260
1 Авг в 10:5301.08.2018 в 10:53

Неявная функция

Говорят, что функция y=y(x)y=y(x) с областью определения D(y)D(y) задана неявно, если F(x,y(x))0F\left(x,y(x)\right)\equiv 0 для некоторой функции F(x,y)F(x,y) двух переменных и любого xD(y)x\in D(y).

Пример 1

Выражение ey1x+y=0e^y\sqrt{1-x}+y=0 задает некоторую функцию y=y(x)y=y(x) с областью определения D(y)=(;1]D(y)=(-\infty;1].

Действительно, если x1x\le 1, то G(y)=ey1xG(y)=e^y\sqrt{1-x} является функцией аргумента yy, монотонно возрастающей от 0 до 1x\sqrt{1-x} при y(;0]y\in(-\infty;0]. С другой стороны, H(y)=yH(y)=-y является функцией аргумента yy, монотонно убывающей от ++\infty до 0 при y(;0]y\in(-\infty;0]. Графики этих функций изображены на рисунке. Очевидно, графики пересекаются лишь в одной точке, которая и определяет значение y(x)y(x).

неявная функция2.png

Для любого x(;1]x\in (-\infty;1] существует единственное y(x)(;0]y(x)\in (-\infty;0], что ey(x)1x=y(x)e^{y(x)}\sqrt{1-x}=-y(x).

Однако далеко не любая функция F(x,y)F(x,y) определяет неявную функцию y(x)y(x) однозначно, как в данном примере.

Для любой достаточно хорошей (например, дифференцируемой) функции FF выражение вида F(x,y)=0F(x,y)=0 естественным образом задает некоторую линию (или набор линий и точек) на координатной плоскости. Если любая вертикальная прямая пересекает данную линию не более, чем в одной точке, то F(x,y)=0F(x,y)=0 задает некоторую функцию. Если же точек пересечения больше, то говорят о многозначной функции.

Пример 2

Кривая e2y(x1)+y2=0e^{2y}(x-1)+y^2=0 изображена на рисунке. Эта кривая определяет три функции. Функция y=y1(x)y=y_1(x) с областью определения D(y1)=(;1]D(y_1)=(-\infty;1] построена в первом примере. Действительно, равенство e2y(x1)+y2=0e^{2y}(x-1)+y^2=0 следует из равенства ey1x+y=0e^y\sqrt{1-x}+y=0.

На рисунке можно видеть графики функций y=y2(x)y=y_2(x) и y=y3(x)y=y_3(x) с областями определения D(y2)=[xA;1]D(y_2)=[x_A;1] и D(y3)=[xA;1)D(y_3)=[x_A;1). Эти неявные функции определяются равенством ey1x=ye^y\sqrt{1-x}=y.

неявная функция1.png

Графики трех ветвей неявной функции, заданной уравнением e2y(x1)+y2=0.e^{2y}(x-1)+y^2=0.

Контрольный вопрос: чему равно xAx_A?

Ответ: xA=1e2x_A=1-e^{-2}.

Автор статьи
+0
-0
Комментарии
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Как защищать курсовую работу

О том, как преподнести себя публике и уберечь нервную систему (не только свою), представляя свое научное детище, – читайте в нашей статье.
132 +20
1

Кто в России счастлив на работе

Кто в России счастлив на работе?
359 +20
3

Антиплагиат: что это такое

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
3462 +17
0

Сессия досрочно

Можно ли сдать экзамены раньше срока?
1306 +15
1
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ