Свойства определителя матрицы

Мы уже знакомы с понятием определителя матрицы. Было рассмотрено вычисление определителей первого, второго, третьего и высших порядков. Познакомимся со свойствами определителей, позволяющими значительно упростить их вычисление.

Ряды определителя

Под рядами определителя будем понимать строки и столбцы.

Свойства определителя матрицы

Значение определителя останется прежним, если заменить его строки столбцами (т.е. при транспонировании).

Это свойство можно обозначить следующим образом: A=AT|A|=|A^{T}|. В общем виде оно выглядит так:

a11a12...a1na21a22...a2n............am1am2...amn=a11a21...am1a12a22...am2............a1na2n...amn\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&...&...\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{21}&...&a_{m1}\\a_{12}&a_{22}&...&a_{m2}\\...&...&...&...\\a_{1n}&a_{2n}&...&a_{mn}\end{vmatrix}.

Пример 1

1015142=1014152=190\begin{vmatrix}10&15\\14&2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}10&14\\15&2\end{vmatrix}=-190.

Пример 2

101173814151921=103151181971421=3962\begin{vmatrix}10&11&-7\\3&-8&14\\15&19&21\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}10&3&15\\11&-8&19\\-7&14&21\end{vmatrix}=-3962.

Если переставить два параллельных ряда, то определитель изменит свой знак.

Пример 1

Переставим местами строки №1 и №3 и вычислим определитель:

1529371914115128=5128191411152937=3333\begin{vmatrix}-15&29&-37\\19&14&-11\\-5&-12&8\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}-5&-12&8\\19&14&-11\\-15&29&-37\end{vmatrix}=3333.

Пример 2

Переставим местами столбцы №1 и №2 и вычислим определитель:

1529371914115128=2915371419111258=3333\begin{vmatrix}-15&29&-37\\19&14&-11\\-5&-12&8\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}29&-15&-37\\14&19&-11\\-12&-5&8\end{vmatrix}=3333.

Определитель равен нулю, если среди его рядов есть два одинаковых ряда.

Пример 1

Определитель содержит две одинаковые строки: №1 и №3:

111792514211179=0\begin{vmatrix}11&17&9\\25&14&2\\11&17&9\end{vmatrix}=0.

Пример 2

Определитель содержит два одинаковых столбца: №1 и №2:

252545191934393922=0\begin{vmatrix}25&25&45\\19&19&34\\39&39&22\end{vmatrix}=0.

Определитель равен нулю, если среди его рядов есть два пропорциональных ряда.

Пример 1

Определитель содержит две пропорциональных строки – №1 и №3:

1015265711203052=0\begin{vmatrix}10&15&26\\5&7&11\\20&30&52\end{vmatrix}=0.

Пример 2

Определитель содержит два пропорциональных столбца – №2 и №3:

539154129721=0\begin{vmatrix}5&3&9\\15&4&12\\9&7&21\end{vmatrix}=0.

Определитель, содержащий ряд, состоящий из нулей, равен нулю.

Пример 1

11825000191432=0\begin{vmatrix}11&8&25\\0&0&0\\19&14&32\end{vmatrix}=0.

Пример 2

91702514013160=0\begin{vmatrix}9&17&0\\25&14&0\\13&16&0\end{vmatrix}=0.

Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

Пример 1

Вынесем общий множитель — 5 из строки №2 и вычислим определитель:

19153752540131810=5191537158131810=5(2115)=10575\begin{vmatrix}19&15&37\\5&25&40\\13&18&10\end{vmatrix}=5\cdot\begin{vmatrix}19&15&37\\1&5&8\\13&18&10\end{vmatrix}=5\cdot(-2115)=-10575.

Пример 2

Вынесем общий множитель — число 7 из столбца №1 и вычислим определитель:

7281114139211045=712811213931045=7(1478)=10346\begin{vmatrix}7&28&11\\14&13&9\\21&10&45\end{vmatrix}=7\cdot\begin{vmatrix}1&28&11\\2&13&9\\3&10&45\end{vmatrix}=7\cdot(-1478)=-10346.

В случае если все элементы некоторого ряда определителя представимы в виде суммы двух слагаемых, то определитель может быть записан как сумма двух определителей, у которых элементы рассматриваемого ряда равны соответствующим слагаемым, а остальные элементы одни и те же.

Пример 1

Представим в виде суммы двух слагаемых элементы второй строки и вычислим определитель:

135268351=1351+14+25+3351=135145351+135123351=14+6=8\begin{vmatrix}1&3&5\\2&6&8\\3&5&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&3&5\\1+1&4+2&5+3\\3&5&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&3&5\\1&4&5\\3&5&1\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1&3&5\\1&2&3\\3&5&1\end{vmatrix}=-14+6=-8.

Пример 2

Представим в виде суммы двух слагаемых элементы столбца №2 и вычислим определитель:

153168351=12+3313+3832+31=123138321+133138331=12+30=42\begin{vmatrix}1&5&3\\1&6&8\\3&5&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&2+3&3\\1&3+3&8\\3&2+3&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&2&3\\1&3&8\\3&2&1\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1&3&3\\1&3&8\\3&3&1\end{vmatrix}=12+30=42.

Значение определителя останется прежним, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы другого ряда, предварительно умножив их на любое число.

Пример 1

К элементам строки №3 прибавим элементы строки №1, умноженные на -3:

132211325=132211071=28\begin{vmatrix}1&3&-2\\2&-1&1\\3&2&-5\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&3&-2\\2&-1&1\\0&-7&1\end{vmatrix}=28.

Пример 2

К элементам столбца №3 прибавим элементы столбца №1, умноженные на -4:

154248351=1502403511=66\begin{vmatrix}1&5&4\\2&4&8\\3&5&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&5&0\\2&4&0\\3&5&-11\end{vmatrix}=66.

Данные свойства могут применяться для нахождения определителей любого порядка. Их знание и применение значительно упростит процесс вычисления детерминантов.

Автор статьи
+3
-0
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Делимся основными ошибками, которые из года в год допускают старшеклассники.
1578 +150
0
Как к ним подготовиться и что отвечать.
3512 +141
3
Подскользнуться или поскользнуться, едь или езжай?
1765 +72
0
Автор
Хотите выполнять заказы? Стать автором
Заказчик
Хотите заказать работу? Разместить заказ
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 33 784 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Напишем уникальную работу
Скидка 10%