Содержание

Введите длину ребра  :
Определение додекаэдра

Додекаэдр – это правильный многогранник, состоящий из двенадцати граней, которые являются правильными пятиугольниками.

Из этого следует, что и сам додекаэдр является правильным телом. У этого многогранника 12 граней, 30 ребер и 20 вершин, причем из каждой выходит по три ребра. Как и у икосаэдра, центром симметрии додекаэдра является его геометрический центр. Также додекаэдр обладает 15 осями симметрий.

Онлайн-калькулятор объема додекаэдра

dodecahedron.svg

Формула объема додекаэдра

Объем додекаэдра вычисляется по следующей формуле:

V=15+754a3V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}\cdot a^3

где aa — длина ребра додекаэдра.

Рассмотрим задачи на нахождения объема этого многогранника.

Задача 1

Найти объем додекаэдра, если радиус вписанного в него шара равен 15 см15\text{ см}.

Решение

r=15r=15

Радиус шара, вписанного в додекаэдр вычисляется так:

r=a410+225r=\frac{a}{4}\cdot\sqrt{10+\frac{22}{\sqrt{5}}},

где aa — длина ребра додекаэдра.

Выразим отсюда aa:

a=4r10+225a=\frac{4\cdot r}{\sqrt{10+\frac{22}{\sqrt{5}}}}

a=41510+225a=\frac{4\cdot 15}{\sqrt{10+\frac{22}{\sqrt{5}}}}

a13.47a\approx13.47

Объем тела:

V=15+754a315+75413.47318728.73 см3V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}\cdot a^3\approx\frac{15+7\sqrt{5}}{4}\cdot 13.47^3\approx18728.73\text{ см}^3

Ответ: 18728.73 см3.18728.73\text{ см}^3.

Задача 2

Найти объем додекаэдра, если площадь его поверхности равна 140 см2140\text{ см}^2.

Решение

S=140S=140

Площадь поверхности додекаэдра вычисляется таким образом:

S=3a25(5+25)S=3\cdot a^2\cdot\sqrt{5\cdot(5+2\sqrt{5})},

где aa — длина ребра додекаэдра.

Отсюда aa равно:

a2=S35(5+25)a^2=\frac{S}{3\cdot\sqrt{5\cdot(5+2\sqrt{5})}}

a=S35(5+25)a=\sqrt{\frac{S}{3\cdot\sqrt{5\cdot(5+2\sqrt{5})}}}

a=14035(5+25)a=\sqrt{\frac{140}{3\cdot\sqrt{5\cdot(5+2\sqrt{5})}}}

a13.862.60a\approx\sqrt{13.86}\approx2.60

Объем додекаэдра:

V=15+754a315+7542.603134.69 см3V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}\cdot a^3\approx\frac{15+7\sqrt{5}}{4}\cdot 2.60^3\approx134.69\text{ см}^3

Ответ: 134.69 см3.134.69\text{ см}^3.

Задача 3

Найти объем додекаэдра, если радиус описанной сферы вокруг этого многогранника равен 17 см17\text{ см}.

Решение

R=17R=17

Радиус сферы, описанной вокруг додекаэдра можно найти по формуле:

R=a43(1+5)R=\frac{a}{4}\cdot\sqrt{3}\cdot(1+\sqrt{5}),

где aa — длина ребра додекаэдра.

Найдем aa:

a=4R3(1+5)a=\frac{4\cdot R}{\sqrt{3}\cdot(1+\sqrt{5})}

a=4173(1+5)a=\frac{4\cdot 17}{\sqrt{3}\cdot(1+\sqrt{5})}

a12.13a\approx12.13

Объем додекаэдра:

V=15+754a315+75412.13313676.91 см3V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}\cdot a^3\approx\frac{15+7\sqrt{5}}{4}\cdot 12.13^3\approx13676.91\text{ см}^3

Ответ: 13676.91 см3.13676.91\text{ см}^3.

23 Июл 2018 в 22:05
2 486
+2
-0
Комментарии
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Предыдущая статья
Объем икосаэдра
Следующая статья
Объем куба
Напишем уникальную работу
Скидка 10%
Поможем написать учебную работу
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 34 822 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Показать ещё
Показать ещё
Отвечай на вопросы, зарабатывай баллы и трать их на призы.
Подробнее
Прямой эфир