Объем параллелепипеда

Содержание

Введите длины сторон параллелепипеда:
Определение параллелепипеда

Параллелепипед — это призма, основанием которой является параллелограмм.

Онлайн-калькулятор

Как и у куба, у этого многогранного тела есть двенадцать ребер, шесть граней и восемь вершин. Вид параллелепипеда зависит от геометрической фигуры, лежащей в основании, и от угла, образованного им при пересечении с гранями.

obemparallelepipeda.svg

Если его гранями являются прямоугольники, то он называется прямоугольным.
Если такие прямоугольники имеют отношение только к боковым граням, то он называется прямым.
Иногда бывают случаи, когда эти грани образуют не прямой угол с основанием. Тогда в данном случае параллелепипед является наклонным.
Если он состоит исключительно из равных ромбов, то он называется ромбоэдром.
Если все грани параллелепипеда являются одинаковыми квадратами, то получаем куб. Таким образом, куб — это частный случай параллелепипеда.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

Объемом такого параллелепипеда называется произведение всех его трех измерений: длины, ширины, высоты. Вычисляется он так:

Объем прямоугольного параллелепипеда

V=abcV=a\cdot b\cdot c

a,b,ca, b, c — длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда.

Рассмотрим несколько примеров.

Задача 1

Найти объем прямоугольного параллелепипеда, если известны его длина, равная 5 см.5\text{ см.}, ширина, имеющая длину 10 см.10\text{ см.} и высота длиной в 7 см.7\text{ см.}

Решение

a=5a=5
b=10b=10
c=7c=7

Сразу подставляем в формулу численные значения:

V=abc=5107=350 см3V=a\cdot b\cdot c=5\cdot 10\cdot 7=350\text{ см}^3

Ответ

350 см3.350\text{ см}^3.

Формула объема наклонного параллелепипеда

Объем наклонного параллелепипеда

V=SоснhV=S_{\text{осн}}\cdot h

SоснS_{\text{осн}} — площадь основания наклонного параллелепипеда;
hh — его высота.

Задача 2

Вычислить объем наклонного параллелепипеда, если в его основании лежит прямоугольник со сторонами в 4 см.4\text{ см.} и 5 см.5\text{ см.}, а высота его равна 10 см.10\text{ см.}

Решение

a=4a=4
b=5b=5
h=10h=10

Находим площадь основания, то есть площадь прямоугольника:

Sосн=ab=45=20S_{\text{осн}}=a\cdot b=4\cdot 5=20

Сам объем равен:

V=Sоснh=2010=200 см3V=S_{\text{осн}}\cdot h=20\cdot 10=200\text{ см}^3

Ответ

200 см3.200\text{ см}^3.

Формула объема параллелепипеда через определитель

Альтернативным способом нахождения объема параллелепипеда является вычисление смешанного произведения векторов, на которых построен данный параллелепипед.

Пусть параллелепипед построен на векторах a\vec{a}, b\vec{b} и c\vec{c} с координатами:

a=(ax,ay,az)\vec{a}=(a_x, a_y, a_z)
b=(bx,by,bz)\vec{b}=(b_x, b_y, b_z)
c=(cx,cy,cz)\vec{c}=(c_x, c_y, c_z),

тогда объем соответствующего параллелепипеда это определитель, составленный из этих координат:

Объем параллелепипеда как определитель

V=axayazbxbybzcxcyczV=\begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end{vmatrix}

Задача 3

Найти объем параллелепипеда через смешанное произведение векторов, координаты которых таковы: a=(2,3,5)\vec{a}=(2, 3, 5), b=(1,4,4)\vec{b}=(1, 4, 4), c=(3,5,7)\vec{c}=(3, 5, 7).

Решение

a=(2,3,5)\vec{a}=(2, 3, 5)
b=(1,4,4)\vec{b}=(1, 4, 4)
c=(3,5,7)\vec{c}=(3, 5, 7)

По формуле:

V=235144357=247+343+515543245317=56+36+25604021=4V=\begin{vmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & 4 \\ 3 & 5 & 7 \\ \end{vmatrix}=2\cdot4\cdot7 + 3\cdot4\cdot3 + 5\cdot1\cdot5 - 5\cdot4\cdot3 - 2\cdot4\cdot5 - 3\cdot1\cdot7 = 56 + 36 + 25 - 60 - 40 - 21 = -4

Мы должны взять модуль этого числа, так как объем это неотрицательная величина:

V=4 см3V=4\text{ см}^3

Ответ

4 см3.4\text{ см}^3.

+3
-0
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Что же такое феномен K-POP?
586 +139
0
Раскрываем различия между дипломом и магистерской диссертацией.
9493 +98
3
Разбираемся, как правильно использовать устойчивые выражения.
107 +55
0
Сегодня вы студент, а завтра уже нет. Как вернуться к учебе после отчисления?
14256 +50
2
Автор
Хотите выполнять заказы? Стать автором
Заказчик
Хотите заказать работу? Разместить заказ
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 32 057 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Напишем уникальную работу
Скидка 10%