Ранг матрицы

Перед тем как начать знакомство с темой, необходимо повторить правила нахождения определителей второго, третьего и высших порядков. Также необходимо знать, что детерминант 1-го порядка — число. Рассмотрим 2 метода вычисления ранга матриц.

Онлайн-калькулятор

Метод окаймляющих миноров

Для нахождения ранга матрицы данным методом требуется уметь находить миноры матриц.

Ранг матрицы

Рангом матрицы $Q$ называется наивысший порядок миноров, среди которых есть хотя бы один отличный от $0$.

При этом ранг матрицы не может превышать порядка матрицы: $0\leqslant rang \ Q_{m\times n}\leqslant min (m, n)$.

Обозначить ранг матрицы $Q$ можно следующим образом: $rang \ Q$ или $r(Q)$.

Если ранг матрицы $Q$ равен $r$, то это означает, что в матрице $Q$ имеется отличный от нуля минор порядка $r$. При этом всякий минор порядка больше, чем $r$ равен нулю.

Исходя из определения ранга матрицы, следует, что если все миноры первого порядка (т. е. элементы матрицы $Q$) равны $0$, то $rang \ Q=0$. Если один из миноров первого порядка отличен от $0$, а все миноры второго порядка равны $0$, то $rang \ Q=1$. Если все миноры $k$-го порядка равны $0$, или миноров $k$-го порядка не существует, то $rang \ Q=k-1$.

Рассмотрим примеры нахождения ранга матриц данным методом.

Пример 1

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров

$F=\begin{pmatrix}0&3&-1\\2&1&0\\-2&-1&0\end{pmatrix}$.

Данная матрица имеет размер $3\times3$, поэтому ее ранг не может быть больше $3$, т.е. $rang \ F\leqslant3$.

Перейдем к вычислению ранга матрицы.

Среди миноров 1-го порядка (т.е. элементов определителя) есть хотя бы один, не равный $0$, поэтому $rang \ F\geq1$.

Перейдем к проверке миноров 2-го порядка. Например, на пересечении строк №1 и №2 и столбцов №1 и №2 получим минор: $\begin{vmatrix}0&3\\2&1\end{vmatrix}=0\cdot1-2\cdot3=0-6=-6$. Значит, среди миноров 2-го порядка есть хотя бы один, не равный $0$ и поэтому $rang \ F\geq2$.

Перейдем к проверке миноров 3-го порядка. Минор 3-го порядка — определитель матрицы $F$, поскольку она состоит из 3 строк и 3 столбцов: $\begin{vmatrix}0&3&-1\\2&1&0\\-2&-1&0\end{vmatrix}=0$. Значит, ранг матрицы $F$ равен $2$, или $rang \ F=2$.

Пример 2

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров

$K=\begin{pmatrix}2&1&-2&3\\-1&2&1&2\\1&3&-1&5\\-2&-2&1&2\\4&3&-3&1\end{pmatrix}$.

Данная матрица имеет размер $5\times4$. Из чисел $5$ и $4$ минимальным является $4$, поэтому ее ранг не может быть больше $4$, а значит $rang \ K\leqslant4$.

Перейдем к вычислению ранга матрицы.

Среди миноров 1-го порядка (т.е. элементов определителя) есть хотя бы один, не равный $0$, поэтому $rang \ K\geq1$.

Перейдем к проверке миноров 2-го порядка. Например, на пересечении строк №1 и №2 и столбцов №1 и №2 получим минор: $\begin{vmatrix}2&1\\-1&2\end{vmatrix}=2\cdot2-(-1)\cdot1=4+1=5$. Значит, среди миноров 2-го порядка есть хотя бы один, не равный $0$ и поэтому $rang \ K\geq2$.

Перейдем к проверке миноров 3-го порядка. Например, на пересечении строк №1, №3 и №5 и столбцов №2, №3 и №4 получим минор:

$\begin{vmatrix}1&-2&3\\3&-1&5\\3&-3&1\end{vmatrix}=1\cdot(-1)\cdot1+(-2)\cdot5\cdot3+3\cdot(-3)\cdot3-3\cdot(-1)\cdot3-(-2)\cdot1\cdot3-1\cdot5\cdot(-3)=-1-30-27+9+6+15=-28$.

Значит, среди миноров 3-го порядка есть хотя бы один, не равный $0$ и поэтому $rang \ K\geq3$.

Перейдем к проверке миноров 4-го порядка. Например, на пересечении строк №1, №2, №3 и №4 и столбцов №1, №2, №3 и №4 получим минор:

$\begin{vmatrix}2&1&-2&3\\-1&2&1&2\\1&3&-1&5\\-2&-2&1&2\end{vmatrix}=2(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}2&1&2\\3&-1&5\\-2&1&2\end{vmatrix}-(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}1&-2&3\\3&-1&5\\-2&1&2\end{vmatrix}+(-1)^{3+1}\begin{vmatrix}1&-2&3\\2&1&2\\-2&1&2\end{vmatrix}-2(-1)^{4+1}\begin{vmatrix}1&-2&3\\2&1&2\\3&-1&5\end{vmatrix}=2(-1)^{2}\begin{vmatrix}2&1&2\\3&-1&5\\-2&1&2\end{vmatrix}-(-1)^{3}\begin{vmatrix}1&-2&3\\3&-1&5\\-2&1&2\end{vmatrix}+(-1)^{4}\begin{vmatrix}1&-2&3\\2&1&2\\-2&1&2\end{vmatrix}-2(-1)^{5}\begin{vmatrix}1&-2&3\\2&1&2\\3&-1&5\end{vmatrix}=2\begin{vmatrix}2&1&2\\3&-1&5\\-2&1&2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1&-2&3\\3&-1&5\\-2&1&2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1&-2&3\\2&1&2\\-2&1&2\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}1&-2&3\\2&1&2\\3&-1&5\end{vmatrix}=2(-4+6-10-4-10-6)-2+9+20-6-5+12+2+6+8+6-2+8+2(5-6-12-9+2+20)=-56+56+0=0$.

Остальные миноры 4-го порядка также равны нулю:
$\begin{vmatrix}2&1&-2&3\\-1&2&1&2\\1&3&-1&5\\4&3&-3&1\end{vmatrix}=0$,

$\begin{vmatrix}2&1&-2&3\\-1&2&1&2\\-2&-2&1&2\\4&3&-3&1\end{vmatrix}=0$,

$\begin{vmatrix}2&1&-2&3\\1&3&-1&5\\-2&-2&1&2\\4&3&-3&1\end{vmatrix}=0$,

$\begin{vmatrix}-1&2&1&2\\1&3&-1&5\\-2&-2&1&2\\4&3&-3&1\end{vmatrix}=0$.

Значит, ранг матрицы $K$ равен $3$, или $rang \ K=3$.

Данный метод не всегда удобен, поскольку связан с вычислением большого количества определителей. Рассмотрим метод нахождения ранга матриц, который наиболее часто применяется на практике.

Метод Гаусса (метод элементарных преобразований)

Метод основан на элементарных преобразованиях матриц, под которыми будем понимать такие преобразования, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц:

1. перестановка местами любых двух рядов (строк или столбцов) матрицы;
2. умножение любого ряда матрицы (строки или столбца) на некоторое число, отличное от нуля;
3. прибавление к любому ряду (строке или столбцу) матрицы другого ряда (строки или столбца), умноженного на некоторое число, отличное от нуля.

Ранг матрицы

Рангом матрицы называется количество ненулевых строк матрицы после ее приведения к ступенчатому виду при помощи элементарных преобразований над строками и столбцами.

Рассмотрим суть данного метода на примерах.

Пример 1

Найти ранг матрицы методом Гаусса $F=\begin{pmatrix}0&3&-1\\2&1&0\\-2&-1&0\end{pmatrix}$.

Приведем матрицу $F$ с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду.

Поменяем местами строки №1 и №2:

$\begin{pmatrix}0&3&-1\\2&1&0\\-2&-1&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}2&1&0\\0&3&-1\\-2&-1&0\end{pmatrix}$.

Прибавим к строке №3 строку №1, умноженную на 1:

$\begin{pmatrix}2&1&0\\0&3&-1\\-2&-1&0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}2&1&0\\0&3&-1\\0&0&0\end{pmatrix}$.

С помощью элементарных преобразований мы привели матрицу $F$ к ступенчатому виду. В ней остались 2 ненулевые строки, следовательно, $rang \ F=2$.

Пример 2

Найти ранг матрицы методом Гаусса

$K=\begin{pmatrix}2&1&-2&3\\-1&2&1&2\\1&3&-1&5\\-2&-2&1&2\\4&3&-3&1\end{pmatrix}$.

Приведем матрицу $K$ с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду.

Поменяем местами строки №1 и №2:

$\begin{pmatrix}2&1&-2&3\\-1&2&1&2\\1&3&-1&5\\-2&-2&1&2\\4&3&-3&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}-1&2&1&2\\2&1&-2&3\\1&3&-1&5\\-2&-2&1&2\\4&3&-3&1\end{pmatrix}$.

Поменяем местами строки №2 и №4:

$\begin{pmatrix}-1&2&1&2\\2&1&-2&3\\1&3&-1&5\\-2&-2&1&2\\4&3&-3&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}-1&2&1&2\\-2&-2&1&2\\1&3&-1&5\\2&1&-2&3\\4&3&-3&1\end{pmatrix}$.

Поменяем местами строки №3 и №4:

$\begin{pmatrix}-1&2&1&2\\-2&-2&1&2\\1&3&-1&5\\2&1&-2&3\\4&3&-3&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}-1&2&1&2\\-2&-2&1&2\\2&1&-2&3\\1&3&-1&5\\4&3&-3&1\end{pmatrix}$.

Поменяем местами строки №4 и №5:

$\begin{pmatrix}-1&2&1&2\\-2&-2&1&2\\2&1&-2&3\\1&3&-1&5\\4&3&-3&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}-1&2&1&2\\-2&-2&1&2\\2&1&-2&3\\4&3&-3&1\\1&3&-1&5\end{pmatrix}$.

Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на -2:

$\begin{pmatrix}-1&2&1&2\\-2&-2&1&2\\2&1&-2&3\\4&3&-3&1\\1&3&-1&5\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}-1&2&1&2\\0&-6&-1&-2\\2&1&-2&3\\4&3&-3&1\\1&3&-1&5\end{pmatrix}$.

Прибавим к строке №3 строку №1, умноженную на 2:

$\begin{pmatrix}-1&2&1&2\\0&-6&-1&-2\\2&1&-2&3\\4&3&-3&1\\1&3&-1&5\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}-1&2&1&2\\0&-6&-1&-2\\0&5&0&7\\4&3&-3&1\\1&3&-1&5\end{pmatrix}$.

Прибавим к строке №4 строку №1, умноженную на 4:

$\begin{pmatrix}-1&2&1&2\\0&-6&-1&-2\\0&5&0&7\\4&3&-3&1\\1&3&-1&5\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}-1&2&1&2\\0&-6&-1&-2\\0&5&0&7\\0&11&1&9\\1&3&-1&5\end{pmatrix}$.

Прибавим к строке №5 строку №1, умноженную на 1:

$\begin{pmatrix}-1&2&1&2\\0&-6&-1&-2\\0&5&0&7\\0&11&1&9\\1&3&-1&5\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}-1&2&1&2\\0&-6&-1&-2\\0&5&0&7\\0&11&1&9\\0&5&0&7\end{pmatrix}$.

Прибавим к строке №2 строку №3, умноженную на 1:

$\begin{pmatrix}-1&2&1&2\\0&-6&-1&-2\\0&5&0&7\\0&11&1&9\\0&5&0&7\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}-1&2&1&2\\0&-1&-1&5\\0&5&0&7\\0&11&1&9\\0&5&0&7\end{pmatrix}$.

Прибавим к строке №5 строку №3, умноженную на -1:

$\begin{pmatrix}-1&2&1&2\\0&-1&-1&5\\0&5&0&7\\0&11&1&9\\0&5&0&7\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}-1&2&1&2\\0&-1&-1&5\\0&5&0&7\\0&11&1&9\\0&0&0&0\end{pmatrix}$.

Прибавим к строке №3 строку №2, умноженную на 5:

$\begin{pmatrix}-1&2&1&2\\0&-1&-1&5\\0&5&0&7\\0&11&1&9\\0&0&0&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}-1&2&1&2\\0&-1&-1&5\\0&0&-5&32\\0&11&1&9\\0&0&0&0\end{pmatrix}$.

Прибавим к строке №4 строку №2, умноженную на 11:

$\begin{pmatrix}-1&2&1&2\\0&-1&-1&5\\0&0&-5&32\\0&11&1&9\\0&0&0&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}-1&2&1&2\\0&-1&-1&5\\0&0&-5&32\\0&0&-10&64\\0&0&0&0\end{pmatrix}$.

Прибавим к строке №4 строку №3, умноженную на -2:

$\begin{pmatrix}-1&2&1&2\\0&-1&-1&5\\0&0&-5&32\\0&0&-10&64\\0&0&0&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}-1&2&1&2\\0&-1&-1&5\\0&0&-5&32\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}$.

С помощью элементарных преобразований мы привели матрицу $K$ к ступенчатому виду. В ней остались 3 ненулевые строки, следовательно, $rang \ K=3$.

Любым из рассмотренных методов можно найти ранг матрицы.

На Студворк вы можете заказать статью по математике онлайн у профильных экспертов!

Тест по теме «Ранг матрицы»