280
22 Июл 2018 в 15:4322.07.2018 в 15:43

Объем конуса

Содержание

Введите высоту и радиус:
Определение конуса

Конус – это тело в пространстве, образованное путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

Онлайн-калькулятор

obemkonusa.svg

Общее определение конуса

Конус – это тело, образованное совокупностью всех лучей, исходящих из точки пространства и пересекающих плоскость.

Точка, из которой лучи исходят, получила название вершины конуса. В случае, когда основанием конуса является многоугольник, он превращается в пирамиду.

Рассмотрим некоторые важные понятия.

Образующей конуса называется отрезок, который соединяет любую точку границы основания конуса, с его вершиной.
Высотой конуса является перпендикуляр, который опущен из вершины к основанию тела.

Конус бывает нескольких типов:

Прямой, если его основание – одна из таких фигур, как эллипс или круг. Обязательным условием является проецирование вершины конуса в центр основания.

Косой – у него центр фигуры, которая находится в основании, не совпадает с проекцией вершины на это самое основание.

Круговой – отталкиваясь от названия, понятно, что в его основании лежит круг.

Усеченный – область конуса, лежащая между основанием и сечением плоскости, которая параллельна основанию и пересекает данный конус.

Формула объема прямого конуса

Объем прямого конуса можно рассчитать по следующей формуле:

V=13SоснhV=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{осн}}\cdot h

где SоснS_{\text{осн}} – площадь основания конуса;
hh – высота конуса.

Рассмотрим несколько примеров.

Задача 1

Найдите объем конуса, если его образующая ll равна 5см5\text {см}, а радиус основания RR, которым является круг, равен 3 см3\text{ см}.

Решение

l=5l=5
R=3R=3

Сперва найдем высоту конуса hh. Включим его в прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является образующая. По теореме Пифагора:

l2=h2+R2l^2=h^2+R^2

Отсюда, hh:

h=l2R2h=\sqrt{l^2-R^2}

h=5232h=\sqrt{5^2-3^2}

h=259h=\sqrt{25-9}

h=16h=\sqrt{16}

h=4h=4

Затем находим площадь основания конуса. Это площадь круга радиуса RR:

Sосн=πR2=π3228.26S_{\text{осн}}=\pi\cdot R^2=\pi\cdot3^2\approx28.26

Последние вычисления — нахождение объема конуса по формуле:

V=13Sоснh1328.26437.68 см3V=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{осн}}\cdot h\approx\frac{1}{3}\cdot 28.26\cdot 4\approx37.68\text{ см}^3

Ответ: 37.68 см3.37.68\text{ см}^3.

Задача 2

Известен диаметр круга DD лежащего в основании конуса, равен он 8 см8\text{ см}. Высота конуса равна 9 см9\text{ см}. Найдите его объем.

Решение

D=8D=8
h=9h=9

Найдем радиус RR круга через его диаметр:

R=12D=82=4R=\frac{1}{2}\cdot D=\frac{8}{2}=4

Площадь этого круга и есть основание нашего конуса:

Sосн=πR2=π4250.24S_{\text{осн}}=\pi\cdot R^2=\pi\cdot4^2\approx50.24

Сам объем равен:

V=13Sоснh1350.249150.72 см3V=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{осн}}\cdot h\approx\frac{1}{3}\cdot 50.24\cdot 9\approx150.72\text{ см}^3

Ответ: 150.72 см3.150.72\text{ см}^3.

+0
-0
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
4024 +18
2
Пишем научную статью в вузе. С чего начать и на что обратить внимание?
183 +14
0
Подборка бесплатных приложений для обработки фотографий.
207 +12
0
Можно ли сдать экзамены раньше срока?
1732 +10
1
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ