136
2 Июл 2018 в 12:11 02.07.2018 в 12:11

Метод интегрирования по частям

Метод интегрирования по частям
Данный метод является одним из приемов вычисления f(x)dx\int f(x)dx, основанный на применении следующей формулы:

udv=uvvdu\int udv=uv-\int vdu

где u=u(x),v=v(x)u=u(x), v=v(x).

Идея метода заключается в том, чтобы представить подынтегральное выражение f(x)dxf(x)dx в виде udvudv, тем самым свести вычисление исходного интеграла к вычислению более простого vdu\int vdu.

Замечание 1

Чтобы найти vdu\int vdu, можно использовать любой метод интегрирования, в том числе и метод интегрирования по частям.

Возникает вопрос: какую часть исходного подынтегрального выражения f(x)dxf(x)dx принять за uu, а какую – за dvdv? Разберем несколько стандартных случаев.

Типы интегралов и рекомендации

Типы интегралов, к которым применим метод интегрирования по частям и рекомендуемые приемы выбора частей.

  1. Интегралы вида P(x)ekxdx\int P(x)\cdot e^{kx}dx, P(x)sin(kx)dx\int P(x)\cdot\sin (kx)dx, P(x)cos(kx)dx\int P(x)\cdot \cos (kx)dx, где P(x)P(x) – многочлен, kk - число.

В данном случае удобно положить u=P(x)u=P(x), а за dvdv обозначить все остальные сомножители.

Замечание 2

Такой тип интеграла вычисляется путем nn-кратного применения формулы ( ref1\ ref {1}), где nn – степень многочлена P(x)P(x).

Пример 1

Вычислить интеграл:

(x+5)e2xdx\int (x+5)\cdot e^{2x}dx

Решение

Подынтегральное выражение содержит произведение многочлена первой степени (x+1x+1) на показательную функцию (e2xe^{2x}). Согласно рекомендациям в качестве функции uu следует взять (x+5)(x+5), тогда dvdv (все остальные сомножители) будет иметь вид: dv=e2xdxdv=e^{2x}dx.

Для применения формулы ( ref1\ ref{1}) осталось еще найти dudu и vv. Чтобы найти dudu, нужно uu продифференцировать по xx (найти её производную):
du=d(x+5)=dxdu=d(x+5)=dx.

Чтобы найти vv, нужно dvdv проинтегрировать:

v=e2xdx=e2x2v=\int e^{2x}dx=\dfrac{e^{2x}}{2}.

Замечание 3

При нахождении vv константу CC считают равной нулю.

Переходим к вычислению исходного интеграла, используя метод интегрирования по частям ( ref1\ ref{1}):

(x+5)e2xdx=[u=x+5,du=dx,dv=e2xdx,v=e2x2.]==(x+5)e2x2e2xdx2=(x+5)e2x2e2x4+C=e2x4(2x+9)+C\int (x+5)\cdot e^{2x}dx=\begin{bmatrix} u=x+5, & du=dx,\\ dv=e^{2x}dx,& v=\dfrac{e^{2x}}{2}. \end{bmatrix} =\\ \\ \\ =(x+5)\cdot \dfrac{e^{2x}}{2}-\int \dfrac{e^{2x}dx}{2}=(x+5)\cdot\dfrac{e^{2x}}{2}-\dfrac{e^{2x}}{4}+C =\dfrac{e^{2x}}{4}\cdot (2x+9)+C.

Ответ: (x+5)e2xdx=e2x4(2x+9)+C.\int (x+5)\cdot e^{2x}dx=\dfrac{e^{2x}}{4}\cdot (2x+9)+C.

  1. Интегралы вида P(x)arcsin(kx)dx\int P(x)\cdot \arcsin (kx)dx, P(x)arccos(kx)dx\int P(x)\cdot \arccos (kx)dx, P(x)arctg(kx)dx\int P(x)\cdot \text{arctg\,}(kx)dx, P(x)arcctg(kx)dx\int P(x)\cdot \text{arcctg\,}(kx)dx, P(x)ln(kx)dx\int P(x)\cdot \ln (kx)dx, где P(x)P(x) – многочлен, kk – число.

В данном случае удобно положить dv=P(x)dxdv=P(x)dx, а за uu обозначить все остальные сомножители.

Пример 2

Вычислить интеграл:
xlnxdx.\int x\cdot\ln xdx.

Решение
Подынтегральное выражение содержит произведение многочлена первой степени (xx) на логарифм (lnx\ln x). Согласно рекомендациям в качестве dvdv следует взять xdxxdx, тогда uu (все остальные сомножители) будет иметь вид: u=lnxu=\ln x. Теперь найдем dudu и vv:

du=d(lnx)=dxx,du=d(\ln x)=\dfrac{dx}{x},

v(x)=xdx=x22v(x)=\int xdx=\dfrac{x^2}{2}.

Переходим к вычислению исходного интеграла, используя метод интегрирования по частям ( ref1\ ref{1}):

xlnxdx=[u=lnx,du=dxx,dv=xdx,v=x22.]==lnxx22x2dx2x=lnxx22xdx2==lnxx22x24+C=x2(2lnx1)4+C.\int x\ln xdx = \begin{bmatrix} u=\ln x, & du=\dfrac{dx}{x},\\ dv=xdx, & v=\dfrac{x^2}{2}. \end{bmatrix}= \\ \\ \\ = \ln x\cdot \dfrac{x^2}{2}-\int \frac{x^2dx}{2x}=\ln x\cdot \dfrac{x^2}{2}-\int \frac{xdx}{2}=\\ \\ \\ =\ln x\cdot \dfrac{x^2}{2}-\frac{x^2}{4}+C=\dfrac{x^2\cdot (2\ln x-1)}{4}+C.

Ответ: xlnxdx=x2(2lnx1)4+C.\int x\cdot\ln xdx=\dfrac{x^2\cdot (2\ln x-1)}{4}+C.

  1. Интегралы вида ekxsin(mx)dx\int e^{kx}\cdot \sin (mx)dx, ekxcos(mx)dx\int e^{kx}\cdot \cos (mx)dx, где kk и mm – числа.

Для применения формулы ( ref1\ ref{1}) в качестве uu можно выбрать любую из функций (показательную или тригонометрическую), а за dvdv обозначить все остальные сомножители.

Пример 3

Вычислить интеграл:

excosxdx\int e^x\cdot\cos xdx

Решение

Подынтегральное выражение содержит произведение показательной (exe^x) на триго-нометрическую (cosx\cos x) функцию. Согласно рекомендациям в качестве uu можно принять exe^x, следовательно, dv=cosxdxdv=\cos xdx. Теперь найдем dudu и vv:

du=d(ex)=exdxdu=d(e^x)=e^xdx,

v=cosxdx=sinxv=\int\cos xdx = \sin x.

Переходим к вычислению исходного интеграла, используя метод интегрирования по частям ( ref1\ ref{1}):

excosxdx=[u=ex,du=exdx,dv=cosxdx,v=sinx.]==exsinxsinxexdx=()\int e^x\cdot\cos xdx=\begin{bmatrix} u=e^x, & du=e^xdx,\\ dv=\cos xdx, & v=\sin x. \end{bmatrix}=\\ \\ =e^x\cdot\sin x-\int\sin x\cdot e^x dx=(*)

Полученный интеграл также соответствует III типу интегралов. Для его для вычисле-ния повторно применяем метод интегрирования по частям.

()=[u=ex,du=exdx,dv=sinxdx,v=cosx]==exsinx(ex(cosx)ex(cosx)dx)==ex(sinx+cosx)excosxdx.(*)=\begin{bmatrix} u=e^x, & du=e^xdx,\\ dv=\sin xdx,& v=-\cos x \end{bmatrix}=\\ \\ \\ =e^x\sin x-\bigg( e^x\cdot (-\cos x)-\int e^x\cdot(- \cos x)dx\bigg)=\\ \\ \\ =e^x(\sin x+\cos x)-\int e^x\cdot\cos xdx.

Важно!

В результате проделанных преобразований в правой части получили исходный интеграл.

excosxdx=ex(sinx+cosx)excosxdx\int e^x\cdot\cos xdx=e^x(\sin x+\cos x)-\int e^x\cdot\cos x dx.

Решаем данное равенство относительно неизвестного интеграла. Для этого приводим подобные слагаемые (переносим интеграл из правой части в левую часть):

2excosxdx=ex(sinx+cosx)2\cdot\int e^x\cdot\cos xdx=e^x(\sin x+\cos x)

или

excosxdx=ex(sinx+cosx)2\int e^x\cdot\cos xdx=\dfrac{e^x(\sin x+\cos x)}{2}.

Ответ: excosxdx=ex(sinx+cosx)2\int e^x\cdot\cos xdx=\dfrac{e^x(\sin x+\cos x)}{2}.

Рассмотрены только частные способы выбора uu и dvdv для применения метода интегрирования по частям. В других случаях они определяются путем проб и ошибок.

+1
-0
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Домашняя работа в вузе и в школе: а есть ли разница?
3049 +491
0
Подборка крупных российских вузов с опубликованными порогами баллов.
16323 +220
1
Зачем во время ЕГЭ по иностранному школьники слушают музыку и как набрать 100 баллов.
1863 +208
0
Пришла пора получше изучить свои права как студента.
1614 +198
0
Как определить конкурентоспособность будущего поколения в научной деятельности.
1091 +75
0
Автор
Хотите выполнять заказы? Стать автором
Заказчик
Хотите заказать работу? Разместить заказ
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 29 204 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут