Содержание

Введите радиусы   и  :
Определение тороида

Тороид (или, другое название – тор) – это тело, которое получается путем вращения окружности (она называется образующей) вокруг оси, не находящейся на этой окружности.

Внешне тороид похож на бублик.

Онлайн-калькулятор

Наше определение относится только к открытому тору, то есть к такому тору, у которого есть «дырка» в середине, как у бублика. Но, тор также может быть закрытым, но только в том случае, когда ось его вращения либо пересекает образующую окружность, либо ее касается.

Тор можно задать параметрическими уравнениями:

x(φ,ψ)=(R+rcosφ)cosψx(\varphi, \psi)=(R+r\cos\varphi)\cos\psi
y(φ,ψ)=(R+rcosφ)sinψy(\varphi, \psi)=(R+r\cos\varphi)\sin\psi
z(φ,ψ)=rsinφz(\varphi, \psi)=r\sin\varphi

Угол φ\varphi лежит в полуинтервале от 00 до 2π2\pi: φ[0,2π)\varphi\in[0, 2\pi)
Угол ψ\psi лежит в полуинтервале от π-\pi до π\pi: ψ[π,π)\psi\in[-\pi, \pi)

rr — радиус окружности, образующей тор при вращении;
RR — расстояние от центра образующей окружности до оси вращения тора.

Формула объема тороида

Для вычисления объема тора есть специальная формула, которая выглядит так:

Объем тороида

V=2π2r2RV=2\cdot\pi^2\cdot r^2\cdot R,

где:

rr — радиус образующей окружности тора;
RR — радиус вращения образующей окружности.

Рассмотрим несколько примеров.

Задача 1

Найдите объем тора, если радиус его образующей rr равен  4см\text{ 4см}, а RR равен 10 см10\text{ см}.

Решение

r=4r=4
R=10R=10

По общей формуле получаем:

V=2π2r2R=2π242103155 см3V=2\cdot\pi^2\cdot r^2\cdot R=2\cdot\pi^2\cdot 4^2\cdot 10\approx3155\text{ см}^3

Ответ

3155 см3.3155\text{ см}^3.

Задача 2

Диаметры тороида равны соответственно 8 см8\text{ см} и 4 см\text{4 см}. Найдите его объем.

Решение

D=8D=8
d=4d=4

Вместо радиусов нам даны радиусы. Можно или переписать нашу формулу для диаметров либо же найти радиусы и воспользоваться старой формулой. Пойдем по второму пути.

Связь между диаметрами и радиусами:

D=2RD=2\cdot R
d=2rd=2\cdot r

Отсюда радиусы:

R=D2=82=4R=\frac{D}{2}=\frac{8}{2}=4
r=d2=42=2r=\frac{d}{2}=\frac{4}{2}=2

Объем тороида:

V=2π2r2R=2π2224315.5 см3V=2\cdot\pi^2\cdot r^2\cdot R=2\cdot\pi^2\cdot 2^2\cdot 4\approx315.5\text{ см}^3

Ответ

315.5 см3.315.5\text{ см}^3.

Задача 3

Площадь SS поверхности тора равна 130 см2130\text{ см}^2, а r=4 смr = 4\text{ см}. Вычислите его объем.

Решение

S=130S=130
r=4r=4

В статье Площадь поверхности тора мы занимались вычислением площади поверхности тора и пользовались формулой:

S=4π2rRS=4\cdot\pi^2\cdot r\cdot R

Сравнивая эту формулу с формулой для объема тора:

V=2π2r2RV=2\cdot\pi^2\cdot r^2\cdot R,

получаем связь между площадью поверхности и объемом тороида:

V=12rSV=\frac{1}{2}\cdot r\cdot S

Все величины нам здесь известны, подставляем их численные значения и получаем:

V=12rS=124130=260 см3V=\frac{1}{2}\cdot r\cdot S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 130=260\text{ см}^3

Ответ

260 см3.260\text{ см}^3.

Задача 4

Один из радиусов тора RR входит в окружность, площадь которой 169π см2169\pi\text{ см}^2. Второй является радиусом rr образующей окружности и равен 8 см8\text{ см}. Найдите объем этого тела.

Решение

S=169πS=169\pi
r=8r=8

Шаг первый — нахождение радиуса RR. Так как:

S=πR2S=\pi\cdot R^2,

то:

R=SπR=\sqrt{\frac{S}{\pi}}

R=169ππR=\sqrt{\frac{169\pi}{\pi}}

R=169R=\sqrt{169}

R=13R=13

Оба радиуса тора известны, находим его объем по основной формуле:

V=2π2r2R=2π2821316406 см3V=2\cdot\pi^2\cdot r^2\cdot R=2\cdot\pi^2\cdot 8^2\cdot 13\approx16406\text{ см}^3

Ответ

16406 см3.16406\text{ см}^3.

22 Июл 2018 в 19:26
4 045
+6
-0
Комментарии
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Предыдущая статья
Объем эллипсоида
Следующая статья
Объем шарового сегмента
Напишем уникальную работу
Скидка 10%
Поможем написать учебную работу
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 34 793 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Показать ещё
Показать ещё
Отвечай на вопросы, зарабатывай баллы и трать их на призы.
Подробнее
Прямой эфир