693
23 Июл 2018 в 15:2323.07.2018 в 15:23

Объем пирамиды

Содержание

Введите количество сторон, длину стороны и высоту:
Определение пирамиды

Пирамида – это многогранник, основанием которого является многоугольник, а грани его являются треугольниками.

Онлайн-калькулятор

obempiramidy.svg

У пирамиды есть ребра. Можно сказать, что они тянутся к точке, называемой вершиной данной пирамиды. Ее основанием может быть произвольный многоугольник. Грань — это фигура, которая образуется в результате объединения двух ближайших ребер со стороной основания. Гранью пирамиды является треугольник. Расстояние от вершины пирамиды до середины стороны основания называется апофемой. Высотой пирамиды называется длина перпендикуляра, опущенного из вершины к центру ее основания.

Типы пирамид

Различают следующие типы пирамид.

  1. Прямоугольная — у нее ребро образует угол в 90 градусов с основанием.
  2. Правильная — ее основание — какой-либо правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр этого основания.
  3. Тетраэдр — пирамида, у которой в основании лежит треугольник.

Формулы объема пирамиды

Объем пирамиды находится несколькими способами.

По площади основания и высоте пирамиды

Простое умножение одной трети площади основания на высоту пирамиды и является ее объемом.

Объем пирамиды по площади основания и высоте

V=13SоснhV=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{осн}}\cdot h

SоснS_{\text{осн}} — площадь основания пирамиды;
hh — высота данной пирамиды.

Задача 1

Площадь основания пирамиды равна 100 см2100\text{ см}^2, а высота ее равна 30 см30\text{ см}. Найдите объем тела.

Решение

Sосн=100S_{\text{осн}}=100
h=30h=30

Все величины нам известны, подставляем их численные значения в формулу и находим:

V=13Sоснh=1310030=1000 см3V=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{осн}}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 100\cdot 30=1000\text{ см}^3

Ответ

1000 см3.1000\text{ см}^3.

Формула объема правильной треугольной пирамиды

Этот способ подходит, если пирамида правильная и треугольная.

Объем правильной треугольной пирамиды

V=ha243V=\frac{h\cdot a^2}{4\sqrt{3}}

hh — высота пирамиды;
aa — сторона основания пирамиды.

Задача 2

Вычислите объем правильной треугольной пирамиды, если в ее основании лежит равносторонний треугольник, в котором сторона равна 5 см5\text{ см}, а высота пирамиды равна – 19 см19\text{ см}.

Решение

a=5a=5
h=19h=19

Просто подставляем данные величины в формулу для объема:

V=ha243=19524368.6 см3V=\frac{h\cdot a^2}{4\sqrt{3}}=\frac{19\cdot 5^2}{4\sqrt{3}}\approx68.6\text{ см}^3

Ответ

68.6 см3.68.6\text{ см}^3.

Формула объема правильной четырехугольной пирамиды

Объем правильной четырехугольной пирамиды

V=13ha2V=\frac{1}{3}\cdot h\cdot a^2

hh — высота пирамиды;
aa — сторона основания пирамиды.

Задача 3

Дана правильная четырехугольная пирамида. Вычислите ее объем, если ее высота равна 7 см7\text{ см}, a сторона основания составляет – 2 см2\text{ см}.

Решение

a=2a=2
h=7h=7

По формуле вычисляем:

V=13ha2=137229.3 см3V=\frac{1}{3}\cdot h\cdot a^2=\frac{1}{3}\cdot 7\cdot 2^2\approx9.3\text{ см}^3

Ответ

9.3 см3.9.3\text{ см}^3.

Формула объема тетраэдра

Объем тетраэдра

V=2a312V=\frac{\sqrt{2}\cdot a^3}{12}

aa — длина ребра тетраэдра.

Задача 4

Длина ребра тетраэдра равна 13 см13\text{ см}. Найдите его объем.

Решение

a=13a=13

Подставляем aa в формулу для объема тетраэдра:

V=2a312=213312259 см3V=\frac{\sqrt{2}\cdot a^3}{12}=\frac{\sqrt{2}\cdot 13^3}{12}\approx259\text{ см}^3

Ответ

259 см3.259\text{ см}^3.

Формула объема пирамиды как определитель

Наверное, самый экзотический способ вычисления объема данного тела.

Пусть даны векторы, на которых построена пирамида как на сторонах. Тогда ее объем будет равен одной шестой смешанного произведения векторов. Последний в свою очередь равен определителю составленному из координат этих векторов. Итак, если пирамида построена на трех векторах:

a=(ax,ay,az)\vec{a}=(a_x, a_y, a_z)
b=(bx,by,bz)\vec{b}=(b_x, b_y, b_z)
c=(cx,cy,cz)\vec{c}=(c_x, c_y, c_z),

тогда объем соответствующей пирамиды это такой определитель:

Объем пирамиды через определитель

V=16axayazbxbybzcxcyczV=\frac{1}{6}\cdot\begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end{vmatrix}

Задача 5

Найти объем пирамиды через смешанное произведение векторов, координаты которых такие: a=(2,3,5)\vec{a}=(2,3,5) , b=(1,4,4)\vec{b}=(1,4,4), c=(3,5,7)\vec{c}=(3,5,7).

Решение

a=(2,3,5)\vec{a}=(2,3,5)
b=(1,4,4)\vec{b}=(1,4,4)
c=(3,5,7)\vec{c}=(3,5,7)

По формуле:

V=16235144357=16(247+343+515543245317)=16(56+36+25604021)=16(4)=230.7V=\frac{1}{6}\cdot\begin{vmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & 4 \\ 3 & 5 & 7 \\ \end{vmatrix}=\frac{1}{6}\cdot(2\cdot4\cdot7 + 3\cdot4\cdot3 + 5\cdot1\cdot5 - 5\cdot4\cdot3 - 2\cdot4\cdot5 - 3\cdot1\cdot7) =\frac{1}{6}\cdot( 56 + 36 + 25 - 60 - 40 - 21)=\frac{1}{6}\cdot(-4)=-\frac{2}{3}\approx-0.7

Мы должны взять модуль этого числа, так как объем это неотрицательная величина:

V=0.7 см3V=0.7\text{ см}^3

Ответ

0.7 см3.0.7\text{ см}^3.

+0
-0
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Как их избежать и на что обратить особое внимание?
378 +96
0
Список самых необычных предложений современного рынка труда.
423 +48
0
Как же справиться с чувством неутихающего волнения перед таким важным делом?
388 +25
0
Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
4940 +25
5
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ