1146
19 Июл 2018 в 15:3119.07.2018 в 15:31

Объем параллелепипеда

Содержание

Введите длины сторон параллелепипеда:
Определение параллелепипеда

Параллелепипед — это призма, основанием которой является параллелограмм.

Онлайн-калькулятор

Как и у куба, у этого многогранного тела есть двенадцать ребер, шесть граней и восемь вершин. Вид параллелепипеда зависит от геометрической фигуры, лежащей в основании, и от угла, образованного им при пересечении с гранями.

obemparallelepipeda.svg

Если его гранями являются прямоугольники, то он называется прямоугольным.
Если такие прямоугольники имеют отношение только к боковым граням, то он называется прямым.
Иногда бывают случаи, когда эти грани образуют не прямой угол с основанием. Тогда в данном случае параллелепипед является наклонным.
Если он состоит исключительно из равных ромбов, то он называется ромбоэдром.
Если все грани параллелепипеда являются одинаковыми квадратами, то получаем куб. Таким образом, куб — это частный случай параллелепипеда.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

Объемом такого параллелепипеда называется произведение всех его трех измерений: длины, ширины, высоты. Вычисляется он так:

Объем прямоугольного параллелепипеда

V=abcV=a\cdot b\cdot c

a,b,ca, b, c — длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда.

Рассмотрим несколько примеров.

Задача 1

Найти объем прямоугольного параллелепипеда, если известны его длина, равная 5 см.5\text{ см.}, ширина, имеющая длину 10 см.10\text{ см.} и высота длиной в 7 см.7\text{ см.}

Решение

a=5a=5
b=10b=10
c=7c=7

Сразу подставляем в формулу численные значения:

V=abc=5107=350 см3V=a\cdot b\cdot c=5\cdot 10\cdot 7=350\text{ см}^3

Ответ

350 см3.350\text{ см}^3.

Формула объема наклонного параллелепипеда

Объем наклонного параллелепипеда

V=SоснhV=S_{\text{осн}}\cdot h

SоснS_{\text{осн}} — площадь основания наклонного параллелепипеда;
hh — его высота.

Задача 2

Вычислить объем наклонного параллелепипеда, если в его основании лежит прямоугольник со сторонами в 4 см.4\text{ см.} и 5 см.5\text{ см.}, а высота его равна 10 см.10\text{ см.}

Решение

a=4a=4
b=5b=5
h=10h=10

Находим площадь основания, то есть площадь прямоугольника:

Sосн=ab=45=20S_{\text{осн}}=a\cdot b=4\cdot 5=20

Сам объем равен:

V=Sоснh=2010=200 см3V=S_{\text{осн}}\cdot h=20\cdot 10=200\text{ см}^3

Ответ

200 см3.200\text{ см}^3.

Формула объема параллелепипеда через определитель

Альтернативным способом нахождения объема параллелепипеда является вычисление смешанного произведения векторов, на которых построен данный параллелепипед.

Пусть параллелепипед построен на векторах a\vec{a}, b\vec{b} и c\vec{c} с координатами:

a=(ax,ay,az)\vec{a}=(a_x, a_y, a_z)
b=(bx,by,bz)\vec{b}=(b_x, b_y, b_z)
c=(cx,cy,cz)\vec{c}=(c_x, c_y, c_z),

тогда объем соответствующего параллелепипеда это определитель, составленный из этих координат:

Объем параллелепипеда как определитель

V=axayazbxbybzcxcyczV=\begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end{vmatrix}

Задача 3

Найти объем параллелепипеда через смешанное произведение векторов, координаты которых таковы: a=(2,3,5)\vec{a}=(2, 3, 5), b=(1,4,4)\vec{b}=(1, 4, 4), c=(3,5,7)\vec{c}=(3, 5, 7).

Решение

a=(2,3,5)\vec{a}=(2, 3, 5)
b=(1,4,4)\vec{b}=(1, 4, 4)
c=(3,5,7)\vec{c}=(3, 5, 7)

По формуле:

V=235144357=247+343+515543245317=56+36+25604021=4V=\begin{vmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & 4 \\ 3 & 5 & 7 \\ \end{vmatrix}=2\cdot4\cdot7 + 3\cdot4\cdot3 + 5\cdot1\cdot5 - 5\cdot4\cdot3 - 2\cdot4\cdot5 - 3\cdot1\cdot7 = 56 + 36 + 25 - 60 - 40 - 21 = -4

Мы должны взять модуль этого числа, так как объем это неотрицательная величина:

V=4 см3V=4\text{ см}^3

Ответ

4 см3.4\text{ см}^3.

+0
-0
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Как их избежать и на что обратить особое внимание?
378 +96
0
Список самых необычных предложений современного рынка труда.
423 +48
0
Как же справиться с чувством неутихающего волнения перед таким важным делом?
388 +25
0
Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
4940 +25
5
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ