\2&1&0&\color{green}0\\-2&-1&0&\color{green}2\\-5&7&1&\color{green}1\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}2&1&0\\-2&-1&0\\-5&7&1\end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{3+3}\begin{vmatrix}2&1\\-2&-1\end{vmatrix}=0$,

$M_{21}= \begin{pmatrix}\color{green}0&3&-1&2\\\color{green}2&\color{green}1&\color{green}0&\color{green}0\\\color{green}-2&-1&0&2\\\color{green}-5&7&1&1\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}3&-1&2\\-1&0&2\\7&1&1\end{vmatrix}=3\cdot0\cdot1+2\cdot1\cdot(-1)+(-1)\cdot2\cdot7-2\cdot0\cdot7-(-1)\cdot1\cdot(-1)-3\cdot2\cdot1=-2-14-1-6=-23$,

$M_{22}= \begin{pmatrix}0&\color{green}3&-1&2\\\color{green}2&\color{green}1&\color{green}0&\color{green}0\\-2&\color{green}-1&0&2\\-5&\color{green}7&1&1\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}0&-1&2\\-2&0&2\\-5&1&1\end{vmatrix}=0\cdot0\cdot1+(-1)\cdot2\cdot(-5)+2\cdot1\cdot(-2)-2\cdot0\cdot(-5)-(-1)\cdot1\cdot(-2)-0\cdot2\cdot1=10-4-2=4$,

$M_{23}= \begin{pmatrix}0&3&\color{green}-1&2\\\color{green}2&\color{green}1&\color{green}0&\color{green}0\\-2&-1&\color{green}0&2\\-5&7&\color{green}1&1\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}0&3&2\\-2&-1&2\\-5&7&1\end{vmatrix}=0\cdot(-1)\cdot1+3\cdot2\cdot(-5)+2\cdot7\cdot(-2)-2\cdot(-1)\cdot(-5)-3\cdot1\cdot(-2)-0\cdot2\cdot7=-30-28-10+6=-62$,

$M_{24}= \begin{pmatrix}0&3&-1&\color{green}2\\\color{green}2&\color{green}1&\color{green}0&\color{green}0\\-2&-1&0&\color{green}2\\-5&7&1&\color{green}1\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}0&3&-1\\-2&-1&0\\-5&7&1\end{vmatrix}=0\cdot(-1)\cdot1+3\cdot0\cdot(-5)+(-1)\cdot7\cdot(-2)-(-1)\cdot(-1)\cdot(-5)-3\cdot1\cdot(-2)-0\cdot0\cdot7=14+5+6=25$,

$M_{31}= \begin{pmatrix}\color{green}0&3&-1&2\\\color{green}2&1&0&0\\\color{green}-2&\color{green}-1&\color{green}0&\color{green}2\\\color{green}-5&7&1&1\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}3&-1&2\\1&0&0\\7&1&1\end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}-1&2\\1&1\end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{3}\begin{vmatrix}-1&2\\1&1\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}-1&2\\1&1\end{vmatrix}=-(-1-2)=3$,

$M_{32}= \begin{pmatrix}0&\color{green}3&-1&2\\2&\color{green}1&0&0\\\color{green}-2&\color{green}-1&\color{green}0&\color{green}2\\-5&\color{green}7&1&1\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}0&-1&2\\2&0&0\\-5&1&1\end{vmatrix}=2\cdot(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}-1&2\\1&1\end{vmatrix}=2\cdot(-1)^{3}\begin{vmatrix}-1&2\\1&1\end{vmatrix}=-2\begin{vmatrix}-1&2\\1&1\end{vmatrix}=-2(-1-2)=6$,

$M_{33}= \begin{pmatrix}0&3&\color{green}-1&2\\2&1&\color{green}0&0\\\color{green}-2&\color{green}-1&\color{green}0&\color{green}2\\-5&7&\color{green}1&1\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}0&3&2\\2&1&0\\-5&7&1\end{vmatrix}=0\cdot1\cdot1+3\cdot0\cdot(-5)+2\cdot7\cdot2-2\cdot1\cdot(-5)-0\cdot0\cdot7-3\cdot1\cdot2=28+10-6=32$,

$M_{34}= \begin{pmatrix}0&3&-1&\color{green}2\\2&1&0&\color{green}0\\\color{green}-2&\color{green}-1&\color{green}0&\color{green}2\\-5&7&1&\color{green}1\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}0&3&-1\\2&1&0\\-5&7&1\end{vmatrix}=0\cdot1\cdot1+3\cdot0\cdot(-5)+(-1)\cdot7\cdot2-(-1)\cdot1\cdot(-5)-3\cdot1\cdot2-0\cdot0\cdot7=-14-5-6=-25$,

$M_{41}= \begin{pmatrix}\color{green}0&3&-1&2\\\color{green}2&1&0&0\\\color{green}-2&-1&0&2\\\color{green}-5&\color{green}7&\color{green}1&\color{green}1\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}3&-1&2\\1&0&0\\-1&0&2\end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}-1&2\\0&2\end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{3}\begin{vmatrix}-1&2\\0&2\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}-1&2\\0&2\end{vmatrix}=-(-1)\cdot(-1)^{1+1}\cdot2=1\cdot(-1)^{2}\cdot2=2$,

$M_{42}= \begin{pmatrix}0&\color{green}3&-1&2\\2&\color{green}1&0&0\\-2&\color{green}-1&0&2\\\color{green}-5&\color{green}7&\color{green}1&\color{green}1\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}0&-1&2\\2&0&0\\-2&0&2\end{vmatrix}=2\cdot(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}-1&2\\0&2\end{vmatrix}=2\cdot(-1)^{3}\begin{vmatrix}-1&2\\0&2\end{vmatrix}=-2\begin{vmatrix}-1&2\\0&2\end{vmatrix}=-2\cdot(-1)\cdot(-1)^{1+1}\cdot2=2\cdot(-1)^{2}\cdot2=4$,

$M_{43}= \begin{pmatrix}0&3&\color{green}-1&2\\2&1&\color{green}0&0\\-2&-1&\color{green}0&2\\\color{green}-5&\color{green}7&\color{green}1&\color{green}1\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}0&3&2\\2&1&0\\-2&-1&2\end{vmatrix}=0\cdot1\cdot2+3\cdot0\cdot(-2)+2\cdot(-1)\cdot2-2\cdot1\cdot(-2)-3\cdot2\cdot2-0\cdot0\cdot(-1)=-4+4-12=-12$,

$M_{44}= \begin{pmatrix}0&3&-1&\color{green}2\\2&1&0&\color{green}0\\-2&-1&0&\color{green}2\\\color{green}-5&\color{green}7&\color{green}1&\color{green}1\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}0&3&-1\\2&1&0\\-2&-1&0\end{vmatrix}=0$.

Алгебраическое дополнение

Алгебраическим дополнением $A_{ij}$ к элементу $a_{ij}$ определителя n-го порядка называется число $A_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot M_{ij}$, где $i, j$ — соответствующие строка и столбец, а $M_{ij}$ — минор к элементу $a_{ij}$.

Алгоритм нахождения алгебраических дополнений

1. найти сумму номеров строки $(i)$ и столбца $(j)$;
2. найти минор $M_{ij}$ по алгоритму нахождения миноров, который представлен выше;
3. подставить значения, полученные на шагах 1 и 2, в формулу $A_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot M_{ij}$.

Пример 1

Найти алгебраическое дополнение $A_{34}$ к элементу $a_{34}$ определителя
$\begin{vmatrix}2&1&-2&3\\-1&2&1&2\\1&3&-1&5\\4&3&-3&1\end{vmatrix}$.
$A_{34}=(-1)^{3+4}\cdot M_{34}=(-1)^{7}\cdot \begin{vmatrix}2&1&-2&\color{green}3\\-1&2&1&\color{green}2\\\color{green}1&\color{green}3&\color{green}-1&\color{green}5\\4&3&-3&\color{green}1\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}2&1&-2\\-1&2&1\\4&3&-3\end{vmatrix}=-(2\cdot2\cdot(-3)+1\cdot1\cdot4+(-2)\cdot3\cdot(-1)-(-2)\cdot2\cdot4-1\cdot(-3)\cdot(-1)-2\cdot1\cdot3)=-(-12+4+6+16-3-6)=-5$.

Пример 2

Найти алгебраические дополнения матрицы $K= \begin{pmatrix}0&3&-1&2\\2&1&0&0\\-2&-1&0&2\\-5&7&1&1\end{pmatrix}$.

Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, выделим зеленым цветом.

$A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot M_{11}=(-1)^{1+1}\cdot\begin{vmatrix}1&0&0\\-1&0&2\\7&1&1\end{vmatrix}=(-1)^{2}\begin{vmatrix}1&0&0\\-1&0&2\\7&1&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&0&0\\-1&0&2\\7&1&1\end{vmatrix}=-2$,

$A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot M_{12}=(-1)^{1+2}\cdot\begin{vmatrix}2&0&0\\-2&0&2\\-5&1&1\end{vmatrix}=(-1)^{3}\cdot\begin{vmatrix}2&0&0\\-2&0&2\\-5&1&1\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}2&0&0\\-2&0&2\\-5&1&1\end{vmatrix}=-(-4)=4$,

$A_{13}=(-1)^{1+3}\cdot M_{13}=(-1)^{1+3}\cdot \begin{vmatrix}2&1&0\\-2&-1&2\\-5&7&1\end{vmatrix}=(-1)^{4}\cdot \begin{vmatrix}2&1&0\\-2&-1&2\\-5&7&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&1&0\\-2&-1&2\\-5&7&1\end{vmatrix}=-38$,

$A_{14}=(-1)^{1+4}\cdot M_{14}=(-1)^{1+4}\cdot\begin{vmatrix}2&1&0\\-2&-1&0\\-5&7&1\end{vmatrix}=(-1)^{5}\cdot \begin{vmatrix}2&1&0\\-2&-1&0\\-5&7&1\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}2&1&0\\-2&-1&0\\-5&7&1\end{vmatrix}=0$,

$A_{21}=(-1)^{2+1}\cdot M_{21}=(-1)^{2+1}\cdot\begin{vmatrix}3&-1&2\\-1&0&2\\7&1&1\end{vmatrix}=(-1)^{3}\cdot\begin{vmatrix}3&-1&2\\-1&0&2\\7&1&1\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}3&-1&2\\-1&0&2\\7&1&1\end{vmatrix}=-(-23)=23$,

$A_{22}=(-1)^{2+2}\cdot M_{22}=(-1)^{2+2}\cdot\begin{vmatrix}0&-1&2\\-2&0&2\\-5&1&1\end{vmatrix}=(-1)^{4}\cdot\begin{vmatrix}0&-1&2\\-2&0&2\\-5&1&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&-1&2\\-2&0&2\\-5&1&1\end{vmatrix}=4$,

$A_{23}=(-1)^{2+3}\cdot M_{23}=(-1)^{2+3}\cdot\begin{vmatrix}0&3&2\\-2&-1&2\\-5&7&1\end{vmatrix}=(-1)^{5}\cdot\begin{vmatrix}0&3&2\\-2&-1&2\\-5&7&1\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}0&3&2\\-2&-1&2\\-5&7&1\end{vmatrix}=-(-62)=62$,

$A_{24}=(-1)^{2+4}\cdot M_{24}=(-1)^{2+4}\cdot\begin{vmatrix}0&3&-1\\-2&-1&0\\-5&7&1\end{vmatrix}=(-1)^{6}\cdot\begin{vmatrix}0&3&-1\\-2&-1&0\\-5&7&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&3&-1\\-2&-1&0\\-5&7&1\end{vmatrix}=25$,

$A_{31}=(-1)^{3+1}\cdot M_{31}=(-1)^{3+1}\cdot\begin{vmatrix}3&-1&2\\1&0&0\\7&1&1\end{vmatrix}=(-1)^{4}\cdot\begin{vmatrix}3&-1&2\\1&0&0\\7&1&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3&-1&2\\1&0&0\\7&1&1\end{vmatrix}=3$,

$A_{32}=(-1)^{3+2}\cdot M_{32}=(-1)^{3+2}\cdot\begin{vmatrix}0&-1&2\\2&0&0\\-5&1&1\end{vmatrix}=(-1)^{5}\cdot\begin{vmatrix}0&-1&2\\2&0&0\\-5&1&1\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}0&-1&2\\2&0&0\\-5&1&1\end{vmatrix}=-6$,

$A_{33}=(-1)^{3+3}\cdot M_{33}=(-1)^{3+3}\cdot\begin{vmatrix}0&3&2\\2&1&0\\-5&7&1\end{vmatrix}=(-1)^{6}\cdot\begin{vmatrix}0&3&2\\2&1&0\\-5&7&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&3&2\\2&1&0\\-5&7&1\end{vmatrix}=32$,

$A_{34}=(-1)^{3+4}\cdot M_{34}=(-1)^{3+4}\cdot\begin{vmatrix}0&3&-1\\2&1&0\\-5&7&1\end{vmatrix}=(-1)^{7}\cdot\begin{vmatrix}0&3&-1\\2&1&0\\-5&7&1\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}0&3&-1\\2&1&0\\-5&7&1\end{vmatrix}=-(-25)=25$,

$A_{41}=(-1)^{4+1}\cdot M_{41}=(-1)^{4+1}\cdot\begin{vmatrix}3&-1&2\\1&0&0\\-1&0&2\end{vmatrix}=(-1)^{5}\cdot\begin{vmatrix}3&-1&2\\1&0&0\\-1&0&2\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}3&-1&2\\1&0&0\\-1&0&2\end{vmatrix}=-2$,

$A_{42}=(-1)^{4+2}\cdot M_{42}=(-1)^{4+2}\cdot\begin{vmatrix}0&-1&2\\2&0&0\\-2&0&2\end{vmatrix}=(-1)^{6}\cdot\begin{vmatrix}0&-1&2\\2&0&0\\-2&0&2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&-1&2\\2&0&0\\-2&0&2\end{vmatrix}=4$,

$A_{43}=(-1)^{4+3}\cdot M_{43}=(-1)^{4+3}\cdot\begin{vmatrix}0&3&2\\2&1&0\\-2&-1&2\end{vmatrix}=(-1)^{7}\cdot\begin{vmatrix}0&3&2\\2&1&0\\-2&-1&2\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}0&3&2\\2&1&0\\-2&-1&2\end{vmatrix}=-(-12)=12$,

$A_{44}=(-1)^{4+4}\cdot M_{44}=(-1)^{4+4}\cdot\begin{vmatrix}0&3&-1\\2&1&0\\-2&-1&0\end{vmatrix}=(-1)^{8}\cdot\begin{vmatrix}0&3&-1\\2&1&0\\-2&-1&0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&3&-1\\2&1&0\\-2&-1&0\end{vmatrix}=0$.

На Студворк вы можете заказать статью по математике онлайн у профильных экспертов!

Тест по теме «Минор матрицы и алгебраическое дополнение матрицы»