159
13 Авг в 08:2713.08.2018 в 08:27

Минор и алгебраическое дополнение матрицы

Содержание

Понятие минора и алгебраического дополнения было рассмотрено нами в теме «Как вычислить определитель матрицы третьего порядка». В данной статье разберем тему более подробно, а также научимся вычислять миноры и алгебраические дополнения матриц высших порядков.

Сначала рекомендуется повторить вычисление определителей второго, третьего и высших порядков.

Минор

Минором MijM_{ij} к элементу aija_{ij} определителя nn-го порядка называется определитель (n1)(n-1)-го порядка, который получается из исходного определителя вычеркиванием ii-той строки и jj-того столбца.

Таким образом, минор — это определитель, который остается после вычеркивания определенной строки и определенного столбца. Например, M12M_{12} получается вычеркиванием 1-й строки и 2-го столбца, M34M_{34} — вычеркиванием 3-й строки и 4-го столбца.
Алгоритм нахождения миноров

  1. вычеркиваем i-ю строку;
  2. вычеркиваем j-й столбец;
  3. записываем определитель, который получили в результате действий 1 и 2.

Пример 1

Найти минор M34M_{34} к элементу a34a_{34} определителя 2123121213154331\begin{vmatrix}2&1&-2&3\\-1&2&1&2\\1&3&-1&5\\4&3&-3&1\end{vmatrix}.

Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, выделим зеленым цветом.

M34=2123121213154331=212121433=22(3)+114+(2)3(1)(2)241(3)(1)213=12+4+6+1636=5M_{34}=\begin{vmatrix}2&1&-2&\color{green}3\\-1&2&1&\color{green}2\\\color{green}1&\color{green}3&\color{green}-1&\color{green}5\\4&3&-3&\color{green}1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&1&-2\\-1&2&1\\4&3&-3\end{vmatrix}=2\cdot2\cdot(-3)+1\cdot1\cdot4+(-2)\cdot3\cdot(-1)-(-2)\cdot2\cdot4-1\cdot(-3)\cdot(-1)-2\cdot1\cdot3=-12+4+6+16-3-6=5.

Пример 2

Найти миноры матрицы K=(0312210021025711)K= \begin{pmatrix}0&3&-1&2\\2&1&0&0\\-2&-1&0&2\\-5&7&1&1\end{pmatrix}.

Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, выделим зеленым цветом.

M11=(0312210021025711)=100102711=1(1)1+10211=1(1)20211=0211=1(1)2+12=1(1)32=2M_{11}= \begin{pmatrix}\color{green}0&\color{green}3&\color{green}-1&\color{green}2\\\color{green}2&1&0&0\\\color{green}-2&-1&0&2\\\color{green}-5&7&1&1\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}1&0&0\\-1&0&2\\7&1&1\end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}0&2\\1&1\end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{2}\begin{vmatrix}0&2\\1&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&2\\1&1\end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{2+1}\cdot2=1\cdot(-1)^{3}\cdot2=-2,

M12=(0312210021025711)=200202511=2(1)1+10211=2(1)20211=20211=2(1)2+12=2(1)32=4M_{12}= \begin{pmatrix}\color{green}0&\color{green}3&\color{green}-1&\color{green}2\\2&\color{green}1&0&0\\-2&\color{green}-1&0&2\\-5&\color{green}7&1&1\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}2&0&0\\-2&0&2\\-5&1&1\end{vmatrix}=2\cdot(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}0&2\\1&1\end{vmatrix}=2\cdot(-1)^{2}\begin{vmatrix}0&2\\1&1\end{vmatrix}=2\begin{vmatrix}0&2\\1&1\end{vmatrix}=2\cdot(-1)^{2+1}\cdot2=2\cdot(-1)^{3}\cdot2=-4,

M13=(0312210021025711)=210212571=2(1)1+07(2)+12(5)0(1)(5)22711(2)=21028+2=38M_{13}= \begin{pmatrix}\color{green}0&\color{green}3&\color{green}-1&\color{green}2\\2&1&\color{green}0&0\\-2&-1&\color{green}0&2\\-5&7&\color{green}1&1\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}2&1&0\\-2&-1&2\\-5&7&1\end{vmatrix}=2\cdot(-1)\cdot1+0\cdot7\cdot(-2)+1\cdot2\cdot(-5)-0\cdot(-1)\cdot(-5)-2\cdot2\cdot7-1\cdot1\cdot(-2)=-2-10-28+2=-38,

M14=(0312210021025711)=210210571=1(1)3+32121=0M_{14}= \begin{pmatrix}\color{green}0&\color{green}3&\color{green}-1&\color{green}2\\2&1&0&\color{green}0\\-2&-1&0&\color{green}2\\-5&7&1&\color{green}1\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}2&1&0\\-2&-1&0\\-5&7&1\end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{3+3}\begin{vmatrix}2&1\\-2&-1\end{vmatrix}=0,

M21=(0312210021025711)=312102711=301+21(1)+(1)27207(1)1(1)321=21416=23M_{21}= \begin{pmatrix}\color{green}0&3&-1&2\\\color{green}2&\color{green}1&\color{green}0&\color{green}0\\\color{green}-2&-1&0&2\\\color{green}-5&7&1&1\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}3&-1&2\\-1&0&2\\7&1&1\end{vmatrix}=3\cdot0\cdot1+2\cdot1\cdot(-1)+(-1)\cdot2\cdot7-2\cdot0\cdot7-(-1)\cdot1\cdot(-1)-3\cdot2\cdot1=-2-14-1-6=-23,

M22=(0312210021025711)=012202511=001+(1)2(5)+21(2)20(5)(1)1(2)021=1042=4M_{22}= \begin{pmatrix}0&\color{green}3&-1&2\\\color{green}2&\color{green}1&\color{green}0&\color{green}0\\-2&\color{green}-1&0&2\\-5&\color{green}7&1&1\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}0&-1&2\\-2&0&2\\-5&1&1\end{vmatrix}=0\cdot0\cdot1+(-1)\cdot2\cdot(-5)+2\cdot1\cdot(-2)-2\cdot0\cdot(-5)-(-1)\cdot1\cdot(-2)-0\cdot2\cdot1=10-4-2=4,

M23=(0312210021025711)=032212571=0(1)1+32(5)+27(2)2(1)(5)31(2)027=302810+6=62M_{23}= \begin{pmatrix}0&3&\color{green}-1&2\\\color{green}2&\color{green}1&\color{green}0&\color{green}0\\-2&-1&\color{green}0&2\\-5&7&\color{green}1&1\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}0&3&2\\-2&-1&2\\-5&7&1\end{vmatrix}=0\cdot(-1)\cdot1+3\cdot2\cdot(-5)+2\cdot7\cdot(-2)-2\cdot(-1)\cdot(-5)-3\cdot1\cdot(-2)-0\cdot2\cdot7=-30-28-10+6=-62,

M24=(0312210021025711)=031210571=0(1)1+30(5)+(1)7(2)(1)(1)(5)31(2)007=14+5+6=25M_{24}= \begin{pmatrix}0&3&-1&\color{green}2\\\color{green}2&\color{green}1&\color{green}0&\color{green}0\\-2&-1&0&\color{green}2\\-5&7&1&\color{green}1\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}0&3&-1\\-2&-1&0\\-5&7&1\end{vmatrix}=0\cdot(-1)\cdot1+3\cdot0\cdot(-5)+(-1)\cdot7\cdot(-2)-(-1)\cdot(-1)\cdot(-5)-3\cdot1\cdot(-2)-0\cdot0\cdot7=14+5+6=25,

M31=(0312210021025711)=312100711=1(1)2+11211=1(1)31211=1211=(12)=3M_{31}= \begin{pmatrix}\color{green}0&3&-1&2\\\color{green}2&1&0&0\\\color{green}-2&\color{green}-1&\color{green}0&\color{green}2\\\color{green}-5&7&1&1\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}3&-1&2\\1&0&0\\7&1&1\end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}-1&2\\1&1\end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{3}\begin{vmatrix}-1&2\\1&1\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}-1&2\\1&1\end{vmatrix}=-(-1-2)=3,

M32=(0312210021025711)=012200511=2(1)2+11211=2(1)31211=21211=2(12)=6M_{32}= \begin{pmatrix}0&\color{green}3&-1&2\\2&\color{green}1&0&0\\\color{green}-2&\color{green}-1&\color{green}0&\color{green}2\\-5&\color{green}7&1&1\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}0&-1&2\\2&0&0\\-5&1&1\end{vmatrix}=2\cdot(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}-1&2\\1&1\end{vmatrix}=2\cdot(-1)^{3}\begin{vmatrix}-1&2\\1&1\end{vmatrix}=-2\begin{vmatrix}-1&2\\1&1\end{vmatrix}=-2(-1-2)=6,

M33=(0312210021025711)=032210571=011+30(5)+27221(5)007312=28+106=32M_{33}= \begin{pmatrix}0&3&\color{green}-1&2\\2&1&\color{green}0&0\\\color{green}-2&\color{green}-1&\color{green}0&\color{green}2\\-5&7&\color{green}1&1\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}0&3&2\\2&1&0\\-5&7&1\end{vmatrix}=0\cdot1\cdot1+3\cdot0\cdot(-5)+2\cdot7\cdot2-2\cdot1\cdot(-5)-0\cdot0\cdot7-3\cdot1\cdot2=28+10-6=32,

M34=(0312210021025711)=031210571=011+30(5)+(1)72(1)1(5)312007=1456=25M_{34}= \begin{pmatrix}0&3&-1&\color{green}2\\2&1&0&\color{green}0\\\color{green}-2&\color{green}-1&\color{green}0&\color{green}2\\-5&7&1&\color{green}1\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}0&3&-1\\2&1&0\\-5&7&1\end{vmatrix}=0\cdot1\cdot1+3\cdot0\cdot(-5)+(-1)\cdot7\cdot2-(-1)\cdot1\cdot(-5)-3\cdot1\cdot2-0\cdot0\cdot7=-14-5-6=-25,

M41=(0312210021025711)=312100102=1(1)2+11202=1(1)31202=1202=(1)(1)1+12=1(1)22=2M_{41}= \begin{pmatrix}\color{green}0&3&-1&2\\\color{green}2&1&0&0\\\color{green}-2&-1&0&2\\\color{green}-5&\color{green}7&\color{green}1&\color{green}1\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}3&-1&2\\1&0&0\\-1&0&2\end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}-1&2\\0&2\end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{3}\begin{vmatrix}-1&2\\0&2\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}-1&2\\0&2\end{vmatrix}=-(-1)\cdot(-1)^{1+1}\cdot2=1\cdot(-1)^{2}\cdot2=2,

M42=(0312210021025711)=012200202=2(1)2+11202=2(1)31202=21202=2(1)(1)1+12=2(1)22=4M_{42}= \begin{pmatrix}0&\color{green}3&-1&2\\2&\color{green}1&0&0\\-2&\color{green}-1&0&2\\\color{green}-5&\color{green}7&\color{green}1&\color{green}1\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}0&-1&2\\2&0&0\\-2&0&2\end{vmatrix}=2\cdot(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}-1&2\\0&2\end{vmatrix}=2\cdot(-1)^{3}\begin{vmatrix}-1&2\\0&2\end{vmatrix}=-2\begin{vmatrix}-1&2\\0&2\end{vmatrix}=-2\cdot(-1)\cdot(-1)^{1+1}\cdot2=2\cdot(-1)^{2}\cdot2=4,

M43=(0312210021025711)=032210212=012+30(2)+2(1)221(2)32200(1)=4+412=12M_{43}= \begin{pmatrix}0&3&\color{green}-1&2\\2&1&\color{green}0&0\\-2&-1&\color{green}0&2\\\color{green}-5&\color{green}7&\color{green}1&\color{green}1\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}0&3&2\\2&1&0\\-2&-1&2\end{vmatrix}=0\cdot1\cdot2+3\cdot0\cdot(-2)+2\cdot(-1)\cdot2-2\cdot1\cdot(-2)-3\cdot2\cdot2-0\cdot0\cdot(-1)=-4+4-12=-12,

M44=(0312210021025711)=031210210=0M_{44}= \begin{pmatrix}0&3&-1&\color{green}2\\2&1&0&\color{green}0\\-2&-1&0&\color{green}2\\\color{green}-5&\color{green}7&\color{green}1&\color{green}1\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}0&3&-1\\2&1&0\\-2&-1&0\end{vmatrix}=0.

Алгебраическое дополнение

Алгебраическим дополнением AijA_{ij} к элементу aija_{ij} определителя n-го порядка называется число Aij=(1)i+jMijA_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot M_{ij}, где i,ji, j — соответствующие строка и столбец, а MijM_{ij} — минор к элементу aija_{ij}.

Алгоритм нахождения алгебраических дополнений

  1. найти сумму номеров строки (i)(i) и столбца (j)(j);
  2. найти минор MijM_{ij} по алгоритму нахождения миноров, который представлен выше;
  3. подставить значения, полученные на шагах 1 и 2, в формулу Aij=(1)i+jMijA_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot M_{ij}.

Пример 1

Найти алгебраическое дополнение A34A_{34} к элементу a34a_{34} определителя
2123121213154331\begin{vmatrix}2&1&-2&3\\-1&2&1&2\\1&3&-1&5\\4&3&-3&1\end{vmatrix}.
A34=(1)3+4M34=(1)72123121213154331=212121433=(22(3)+114+(2)3(1)(2)241(3)(1)213)=(12+4+6+1636)=5A_{34}=(-1)^{3+4}\cdot M_{34}=(-1)^{7}\cdot \begin{vmatrix}2&1&-2&\color{green}3\\-1&2&1&\color{green}2\\\color{green}1&\color{green}3&\color{green}-1&\color{green}5\\4&3&-3&\color{green}1\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}2&1&-2\\-1&2&1\\4&3&-3\end{vmatrix}=-(2\cdot2\cdot(-3)+1\cdot1\cdot4+(-2)\cdot3\cdot(-1)-(-2)\cdot2\cdot4-1\cdot(-3)\cdot(-1)-2\cdot1\cdot3)=-(-12+4+6+16-3-6)=-5.

Пример 2

Найти алгебраические дополнения матрицы K=(0312210021025711)K= \begin{pmatrix}0&3&-1&2\\2&1&0&0\\-2&-1&0&2\\-5&7&1&1\end{pmatrix}.

Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, выделим зеленым цветом.

A11=(1)1+1M11=(1)1+1100102711=(1)2100102711=100102711=2A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot M_{11}=(-1)^{1+1}\cdot\begin{vmatrix}1&0&0\\-1&0&2\\7&1&1\end{vmatrix}=(-1)^{2}\begin{vmatrix}1&0&0\\-1&0&2\\7&1&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&0&0\\-1&0&2\\7&1&1\end{vmatrix}=-2,

A12=(1)1+2M12=(1)1+2200202511=(1)3200202511=200202511=(4)=4A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot M_{12}=(-1)^{1+2}\cdot\begin{vmatrix}2&0&0\\-2&0&2\\-5&1&1\end{vmatrix}=(-1)^{3}\cdot\begin{vmatrix}2&0&0\\-2&0&2\\-5&1&1\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}2&0&0\\-2&0&2\\-5&1&1\end{vmatrix}=-(-4)=4,

A13=(1)1+3M13=(1)1+3210212571=(1)4210212571=210212571=38A_{13}=(-1)^{1+3}\cdot M_{13}=(-1)^{1+3}\cdot \begin{vmatrix}2&1&0\\-2&-1&2\\-5&7&1\end{vmatrix}=(-1)^{4}\cdot \begin{vmatrix}2&1&0\\-2&-1&2\\-5&7&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&1&0\\-2&-1&2\\-5&7&1\end{vmatrix}=-38,

A14=(1)1+4M14=(1)1+4210210571=(1)5210210571=210210571=0A_{14}=(-1)^{1+4}\cdot M_{14}=(-1)^{1+4}\cdot\begin{vmatrix}2&1&0\\-2&-1&0\\-5&7&1\end{vmatrix}=(-1)^{5}\cdot \begin{vmatrix}2&1&0\\-2&-1&0\\-5&7&1\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}2&1&0\\-2&-1&0\\-5&7&1\end{vmatrix}=0,

A21=(1)2+1M21=(1)2+1312102711=(1)3312102711=312102711=(23)=23A_{21}=(-1)^{2+1}\cdot M_{21}=(-1)^{2+1}\cdot\begin{vmatrix}3&-1&2\\-1&0&2\\7&1&1\end{vmatrix}=(-1)^{3}\cdot\begin{vmatrix}3&-1&2\\-1&0&2\\7&1&1\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}3&-1&2\\-1&0&2\\7&1&1\end{vmatrix}=-(-23)=23,

A22=(1)2+2M22=(1)2+2012202511=(1)4012202511=012202511=4A_{22}=(-1)^{2+2}\cdot M_{22}=(-1)^{2+2}\cdot\begin{vmatrix}0&-1&2\\-2&0&2\\-5&1&1\end{vmatrix}=(-1)^{4}\cdot\begin{vmatrix}0&-1&2\\-2&0&2\\-5&1&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&-1&2\\-2&0&2\\-5&1&1\end{vmatrix}=4,

A23=(1)2+3M23=(1)2+3032212571=(1)5032212571=032212571=(62)=62A_{23}=(-1)^{2+3}\cdot M_{23}=(-1)^{2+3}\cdot\begin{vmatrix}0&3&2\\-2&-1&2\\-5&7&1\end{vmatrix}=(-1)^{5}\cdot\begin{vmatrix}0&3&2\\-2&-1&2\\-5&7&1\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}0&3&2\\-2&-1&2\\-5&7&1\end{vmatrix}=-(-62)=62,

A24=(1)2+4M24=(1)2+4031210571=(1)6031210571=031210571=25A_{24}=(-1)^{2+4}\cdot M_{24}=(-1)^{2+4}\cdot\begin{vmatrix}0&3&-1\\-2&-1&0\\-5&7&1\end{vmatrix}=(-1)^{6}\cdot\begin{vmatrix}0&3&-1\\-2&-1&0\\-5&7&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&3&-1\\-2&-1&0\\-5&7&1\end{vmatrix}=25,

A31=(1)3+1M31=(1)3+1312100711=(1)4312100711=312100711=3A_{31}=(-1)^{3+1}\cdot M_{31}=(-1)^{3+1}\cdot\begin{vmatrix}3&-1&2\\1&0&0\\7&1&1\end{vmatrix}=(-1)^{4}\cdot\begin{vmatrix}3&-1&2\\1&0&0\\7&1&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3&-1&2\\1&0&0\\7&1&1\end{vmatrix}=3,

A32=(1)3+2M32=(1)3+2012200511=(1)5012200511=012200511=6A_{32}=(-1)^{3+2}\cdot M_{32}=(-1)^{3+2}\cdot\begin{vmatrix}0&-1&2\\2&0&0\\-5&1&1\end{vmatrix}=(-1)^{5}\cdot\begin{vmatrix}0&-1&2\\2&0&0\\-5&1&1\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}0&-1&2\\2&0&0\\-5&1&1\end{vmatrix}=-6,

A33=(1)3+3M33=(1)3+3032210571=(1)6032210571=032210571=32A_{33}=(-1)^{3+3}\cdot M_{33}=(-1)^{3+3}\cdot\begin{vmatrix}0&3&2\\2&1&0\\-5&7&1\end{vmatrix}=(-1)^{6}\cdot\begin{vmatrix}0&3&2\\2&1&0\\-5&7&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&3&2\\2&1&0\\-5&7&1\end{vmatrix}=32,

A34=(1)3+4M34=(1)3+4031210571=(1)7031210571=031210571=(25)=25A_{34}=(-1)^{3+4}\cdot M_{34}=(-1)^{3+4}\cdot\begin{vmatrix}0&3&-1\\2&1&0\\-5&7&1\end{vmatrix}=(-1)^{7}\cdot\begin{vmatrix}0&3&-1\\2&1&0\\-5&7&1\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}0&3&-1\\2&1&0\\-5&7&1\end{vmatrix}=-(-25)=25,

A41=(1)4+1M41=(1)4+1312100102=(1)5312100102=312100102=2A_{41}=(-1)^{4+1}\cdot M_{41}=(-1)^{4+1}\cdot\begin{vmatrix}3&-1&2\\1&0&0\\-1&0&2\end{vmatrix}=(-1)^{5}\cdot\begin{vmatrix}3&-1&2\\1&0&0\\-1&0&2\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}3&-1&2\\1&0&0\\-1&0&2\end{vmatrix}=-2,

A42=(1)4+2M42=(1)4+2012200202=(1)6012200202=012200202=4A_{42}=(-1)^{4+2}\cdot M_{42}=(-1)^{4+2}\cdot\begin{vmatrix}0&-1&2\\2&0&0\\-2&0&2\end{vmatrix}=(-1)^{6}\cdot\begin{vmatrix}0&-1&2\\2&0&0\\-2&0&2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&-1&2\\2&0&0\\-2&0&2\end{vmatrix}=4,

A43=(1)4+3M43=(1)4+3032210212=(1)7032210212=032210212=(12)=12A_{43}=(-1)^{4+3}\cdot M_{43}=(-1)^{4+3}\cdot\begin{vmatrix}0&3&2\\2&1&0\\-2&-1&2\end{vmatrix}=(-1)^{7}\cdot\begin{vmatrix}0&3&2\\2&1&0\\-2&-1&2\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}0&3&2\\2&1&0\\-2&-1&2\end{vmatrix}=-(-12)=12,

A44=(1)4+4M44=(1)4+4031210210=(1)8031210210=031210210=0A_{44}=(-1)^{4+4}\cdot M_{44}=(-1)^{4+4}\cdot\begin{vmatrix}0&3&-1\\2&1&0\\-2&-1&0\end{vmatrix}=(-1)^{8}\cdot\begin{vmatrix}0&3&-1\\2&1&0\\-2&-1&0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&3&-1\\2&1&0\\-2&-1&0\end{vmatrix}=0