593
22 Июл 2018 в 18:3722.07.2018 в 18:37

Объем эллипсоида

Содержание

Введите длины полуосей:
Понятие эллипсоида

Эллипсоид можно получить путем деформации сферы. Проще говоря, эллипсоид — это вытянутая либо сплюснутая сфера.

Онлайн-калькулятор

Эллипсоид обладает полуосями. Исходя из того, что эллипсоид — пространственное тело, то полуосей у него будет ровно на единицу больше, чем у эллипса, то есть, три.

Каноническое уравнение эллипсоида может быть записано так:

x2a2+y2b2+z2c2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,

где a,b,ca, b, c — полуоси эллипсоида;
x,y,zx, y, z — координаты точек, принадлежащих эллипсоиду.

Полуоси эллипсоида – это положительные величины:

a>0,b>0,c>0a>0, b>0, c>0

Если:

a>b>ca>b>c,

то aa — это большая полуось, bb — средняя, а cc — малая.

Формула объема эллипсоида через его полуоси

Для вычисления объема эллипсоида существует такая формула:

Формула объема эллипсоида через его полуоси

V=43πabcV=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot a\cdot b\cdot c

Полезно заметить, что эта формула переходит в формулу для объема шара, если положить:

a=b=c=Ra=b=c=R,

где RR — объем данного шара.

Рассмотрим несколько примеров.

Задача 1

Даны полуоси эллипсоида, численно равные 3 см3\text{ см}, 4 см4\text{ см}, 5 см5\text{ см}. Определите его объем.

Решение

a=3a=3
b=4b=4
c=5c=5

По формуле вычисляем:

V=43πabc=43π345251.2 см3V=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot a\cdot b\cdot c=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot 3\cdot 4\cdot 5\approx251.2\text{ см}^3

Ответ

251.2 см3.251.2\text{ см}^3.

Задача 2

Даны две полуоси эллипсоида – 6 см6\text{ см} и 8 см8\text{ см}. Найдите его объем, если известно, что третья полуось равна длине гипотенузы треугольника, катетами которого являются две вышеописанные полуоси.

Решение

Неважно, как обозначить данные полуоси, поэтому пусть:

b=8b=8
c=6c=6

Для нахождение неизвестной полуоси эллипсоида воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника. По условию задачи, неизвестная полуось aa является гипотенузой прямоугольного треугольника, а полуоси bb и cc выступают катетами этого треугольника. Тогда:

a2=b2+c2a^2=b^2+c^2

a2=82+62a^2=8^2+6^2

a2=64+36a^2=64+36

a2=100a^2=100

a=10a=10

Теперь найдем объем эллипсоида по формуле:

V=43πabc=43π10862009.6 см3V=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot a\cdot b\cdot c=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot 10\cdot 8\cdot 6\approx2009.6\text{ см}^3

Ответ

2009.6 см3.2009.6\text{ см}^3.

+0
-0
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Как их избежать и на что обратить особое внимание?
378 +96
0
Список самых необычных предложений современного рынка труда.
423 +48
0
Как же справиться с чувством неутихающего волнения перед таким важным делом?
388 +25
0
Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
4940 +25
5
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ