Содержание

Введите длину ребра  :
Определение октаэдра

Октаэдр – это правильный выпуклый многогранник с 8 гранями, каждая из которых является правильным треугольником, то есть у него все стороны равны по длине.

oktaehdr.svg

Онлайн-калькулятор

В совокупности октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер, причем из каждой вершины исходят по четыре грани. Центр октаэдра является его центром симметрии, помимо этого, он обладает 9 осями симметрии.

Формула объема октаэдра

Объем данного тела можно найти по следующей формуле:

V=2a33V=\frac{\sqrt{2}\cdot a^3}{3}

где aa — длина стороны октаэдра.

Рассмотрим задачи, связанные с нахождением объема этого многогранника.

Задача 1

Площадь полной поверхности октаэдра равна 683 см268\sqrt{3}\text{ см}^2. Вычислите его объем.

Решение

S=683S=68\sqrt{3}

Нам нужно найти объем октаэдра, но вместо длины его стороны нам дана его полная площадь поверхности. Запишем формулу для этой площади:

S=23a2S=2\sqrt{3}\cdot a^2,

где aa — длина стороны октаэдра.

Теперь мы можем найти отсюда aa и воспользоваться нашей формулой для объема:

683=23a268\sqrt{3}=2\sqrt{3}\cdot a^2

68=2a268=2\cdot a^2

a2=34a^2=34

a=345.83a=\sqrt{34}\approx5.83

Объем:

V=2a3325.833393.46 см3V=\frac{\sqrt{2}\cdot a^3}{3}\approx\frac{\sqrt{2}\cdot 5.83^3}{3}\approx93.46\text{ см}^3

Ответ: 93.46 см3.93.46\text{ см}^3.

Рассмотрим вторую, более сложную задачу.

Задача 2

Найти объем октаэдра, если по условию известно, что радиус описанной вокруг него сферы равен 172 см17\sqrt{2}\text{ см}.

Решение

R=172R=17\sqrt{2}

Если октаэдр вписан в сферу, то радиус этой сферы можно вычислить по формуле:

R=2a2R=\frac{\sqrt{2}\cdot a}{2},

где aa — длина стороны октаэдра.

Находим отсюда aa:

a=2Ra=\sqrt{2}\cdot R

a=2172=217=34a=\sqrt{2}\cdot17\sqrt{2}=2\cdot17=34

Объем октаэдра:

V=2a33=2343318528 см3V=\frac{\sqrt{2}\cdot a^3}{3}=\frac{\sqrt{2}\cdot 34^3}{3}\approx18528\text{ см}^3

Ответ: 18528 см3.18528\text{ см}^3.

Задача 3

В октаэдр вписана сфера радиуса 19 см19\text{ см}. Определите его объем.

Решение

r=19r=19

Если октаэдр описан вокруг сферы, то радиус этой сферы можно вычислить по формуле:

r=6a6r=\frac{\sqrt{6}\cdot a}{6},

где aa — длина стороны октаэдра.

Находим aa:

a=6ra=\sqrt{6}\cdot r

a=61946.54a=\sqrt{6}\cdot19\approx46.54

Объем октаэдра:

V=2a33246.543347519.6 см3V=\frac{\sqrt{2}\cdot a^3}{3}\approx\frac{\sqrt{2}\cdot 46.54^3}{3}\approx47519.6\text{ см}^3

Ответ: 47519.6 см3.47519.6\text{ см}^3.

23 Июл 2018 в 20:04
3 155
+5
-0
Комментарии
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Предыдущая статья
Объем тетраэдра
Следующая статья
Объем икосаэдра
Напишем уникальную работу
Скидка 10%
Поможем написать учебную работу
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 34 793 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Показать ещё
Показать ещё
Отвечай на вопросы, зарабатывай баллы и трать их на призы.
Подробнее
Прямой эфир