Возведение матрицы в степень

Содержание

Задайте размер матрицы:
Число строк и столбцов
Введите число
Степень
Введите число

Мы уже знакомы с понятием матрицы, с основными действиями над ней. Перед тем, как начать изучение новой темы необходимо вспомнить операцию умножения матриц. В процессе изучения темы нами будет рассмотрен новый материал и отработаны действия над матрицами. Приступим к рассмотрению темы.

Операция возведения в степень kk определена только для квадратных матриц, т.е. матриц размера k×kk\times k (матриц kk-го порядка) — 2×22\times 2, 3×33\times 3 и т.д. Кроме того, показатель степени (число в которое мы возводим матрицу) должен быть натуральным: 1,2,3,4,5,1, 2, 3, 4, 5, …

Онлайн-калькулятор

Возведение матрицы в степень

Для того чтобы возвести матрицу AA в степень kk, необходимо умножить матрицу AA саму на себя kk раз: Ak=AA...AA^{k}=A\cdot A\cdot...\cdot A.

Таким образом,

A2=AAA^{2}=A\cdot A,

A3=AAAA^{3}=A\cdot A\cdot A,

A4=AAAAA^{4}=A\cdot A\cdot A\cdot A и т.д.

Для степеней матрицы справедливо следующее свойство: AtAf=At+fA^{t}\cdot A^{f}=A^{t+f}.

Пример 1

Найти A3A^{3} для матрицы A=(25171011)A=\begin{pmatrix}25&17\\10&11\end{pmatrix}.

По свойству степеней: A3=A2AA^{3}=A^{2}\cdot A.

A2=AA=(25171011)(25171011)=A^{2}=A\cdot A=\begin{pmatrix}25&17\\10&11\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}25&17\\10&11\end{pmatrix}=

=(2525+17102517+17111025+11101017+1111)=(795612360291)=\begin{pmatrix}25\cdot25+17\cdot10&25\cdot17+17\cdot11\\10\cdot25+11\cdot10&10\cdot17+11\cdot11\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}795&612\\360&291\end{pmatrix}.

A3=A2A=(795612360291)(25171011)=A^{3}=A^{2}\cdot A=\begin{pmatrix}795&612\\360&291\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}25&17\\10&11\end{pmatrix}=

=(79525+6121079517+6121136025+2911036017+29111)=(2599520247119109321)=\begin{pmatrix}795\cdot25+612\cdot10&795\cdot17+612\cdot11\\360\cdot25+291\cdot10&360\cdot17+291\cdot11\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}25995&20247\\11910&9321\end{pmatrix}.

Значит, A3=(2599520247119109321)A^{3}=\begin{pmatrix}25995&20247\\11910&9321\end{pmatrix}.

Пример 2

Найти B4B^{4} для матрицы B=(573418962)B=\begin{pmatrix}5&7&3\\4&1&8\\9&6&2\end{pmatrix}.

По свойству степеней: B4=B2B2B^{4}=B^{2}\cdot B^{2}.

B2=BB=(573418962)(573418962)=B^{2}=B\cdot B=\begin{pmatrix}5&7&3\\4&1&8\\9&6&2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}5&7&3\\4&1&8\\9&6&2\end{pmatrix}=

=(55+74+3957+71+3653+78+3245+14+8947+11+8643+18+8295+64+2997+61+2693+68+22)=(806077967736878179)\begin{pmatrix}5\cdot5+7\cdot4+3\cdot9&5\cdot7+7\cdot1+3\cdot6&5\cdot3+7\cdot8+3\cdot2\\4\cdot5+1\cdot4+8\cdot9&4\cdot7+1\cdot1+8\cdot6&4\cdot3+1\cdot8+8\cdot2\\9\cdot5+6\cdot4+2\cdot9&9\cdot7+6\cdot1+2\cdot6&9\cdot3+6\cdot8+2\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}80&60&77\\96&77&36\\87&81&79\end{pmatrix}.

B4=B2B2=(806077967736878179)(806077967736878179)=B^{4}=B^{2}\cdot B^{2}=\begin{pmatrix}80&60&77\\96&77&36\\87&81&79\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}80&60&77\\96&77&36\\87&81&79\end{pmatrix}=

=(8080+6096+77878060+6077+77818077+6036+77799680+7796+36879660+7777+36819677+7736+36798780+8196+79878760+8177+79818777+8136+7979)==\begin{pmatrix}80\cdot80+60\cdot96+77\cdot87&80\cdot60+60\cdot77+77\cdot81&80\cdot77+60\cdot36+77\cdot79\\96\cdot80+77\cdot96+36\cdot87&96\cdot60+77\cdot77+36\cdot81&96\cdot77+77\cdot36+36\cdot79\\87\cdot80+81\cdot96+79\cdot87&87\cdot60+81\cdot77+79\cdot81&87\cdot77+81\cdot36+79\cdot79\end{pmatrix}=

=(188591565714403182041460513008216091785615856)=\begin{pmatrix}18859&15657&14403\\18204&14605&13008\\21609&17856&15856\end{pmatrix}.

Значит, B4=(188591565714403182041460513008216091785615856)B^{4}=\begin{pmatrix}18859&15657&14403\\18204&14605&13008\\21609&17856&15856\end{pmatrix}.

Автор статьи
23 Июл 2018 в 16:29
3 284
+4
-0
Комментарии
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Предыдущая статья
Умножение матриц
Напишем уникальную работу
Скидка 10%
Поможем написать учебную работу
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 34 799 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Показать ещё
Показать ещё
Отвечай на вопросы, зарабатывай баллы и трать их на призы.
Подробнее
Прямой эфир