Тест: 3 вопроса
1. Матрица с одинаковым числом строк и столбцов назывется….
Квадратная матрица
Прямоугольная матрица
Единичная матрица
2. Матрица, состоящая только из столбца называется…
Скаляр
Вектор-столбец
Минор
3. Матрица, имеющая размер «один на один» называется…
Скаляр
Определитель
Минор

Перед тем как перейти к рассмотрению основных типов матриц, встречающихся в математике, вспомним основные определения по теме «Что такое матрица»: понятие матрицы, какие два способа ее записи существуют, что такое размер матрицы, а также какие матрицы можно считать равными. Если вы уже знакомы с данными понятиями, перейдем к знакомству с основными типами матриц.

Типы матриц различают в зависимости от их размеров, а также значений их элементов.

Скаляр

Матрица, имеющая размер «один на один».

Как различать: состоит только из одного элемента.

Пример 1

F=(62)F=\begin{pmatrix}62\end{pmatrix}

Пример 2

P=(15)P=\begin{pmatrix}15\end{pmatrix}

Вектор-строка

Матрица, состоящая только из строки.

Как различать: состоит только из одной строки, столбцов может быть любое количество.

Пример 1
C=(13297163)C=\begin{pmatrix}13&29&71&63\end{pmatrix}

Пример 2

T=(161317311815)T=\begin{pmatrix}16&13&-17&31&-18&-15\end{pmatrix}

Вектор-столбец

Матрица, состоящая только из столбца.

Как различать: состоит только из одного столбца и любого количества строк.

Пример 1
Q=(1001391)Q=\begin{pmatrix}10\\0\\13\\91\end{pmatrix}

Пример 2

B=(1517191215)B=\begin{pmatrix}15\\-17\\19\\-12\\-15\end{pmatrix}

Прямоугольная матрица

Матрица с неодинаковым числом строк и столбцов.

Как различать: матрица, в которой число строк \neq числу столбцов, по форме напоминает геометрическую фигуру — прямоугольник.

Пример 1

M=(18151391713)M=\begin{pmatrix}-18&15&13\\9&17&13\end{pmatrix}

Пример 2

N=(21151413618)N=\begin{pmatrix}21&15\\14&13\\6&18\end{pmatrix}

Главная диагональ прямоугольной матрицы состоит из элементов aiia_{ii}, где i=1,2i=1,2, min{m,n}min\begin{Bmatrix}m,n\end{Bmatrix} и может выглядеть следующим образом:

M=(18151391713)M=\begin{pmatrix}\mathbf{-18}&15&13\\9&\mathbf{17}&13\end{pmatrix}

Квадратная матрица

Матрица с одинаковым числом строк и столбцов.

Как различать: число строк = числу столбцов.

Z=(z11z12z13...z1nz21z22z23...z2nz31z32z33...z3n...zn1zn2zn3...znn)Z=\begin{pmatrix}z_{11}&z_{12}&z_{13}&...&z_{1n}\\z_{21}&z_{22}&z_{23}&...&z_{2n}\\z_{31}&z_{32}&z_{33}&...&z_{3n}\\...\\z_{n1}&z_{n2}&z_{n3}&...&z_{nn}\end{pmatrix}

Пример 1

J=(112113431861178119)J=\begin{pmatrix}11&21&13\\43&18&61\\17&81&19\end{pmatrix}

Пример 2

K=(1410211017911631765431151541928)K=\begin{pmatrix}14&10&21&10\\17&91&16&31\\76&54&31&15\\15&4&19&28\end{pmatrix}

Главная диагональ квадратной матрицы образована последовательностью элементов, проходящих через воображаемый отрезок, соединяющий верхний левый и правый нижний углы.
Жирным шрифтом выделены главные диагонали матриц JJ и KK

J=(112113431861178119)J=\begin{pmatrix}\mathbf{11}&21&13\\43&\mathbf{18}&61\\17&81&\mathbf{19}\end{pmatrix},

K=(1410211017911631765431151541928)K=\begin{pmatrix}\mathbf{14}&10&21&10\\17&\mathbf{91}&16&31\\76&54&\mathbf{31}&15\\15&4&19&\mathbf{28}\end{pmatrix}.

Побочная диагональ квадратной матрицы образована последовательностью элементов, проходящих через воображаемый отрезок, соединяющий верхний правый и нижний левый углы.
Жирным шрифтом выделены побочные диагонали матриц JJ и KK

J=(112113431861178119)J=\begin{pmatrix}11&21&\mathbf{13}\\43&\mathbf{18}&61\\\mathbf{17}&81&19\end{pmatrix},

K=(1410211017911631765431151541928)K=\begin{pmatrix}14&10&21&\mathbf{10}\\17&91&\mathbf{16}&31\\76&\mathbf{54}&31&15\\\mathbf{15}&4&19&28\end{pmatrix}.

Квадратная матрица размера n×nn\times n называется матрицей n-го порядка.

Например, JJ — матрица 3-го порядка (поскольку имеет размер 3×33\times 3), KK — 4-го порядка (поскольку имеет размер 4×44\times 4).

Треугольная матрица

Квадратная матрица, в которой элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Виды треугольной матрицы

Нижнетреугольная Верхнетреугольная

Матрица, в которой нули расположены выше главной диагонали.

Как различать:

  • является квадратной матрицей;
  • элементы, стоящие выше главной диагонали — нули.


Пример 1

L=(370041540325748)L=\begin{pmatrix}37&0&0\\41&54&0\\32&57&48\end{pmatrix}

Пример 2

M=(59000712500933756085522213)M=\begin{pmatrix}59&0&0&0\\71&25&0&0\\93&37&56&0\\85&52&22&13\end{pmatrix}

Матрица, в которой нули расположены ниже главной диагонали.

Как различать:

  1. является квадратной матрицей;
  2. элементы, стоящие ниже главной диагонали — нули.


Пример 1

N=(581931014120067)N=\begin{pmatrix}58&19&31\\0&14&12\\0&0&67\end{pmatrix}

Пример 2

P=(13124639075839100243700096)P=\begin{pmatrix}13&12&46&39\\0&75&83&91\\0&0&24&37\\0&0&0&96\end{pmatrix}

Диагональная матрица

Квадратная матрица, все элементы которой равны нулю кроме элементов, стоящих на главной диагонали.

Как различать:

  • является квадратной матрицей;
  • элементы главной диагонали — произвольные числа, остальные элементы — нули.

Пример 1

Q=(610005500049)Q=\begin{pmatrix}61&0&0\\0&55&0\\0&0&49\end{pmatrix}

Пример 2

R=(350000064000007700000810000099)R=\begin{pmatrix}35&0&0&0&0\\0&64&0&0&0\\0&0&77&0&0\\0&0&0&81&0\\0&0&0&0&99\end{pmatrix}

Симметричная матрица

Квадратная матрица с симметричными относительно главной диагонали элементами.

Как различать:

  • является квадратной матрицей;
  • элементы симметричны относительно главной диагонали, т.е. для матрицы A=(a11a12a13...a1na21a22a23...a2n...............am1am2am3...amn):a2,1=a1,2,a3,1=a1,3,a3,2=a2,3,...A= \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&...&a_{2n}\\...&...&...&...&...\\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&...&a_{mn}\end{pmatrix}: a_{2,1}=a_{1,2}, a_{3,1}=a_{1,3}, a_{3,2}=a_{2,3}, ... .

Пример 1

S=(1504403723442369)S=\begin{pmatrix}15&0&44\\0&37&23\\44&23&69\end{pmatrix}

Пример 2

T=(412736412705879365824364179360)T=\begin{pmatrix}41&27&36&41\\27&0&58&79\\36&58&24&36\\41&79&36&0\end{pmatrix}

Кососимметрическая матрица

Квадратная матрица, в которой элементы симметричные относительно главной диагонали равны по модулю, но отличаются по знаку.

Как различать:

  • является квадратной матрицей;
  • элементы, симметричные относительно главной диагонали равны по модулю: a2,1=a1,2,a3,1=a1,3,a3,2=a2,3,...|a_{2,1}|=|a_{1,2}|, |a_{3,1}|=|a_{1,3}|, |a_{3,2}|=|a_{2,3}|, ... ;
  • элементы, симметричные относительно главной диагонали имеют разные знаки: a2,1=a1,2a_{2,1}=-a_{1,2} или a2,1=a1,2-a_{2,1}=a_{1,2} — это справедливо для всех симметричных элементов.

Пример 1

U=(097970)U=\begin{pmatrix}0&97\\-97&0\end{pmatrix}

Пример 2

V=(1535433506443643)V=\begin{pmatrix}15&-35&43\\35&0&-64\\-43&64&3\end{pmatrix}

Ступенчатая матрица (квазитреугольная)

Матрица произвольного размера, имеющая вид

Xm×n=(x11x12x13...x1r...x1n0x22x23...x2r...x2n00x33...x3r...x3n.....................000...xrr...xrn000...0...0.....................000...0...0),0<rmin{m,n}X_{m\times n}=\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}&x_{13}&...&x_{1r}&...&x_{1n}\\0&x_{22}&x_{23}&...&x_{2r}&...&x_{2n}\\0&0&x_{33}&...&x_{3r}&...&x_{3n}\\...&...&...&...&...&...&...\\0&0&0&...&x_{rr}&...&x_{rn}\\0&0&0&...&0&...&0\\...&...&...&...&...&...&...\\0&0&0&...&0&...&0\end{pmatrix}, 0<r\leqslant min\begin{Bmatrix}m,n\end{Bmatrix}

Как различать:

  • первый элемент первой строки отличен от нуля: a1,10a_{1,1}\neq 0;
  • ненулевая строка — строка, содержащая хотя бы один ненулевой элемент. Она состоит из первой части — нулей и второй части — ненулевых элементов (произвольных чисел);
  • из двух ненулевых строк ниже та, у которой больше нулей в первой части, содержащей нули;
  • строки, состоящие только из нулей, могут располагаться после ненулевых строк, однако их наличие необязательно.

Пример 1

W=(112132140157119001211)W=\begin{pmatrix}11&21&32&14\\0&15&71&19\\0&0&12&11\end{pmatrix}
Пример 2

Z=(161917016410018)Z=\begin{pmatrix}16&19&17\\0&-16&41\\0&0&18\end{pmatrix}

Отдельного рассмотрения требуют единичная, нулевая и транспонированная матрицы.

Тест по теме «Основные типы матриц»

Автор статьи
13 Июл 2018 в 11:45
1 133
+7
-0
Комментарии
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Предыдущая статья
Что такое матрица
Напишем уникальную работу
Скидка 10%
Поможем написать учебную работу
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 34 799 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Показать ещё
Показать ещё
Отвечай на вопросы, зарабатывай баллы и трать их на призы.
Подробнее
Прямой эфир