Минор матрицы и алгебраическое дополнение матрицы

Содержание

Понятие минора и алгебраического дополнения было рассмотрено нами в теме «Как вычислить определитель матрицы третьего порядка». В данной статье разберем тему более подробно, а также научимся вычислять миноры и алгебраические дополнения матриц высших порядков.

Сначала рекомендуется повторить вычисление определителей второго, третьего и высших порядков.

Минор

Минором MijM_{ij} к элементу aija_{ij} определителя nn-го порядка называется определитель (n1)(n-1)-го порядка, который получается из исходного определителя вычеркиванием ii-той строки и jj-того столбца.

Таким образом, минор — это определитель, который остается после вычеркивания определенной строки и определенного столбца. Например, M12M_{12} получается вычеркиванием 1-й строки и 2-го столбца, M34M_{34} — вычеркиванием 3-й строки и 4-го столбца.
Алгоритм нахождения миноров

  1. вычеркиваем i-ю строку;
  2. вычеркиваем j-й столбец;
  3. записываем определитель, который получили в результате действий 1 и 2.

Пример 1

Найти минор M34M_{34} к элементу a34a_{34} определителя 2123121213154331\begin{vmatrix}2&1&-2&3\\-1&2&1&2\\1&3&-1&5\\4&3&-3&1\end{vmatrix}.

Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, выделим зеленым цветом.

M34=2123121213154331=212121433=22(3)+114+(2)3(1)(2)241(3)(1)213=12+4+6+1636=5M_{34}=\begin{vmatrix}2&1&-2&\color{green}3\\-1&2&1&\color{green}2\\\color{green}1&\color{green}3&\color{green}-1&\color{green}5\\4&3&-3&\color{green}1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&1&-2\\-1&2&1\\4&3&-3\end{vmatrix}=2\cdot2\cdot(-3)+1\cdot1\cdot4+(-2)\cdot3\cdot(-1)-(-2)\cdot2\cdot4-1\cdot(-3)\cdot(-1)-2\cdot1\cdot3=-12+4+6+16-3-6=5