Содержание

Задайте размер матриц:
Число строк первой матрицы
Введите число
Число столбцов первой матрицы
Введите число
Число строк второй матрицы
Введите число
Число столбцов второй матрицы
Введите число

Нами были рассмотрены действия сложения, вычитания и умножения матриц на число. Еще одним действием над ними является умножение. Выполняется оно сложнее, а само правило может показаться немного странным. При его выполнении важно уметь определять размер матриц. Это понятие было рассмотрено в теме «Что такое матрица».

Онлайн-калькулятор

Как умножать матрицы

Приступим к рассмотрению умножения матриц.

Нам известно, что складывать и вычитать можно матрицы, которые имеют одинаковый размер. С умножением дела обстоят немного сложнее.

Какие матрицы можно умножать

Матрицу P можно умножить на матрицу K только в том случае, если число столбцов матрицы P равняется числу строк матрицы K. Матрицы, для которых данное условие не выполняется, умножать нельзя.

Пример 1

Определим, можно ли умножить матрицу

K=(15271810)K=\begin{pmatrix}15&27\\18&10\end{pmatrix} на матрицу L=(3516)L=\begin{pmatrix}35\\16\end{pmatrix}.

Матрица KK состоит из 2 строк и 2 столбцов, а матрица LL — из 2 строк и 1 столбца. Число столбцов матрицы KK равно числу строк матрицы LL, значит, матрицу KK можно умножить на матрицу LL.

Пример 2

Переставим матрицы местами и определим, можно ли умножить матрицу

F=(3516)F=\begin{pmatrix}35\\16\end{pmatrix} на матрицу C=(15271810)C=\begin{pmatrix}15&27\\18&10\end{pmatrix}.

Матрица FF состоит из 2 строк и 1 столбца, а матрица CC — из 2 строк и 2 столбцов. Число столбцов матрицы FF не равно числу строк матрицы CC, значит, матрицу FF нельзя умножить на матрицу CC.

Правило умножения матриц

Произведение матрицы AA размера m×nm\times n и матрицы BB размера n×kn\times k — это матрица CC размера m×km\times k, в которой элемент cijc_{ij} равен сумме произведений элементов ii строки матрицы AA на соответствующие элементы jj столбца матрицы B:cij=ai1b1j+ai2b2j+...+ainbnjB: c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{in}b_{nj}.

Умножение матриц осуществляется путем умножения строки на столбец. Находятся произведения первого элемента строки и первого элемента столбца, второго элемента строки и второго элемента столбца и т.д. Затем полученные произведения суммируются.

Алгоритм нахождения произведения матриц

  1. определить размеры матриц;
  2. если число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы, то выполнять умножение.

Рассмотрим пример умножения матрицы

A=(a11a12a21a22a31a32a41a42)A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\\a_{41}&a_{42}\end{pmatrix}

на матрицу

B=(b11b12b13b21b22b23)B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\end{pmatrix}.

Матрица AA состоит из 4 строк и 2 столбцов, а матрица BB — из 2 строк и 3 столбцов. Число столбцов матрицы AA равно числу строк матрицы BB, значит, можно найти произведение C=ABC=A\cdot B. Причем матрица CC будет иметь размер 4×34\times 3. Найдем элементы c12c_{12} (выделен красными стрелками) и c33c_{33} (выделен синими стрелками):

умножение матриц .png

Для того чтобы найти элемент c12c_{12} нужно перемножать соответствующие элементы 1 строки матрицы AA и 2 столбца матрицы B:c12=a11b12+a12b22B: c_{12}=a_{11}\cdot b_{12}+a_{12}\cdot b_{22}. Для того чтобы найти элемент c33c_{33} нужно перемножать соответствующие элементы 3 строки матрицы AA и 3 столбца матрицы BB: c33=a31b13+a32b23c_{33}=a_{31}\cdot b_{13}+a_{32}\cdot b_{23}. Так находят все элементы.

Таким образом, матрица CC может быть найдена следующим образом:

AB=(a11a12a21a22a31a32a41a42)(b11b12b13b21b22b23)=A\cdot B=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\\a_{41}&a_{42}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\end{pmatrix}=

=(a11b11+a12b21a11b12+a12b22a11b13+a12b23a21b11+a22b21a21b12+a22b22a21b13+a22b23a31b11+a32b21a31b12+a32b22a31b13+a32b23a41b11+a42b21a41b12+a42b22a41b13+a42b23)=\begin{pmatrix}a_{11}\cdot b_{11}+a_{12}\cdot b_{21}&a_{11}\cdot b_{12}+a_{12}\cdot b_{22}&a_{11}\cdot b_{13}+a_{12}\cdot b_{23}\\a_{21}\cdot b_{11}+a_{22}\cdot b_{21}&a_{21}\cdot b_{12}+a_{22}\cdot b_{22}&a_{21}\cdot b_{13}+a_{22}\cdot b_{23}\\a_{31}\cdot b_{11}+a_{32}\cdot b_{21}&a_{31}\cdot b_{12}+a_{32}\cdot b_{22}&a_{31}\cdot b_{13}+a_{32}\cdot b_{23}\\a_{41}\cdot b_{11}+a_{42}\cdot b_{21}&a_{41}\cdot b_{12}+a_{42}\cdot b_{22}&a_{41}\cdot b_{13}+a_{42}\cdot b_{23}\end{pmatrix}

Произведение BAB\cdot A нельзя найти, поскольку число столбцов матрицы BB неравно числу строк матрицы AA.

Пример 1

Найти произведение матрицы C=(15271810)C=\begin{pmatrix}15&27\\18&10\end{pmatrix} на матрицу F=(3516)F=\begin{pmatrix}35\\16\end{pmatrix}.

Матрица CC имеет размер 2×22\times 2, матрица FF имеет размер 2×12\times 1, значит, размер матрицы произведения будет 2×12\times 1.

CF=(15271810)(3516)=(1535+27161835+1016)=(957790)C\cdot F=\begin{pmatrix}15&27\\18&10\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}35\\16\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}15\cdot 35+27\cdot 16\\18\cdot 35+10\cdot 16\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}957\\790\end{pmatrix}.

Как отмечалось выше, произведение матриц FCF\cdot C невозможно.

Пример 2

Найти произведение матриц KLK\cdot L и LKL\cdot K, если K=(12171314)K=\begin{pmatrix}12&17\\13&14\end{pmatrix} на матрицу L=(18111210)L=\begin{pmatrix}18&11\\12&10\end{pmatrix}.

Матрица KK имеет размер 2×22\times 2, матрица LL имеет размер 2×22\times 2, значит, размер матрицы произведения будет 2×22\times 2.

KL=(12171314)(18111210)=(1218+17121211+17101318+14121311+1410)=(420302402283)K\cdot L=\begin{pmatrix}12&17\\13&14\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}18&11\\12&10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12\cdot 18+17\cdot 12&12\cdot 11+17\cdot 10\\13\cdot 18+14\cdot 12&13\cdot 11+14\cdot 10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}420&302\\402&283\end{pmatrix}

Произведение LKL\cdot K существует и его размер — 2×22\times 2.

LK=(18111210)(12171314)=(1812+11131817+11141212+10131217+1014)=(359460274344)L\cdot K=\begin{pmatrix}18&11\\12&10\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}12&17\\13&14\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}18\cdot 12+11\cdot 13&18\cdot 17+11\cdot 14\\12\cdot 12+10\cdot 13&12\cdot 17+10\cdot 14\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}359&460\\274&344\end{pmatrix}

Произведение двух матриц в общем случае зависит от порядка сомножителей, т.е. оно некоммутативно: ABBAA\cdot B\neq B\cdot A.

Так, для матриц K=(12171314)K=\begin{pmatrix}12&17\\13&14\end{pmatrix} и L=(18111210)L=\begin{pmatrix}18&11\\12&10\end{pmatrix} из рассмотренного примера KLLKK\cdot L \neq L\cdot K.

Перестановочные матрицы

Перестановочные, или коммутирующие, матрицы – матрицы, для которых выполняется равенство AB=BAA\cdot B=B\cdot A. Они обязательно квадратные.

Пример 1

Проверить, являются ли перестановочными матрицы CC и DD, если C=(2342)C=\begin{pmatrix}2&3\\4&2\end{pmatrix}, D=(3343)D=\begin{pmatrix}3&3\\4&3\end{pmatrix}.

Найдем произведения этих матриц CDC\cdot D и DCD\cdot C.

CD=(2342)(3343)=(23+3423+3343+2443+23)=(18152018)C\cdot D=\begin{pmatrix}2&3\\4&2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}3&3\\4&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot 3+3\cdot 4&2\cdot 3+3\cdot 3\\4\cdot 3+2\cdot 4&4\cdot 3+2\cdot 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}18&15\\20&18\end{pmatrix},

DC=(3343)(2342)=(32+3433+3242+3443+32)=(18152018)D\cdot C=\begin{pmatrix}3&3\\4&3\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}2&3\\4&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\cdot 2+3\cdot 4&3\cdot 3+3\cdot 2\\4\cdot 2+3\cdot 4&4\cdot 3+3\cdot 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}18&15\\20&18\end{pmatrix}.

Таким образом, для заданных матриц выполняется равенство CDC\cdot D и DCD\cdot C, поэтому они являются перестановочными.

Пример 2

Проверить, являются ли перестановочными матрицы FF и HH, если F=(3421)F=\begin{pmatrix}3&4\\2&1\end{pmatrix}, H=(0593)H=\begin{pmatrix}0&5\\9&3\end{pmatrix}.

Найдем произведения этих матриц FHF\cdot H и HFH\cdot F.

FH=(3421)(0593)=(30+4935+4320+1925+13)=(3627913)F\cdot H=\begin{pmatrix}3&4\\2&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}0&5\\9&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\cdot 0+4\cdot 9&3\cdot 5+4\cdot 3\\2\cdot 0+1\cdot 9&2\cdot 5+1\cdot 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}36&27\\9&13\end{pmatrix},

HF=(0593)(3421)=(03+5204+5193+3294+31)=(1053339)H\cdot F=\begin{pmatrix}0&5\\9&3\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}3&4\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\cdot 3+5\cdot 2&0\cdot 4+5\cdot 1\\9\cdot 3+3\cdot 2&9\cdot 4+3\cdot 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&5\\33&39\end{pmatrix}.

Таким образом, для заданных матриц не выполняется равенство FHF\cdot H и HFH\cdot F, поэтому они не являются перестановочными.

Автор статьи
19 Июл 2018 в 14:39
1 567
+8
-0
Комментарии
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Напишем уникальную работу
Скидка 10%
Поможем написать учебную работу
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 34 793 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Показать ещё
Показать ещё
Отвечай на вопросы, зарабатывай баллы и трать их на призы.
Подробнее
Прямой эфир