Множества чисел

В математике любые совокупности называют множеством.

Можно говорить, например, о множествах планет, государств, песен, партий, уравнений, функций, точек, чисел, фигур и т.п.

Объекты, входящие в множества, называют его элементами.

Если $a$ – элемент множества $М$, то пишут $a ∈ М$. Запись $b ∉ М$ означает, что $b$ – не является элементом множества $М$. Множества часто записывают с помощью фигурных скобок. Например,

${Δ, Ο}$ – множество фигур $Δ, Ο$;
${0, 1, 2, 3}$ – множество цифр $0, 1, 2, 3$.

Это примеры конечных множеств.

Если множество имеет бесконечное количество элементов, его называют бесконечным множеством.

Бесконечными, например, являются множества натуральных, целых,рациональных, действительных чисел, их обозначают соответственно буквами $N, Z, Q, R$. бесконечными также являются множества точек на прямой или отрезке, множества действительных чисел на промежутках $[2, 3]$, $(-6; 100)$ и др.

Считают, что все элементы множества равны.

Два множества называютравными, если они состоят из тех же элементов.

${1; 3, 5}$ и ${3; 1, 5}$ – различные записи одного и того же множества.

В математике часто рассматриваются и такие множества, которые имеют только один элемент, или вовсе не имеют элементов. Например, можно говорить о множестве корней уравнения $3x + 5 = 17$ или множестве решений неравенства $x^2 + 3 < 0$.

Если множество не содержит ни одного элемента, ее называют пустым множеством и обозначают символом О.

Соотношения множеств

Если $A$ – часть множества $В$, то его называют подмножеством множества $В$ и записывают $А ⊂ В$. Наглядно это изображают с помощью диаграммы Эйлера:

Случается, что множества $А$ и $В$ имеют общие элементы. Если множество $Р$ содержит все общие элементы множеств $А$ и $В$ и только их, то множество $Р$ называют сечением множеств $А$ и $В$. Записывают это так: $А ∩ В = Р$, диаграммой Эйлера это изображают следующим образом:

Если множество, содержит каждый элемент каждого из множеств $А$ и $В$ и только эти элементы, то оно называется объединением множеств $А$ и $В$. Если $К$ – объединение множеств $А$ и $В$, то пишут $A ∪ B = К$:

Разницей множеств $А$ и $В$ называют множество, состоящее из всех элементов множества $А$, не принадлежащих множеству $В$. Ее обозначают $А \ В$.

Например, если $А = {1; 2; 3, 4}, В = {1; 4, 5, 7, 8}, то А ∩ В = {1; 4}, A ∪ В = {1; 2; 3, 4, 5, 7, 8}, А \ В = {2; 3}$.

Упорядоченные множества

Говоря о «множестве», «подмножестве», порядок размещения в них элементов не учитывается. Говорят, что они не упорядоченные. Кроме них, нередко рассматривают и упорядоченные множества. Так называют множества с фиксированным порядком элементов. Их обозначают не
фигурными, а круглыми скобками.

Например, из элементов множества ${a, b, с}$ можно создать 6 трехэлементных упорядоченных множеств: $(a, b, с), (a, с, b), (b, a, с), (b, с, a), (с, a, b), (с, b, a)$. Как множества, все они равны, как упорядоченные множества – различны. Существуют задачи, в которых нужно определить, сколько различных подмножеств или упорядоченных подмножеств можно образовать из элементов данного множества. Их называют комбинаторными задачами.

А раздел математики о решении комбинаторных задач называют комбинаторикой.

Вы можете заказать написание статьи по математике для публикации на Студворк!