278
23 Июл 2018 в 22:0523.07.2018 в 22:05

Объем додекаэдра

Содержание

Введите длину ребра  aa:
Определение додекаэдра

Додекаэдр – это правильный многогранник, состоящий из двенадцати граней, которые являются правильными пятиугольниками.

Из этого следует, что и сам додекаэдр является правильным телом. У этого многогранника 12 граней, 30 ребер и 20 вершин, причем из каждой выходит по три ребра. Как и у икосаэдра, центром симметрии додекаэдра является его геометрический центр. Также додекаэдр обладает 15 осями симметрий.

Онлайн-калькулятор объема додекаэдра

dodecahedron.svg

Формула объема додекаэдра

Объем додекаэдра вычисляется по следующей формуле:

V=15+754a3V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}\cdot a^3

где aa — длина ребра додекаэдра.

Рассмотрим задачи на нахождения объема этого многогранника.

Задача 1

Найти объем додекаэдра, если радиус вписанного в него шара равен 15 см15\text{ см}.

Решение

r=15r=15

Радиус шара, вписанного в додекаэдр вычисляется так:

r=a410+225r=\frac{a}{4}\cdot\sqrt{10+\frac{22}{\sqrt{5}}},

где aa — длина ребра додекаэдра.

Выразим отсюда aa:

a=4r10+225a=\frac{4\cdot r}{\sqrt{10+\frac{22}{\sqrt{5}}}}

a=41510+225a=\frac{4\cdot 15}{\sqrt{10+\frac{22}{\sqrt{5}}}}

a13.47a\approx13.47

Объем тела:

V=15+754a315+75413.47318728.73 см3V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}\cdot a^3\approx\frac{15+7\sqrt{5}}{4}\cdot 13.47^3\approx18728.73\text{ см}^3

Ответ: 18728.73 см3.18728.73\text{ см}^3.

Задача 2

Найти объем додекаэдра, если площадь его поверхности равна 140 см2140\text{ см}^2.

Решение

S=140S=140

Площадь поверхности додекаэдра вычисляется таким образом:

S=3a25(5+25)S=3\cdot a^2\cdot\sqrt{5\cdot(5+2\sqrt{5})},

где aa — длина ребра додекаэдра.

Отсюда aa равно:

a2=S35(5+25)a^2=\frac{S}{3\cdot\sqrt{5\cdot(5+2\sqrt{5})}}

a=S35(5+25)a=\sqrt{\frac{S}{3\cdot\sqrt{5\cdot(5+2\sqrt{5})}}}

a=14035(5+25)a=\sqrt{\frac{140}{3\cdot\sqrt{5\cdot(5+2\sqrt{5})}}}

a13.862.60a\approx\sqrt{13.86}\approx2.60

Объем додекаэдра:

V=15+754a315+7542.603134.69 см3V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}\cdot a^3\approx\frac{15+7\sqrt{5}}{4}\cdot 2.60^3\approx134.69\text{ см}^3

Ответ: 134.69 см3.134.69\text{ см}^3.

Задача 3

Найти объем додекаэдра, если радиус описанной сферы вокруг этого многогранника равен 17 см17\text{ см}.

Решение

R=17R=17

Радиус сферы, описанной вокруг додекаэдра можно найти по формуле:

R=a43(1+5)R=\frac{a}{4}\cdot\sqrt{3}\cdot(1+\sqrt{5}),

где aa — длина ребра додекаэдра.

Найдем aa:

a=4R3(1+5)a=\frac{4\cdot R}{\sqrt{3}\cdot(1+\sqrt{5})}

a=4173(1+5)a=\frac{4\cdot 17}{\sqrt{3}\cdot(1+\sqrt{5})}

a12.13a\approx12.13

Объем додекаэдра:

V=15+754a315+75412.13313676.91 см3V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}\cdot a^3\approx\frac{15+7\sqrt{5}}{4}\cdot 12.13^3\approx13676.91\text{ см}^3

Ответ: 13676.91 см3.13676.91\text{ см}^3.

+1
-0
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
4024 +18
2
Пишем научную статью в вузе. С чего начать и на что обратить внимание?
183 +14
0
Подборка бесплатных приложений для обработки фотографий.
207 +12
0
Можно ли сдать экзамены раньше срока?
1732 +10
1
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ