Содержание

Тест: 3 вопроса
1.

Основная формула для вычисления объема тетраэдра:

треть произведения площади одной из граней на длину высоты

полусумма оснований на высоту

удвоенное произведение основания на высоту

2.

Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A, B, C, D: A(14;4;5), B(–5;–3;2), C(–2;–6;–3), D(–2;2;–1).

113

676

812

3.

Сколько всего граней у тетраэдра

2

3

4

5
Выберите способ решения:
Введите длину ребра  :
Определение тетраэдра

Тетраэдр – простейшее многогранное тело, гранями и основанием которого являются треугольники.

Онлайн-калькулятор

Тетраэдр имеет четыре грани, каждая их которых образована тремя сторонами. Вершин у тетраэдра четыре, из каждой выходит по три ребра.

Данное тело разделяется на несколько видов. Ниже приведена их классификация.

  1. Равногранный тетраэдр — у него все грани являются одинаковыми треугольниками;
  2. Ортоцентрический тетраэдр — все высоты, проведенные из каждой вершины на противолежащую грань, являются одинаковыми по длине;
  3. Прямоугольный тетраэдр — ребра, исходящие из одной вершины, образуют друг с другом угол в 90 градусов;
  4. Каркасный;
  5. Соразмерный;
  6. Инцентрический.

Формулы объема тетраэдра

Объем данного тела можно найти несколькими способами. Разберем их более подробно.

Через смешанное произведение векторов

Если тетраэдр построен на трех векторах с координатами:

a=(ax,ay,az)\vec{a}=(a_x, a_y, a_z)
b=(bx,by,bz)\vec{b}=(b_x, b_y, b_z)
c=(cx,cy,cz)\vec{c}=(c_x, c_y, c_z),

тогда объем этого тетраэдра это смешанное произведение этих векторов, то есть такой определитель:

Объем тетраэдра через определитель

V=16axayazbxbybzcxcyczV=\frac{1}{6}\cdot\begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end{vmatrix}

Задача 1

Известны координаты четырех вершин октаэдра. A(1,4,9)A(1,4,9), B(8,7,3)B(8,7,3), C(1,2,3)C(1,2,3), D(7,12,1)D(7,12,1). Найдите его объем.

Решение

A(1,4,9)A(1,4,9)
B(8,7,3)B(8,7,3)
C(1,2,3)C(1,2,3)
D(7,12,1)D(7,12,1)

Первым шагом является определение координат векторов, на которых построено данное тело.
Для этого необходимо найти каждую координату вектора путем вычитания соответствующих координат двух точек. Например, координаты вектора AB\overrightarrow{AB}, то есть, вектора, направленного от точки AA к точке BB, это разности соответствующих координат точек BB и AA:

AB=(81,74,39)=(7,3,6)\overrightarrow{AB}=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)

Далее, аналогично:

AC=(11,24,39)=(0,2,6)\overrightarrow{AC}=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, -2, -6)
AD=(71,124,19)=(6,8,8)\overrightarrow{AD}=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -8)

Теперь найдем смешанное произведение данных векторов, для этого составим определитель третьего порядка, при этом принимая, что AB=a\overrightarrow{AB}=\vec{a}, AC=b\overrightarrow{AC}=\vec{b}, AD=c\overrightarrow{AD}=\vec{c}.

axayazbxbybzcxcycz=736026688=7(2)(8)+3(6)6+(6)08(6)(2)67(6)830(8)=112108072+336+0=268\begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end{vmatrix}=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6)\cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot(-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268

То есть, объем тетраэдра равен:

V=16axayazbxbybzcxcycz=16736026688=1626844.8 см3V=\frac{1}{6}\cdot\begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end{vmatrix}=\frac{1}{6}\cdot \begin{vmatrix} 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end{vmatrix}=\frac{1}{6}\cdot268\approx44.8\text{ см}^3

Ответ

44.8 см3.44.8\text{ см}^3.

Формула объема равногранного тетраэдра по его стороне

Эта формула справедлива только для вычисления объема равногранного тетраэдра, то есть такого тетраэдра, у которого все грани являются одинаковыми правильными треугольниками.

Объем равногранного тетраэдра

V=2a312V=\frac{\sqrt{2}\cdot a^3}{12}

aa — длина ребра тетраэдра.

Задача 2

Определить объем тетраэдра, если дана его сторона, равная 11 см11\text{ см}.

Решение

a=11a=11

Подставляем aa в формулу для объема тетраэдра:

V=2a312=211312156.8 см3V=\frac{\sqrt{2}\cdot a^3}{12}=\frac{\sqrt{2}\cdot 11^3}{12}\approx156.8\text{ см}^3

Ответ

156.8 см3.156.8\text{ см}^3.

Тест по теме «Объем тетраэдра»

23 Июл 2018 в 17:36
6 663
+4
-0
Комментарии
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Предыдущая статья
Объем усеченной пирамиды
Следующая статья
Объем октаэдра
Напишем уникальную работу
Скидка 10%
Поможем написать учебную работу
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 34 809 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Показать ещё
Показать ещё
Отвечай на вопросы, зарабатывай баллы и трать их на призы.
Подробнее
Прямой эфир