382
23 Июл 2018 в 20:0423.07.2018 в 20:04

Объем октаэдра

Содержание

Введите длину ребра  :
Определение октаэдра

Октаэдр – это правильный выпуклый многогранник с 8 гранями, каждая из которых является правильным треугольником, то есть у него все стороны равны по длине.

oktaehdr.svg

Онлайн-калькулятор

В совокупности октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер, причем из каждой вершины исходят по четыре грани. Центр октаэдра является его центром симметрии, помимо этого, он обладает 9 осями симметрии.

Формула объема октаэдра

Объем данного тела можно найти по следующей формуле:

V=2a33V=\frac{\sqrt{2}\cdot a^3}{3}

где aa — длина стороны октаэдра.

Рассмотрим задачи, связанные с нахождением объема этого многогранника.

Задача 1

Площадь полной поверхности октаэдра равна 683 см268\sqrt{3}\text{ см}^2. Вычислите его объем.

Решение

S=683S=68\sqrt{3}

Нам нужно найти объем октаэдра, но вместо длины его стороны нам дана его полная площадь поверхности. Запишем формулу для этой площади:

S=23a2S=2\sqrt{3}\cdot a^2,

где aa — длина стороны октаэдра.

Теперь мы можем найти отсюда aa и воспользоваться нашей формулой для объема:

683=23a268\sqrt{3}=2\sqrt{3}\cdot a^2

68=2a268=2\cdot a^2

a2=34a^2=34

a=345.83a=\sqrt{34}\approx5.83

Объем:

V=2a3325.833393.46 см3V=\frac{\sqrt{2}\cdot a^3}{3}\approx\frac{\sqrt{2}\cdot 5.83^3}{3}\approx93.46\text{ см}^3

Ответ: 93.46 см3.93.46\text{ см}^3.

Рассмотрим вторую, более сложную задачу.

Задача 2

Найти объем октаэдра, если по условию известно, что радиус описанной вокруг него сферы равен 172 см17\sqrt{2}\text{ см}.

Решение

R=172R=17\sqrt{2}

Если октаэдр вписан в сферу, то радиус этой сферы можно вычислить по формуле:

R=2a2R=\frac{\sqrt{2}\cdot a}{2},

где aa — длина стороны октаэдра.

Находим отсюда aa:

a=2Ra=\sqrt{2}\cdot R

a=2172=217=34a=\sqrt{2}\cdot17\sqrt{2}=2\cdot17=34

Объем октаэдра:

V=2a33=2343318528 см3V=\frac{\sqrt{2}\cdot a^3}{3}=\frac{\sqrt{2}\cdot 34^3}{3}\approx18528\text{ см}^3

Ответ: 18528 см3.18528\text{ см}^3.

Задача 3

В октаэдр вписана сфера радиуса 19 см19\text{ см}. Определите его объем.

Решение

r=19r=19

Если октаэдр описан вокруг сферы, то радиус этой сферы можно вычислить по формуле:

r=6a6r=\frac{\sqrt{6}\cdot a}{6},

где aa — длина стороны октаэдра.

Находим aa:

a=6ra=\sqrt{6}\cdot r

a=61946.54a=\sqrt{6}\cdot19\approx46.54

Объем октаэдра:

V=2a33246.543347519.6 см3V=\frac{\sqrt{2}\cdot a^3}{3}\approx\frac{\sqrt{2}\cdot 46.54^3}{3}\approx47519.6\text{ см}^3

Ответ: 47519.6 см3.47519.6\text{ см}^3.

+0
-0
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Как их избежать и на что обратить особое внимание?
379 +97
0
Список самых необычных предложений современного рынка труда.
423 +48
0
Как же справиться с чувством неутихающего волнения перед таким важным делом?
388 +25
0
Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
4940 +25
5
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ