348
22 Июл 2018 в 19:2622.07.2018 в 19:26

Объем тороида

Содержание

Введите радиусы  RR  и  rr:
Определение тороида

Тороид (или, другое название – тор) – это тело, которое получается путем вращения окружности (она называется образующей) вокруг оси, не находящейся на этой окружности.

Внешне тороид похож на бублик.

Онлайн-калькулятор

Наше определение относится только к открытому тору, то есть к такому тору, у которого есть «дырка» в середине, как у бублика. Но, тор также может быть закрытым, но только в том случае, когда ось его вращения либо пересекает образующую окружность, либо ее касается.

Тор можно задать параметрическими уравнениями:

x(φ,ψ)=(R+rcosφ)cosψx(\varphi, \psi)=(R+r\cos\varphi)\cos\psi
y(φ,ψ)=(R+rcosφ)sinψy(\varphi, \psi)=(R+r\cos\varphi)\sin\psi
z(φ,ψ)=rsinφz(\varphi, \psi)=r\sin\varphi

Угол φ\varphi лежит в полуинтервале от 00 до 2π2\pi: φ[0,2π)\varphi\in[0, 2\pi)
Угол ψ\psi лежит в полуинтервале от π-\pi до π\pi: ψ[π,π)\psi\in[-\pi, \pi)

rr — радиус окружности, образующей тор при вращении;
RR — расстояние от центра образующей окружности до оси вращения тора.

Формула объема тороида

Для вычисления объема тора есть специальная формула, которая выглядит так:

Объем тороида

V=2π2r2RV=2\cdot\pi^2\cdot r^2\cdot R,

где:

rr — радиус образующей окружности тора;
RR — радиус вращения образующей окружности.

Рассмотрим несколько примеров.

Задача 1

Найдите объем тора, если радиус его образующей rr равен  4см\text{ 4см}, а RR равен 10 см10\text{ см}.

Решение

r=4r=4
R=10R=10

По общей формуле получаем:

V=2π2r2R=2π242103155 см3V=2\cdot\pi^2\cdot r^2\cdot R=2\cdot\pi^2\cdot 4^2\cdot 10\approx3155\text{ см}^3

Ответ

3155 см3.3155\text{ см}^3.

Задача 2

Диаметры тороида равны соответственно 8 см8\text{ см} и 4 см\text{4 см}. Найдите его объем.

Решение

D=8D=8
d=4d=4

Вместо радиусов нам даны радиусы. Можно или переписать нашу формулу для диаметров либо же найти радиусы и воспользоваться старой формулой. Пойдем по второму пути.

Связь между диаметрами и радиусами:

D=2RD=2\cdot R
d=2rd=2\cdot r

Отсюда радиусы:

R=D2=82=4R=\frac{D}{2}=\frac{8}{2}=4
r=d2=42=2r=\frac{d}{2}=\frac{4}{2}=2

Объем тороида:

V=2π2r2R=2π2224315.5 см3V=2\cdot\pi^2\cdot r^2\cdot R=2\cdot\pi^2\cdot 2^2\cdot 4\approx315.5\text{ см}^3

Ответ

315.5 см3.315.5\text{ см}^3.

Задача 3

Площадь SS поверхности тора равна 130 см2130\text{ см}^2, а r=4 смr = 4\text{ см}. Вычислите его объем.

Решение

S=130S=130
r=4r=4

В статье Площадь поверхности тора мы занимались вычислением площади поверхности тора и пользовались формулой:

S=4π2rRS=4\cdot\pi^2\cdot r\cdot R

Сравнивая эту формулу с формулой для объема тора:

V=2π2r2RV=2\cdot\pi^2\cdot r^2\cdot R,

получаем связь между площадью поверхности и объемом тороида:

V=12rSV=\frac{1}{2}\cdot r\cdot S

Все величины нам здесь известны, подставляем их численные значения и получаем:

V=12rS=124130=260 см3V=\frac{1}{2}\cdot r\cdot S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 130=260\text{ см}^3

Ответ

260 см3.260\text{ см}^3.

Задача 4

Один из радиусов тора RR входит в окружность, площадь которой 169π см2169\pi\text{ см}^2. Второй является радиусом rr образующей окружности и равен 8 см8\text{ см}. Найдите объем этого тела.

Решение

S=169πS=169\pi
r=8r=8

Шаг первый — нахождение радиуса RR. Так как:

S=πR2S=\pi\cdot R^2,

то:

R=SπR=\sqrt{\frac{S}{\pi}}

R=169ππR=\sqrt{\frac{169\pi}{\pi}}

R=169R=\sqrt{169}

R=13R=13

Оба радиуса тора известны, находим его объем по основной формуле:

V=2π2r2R=2π2821316406 см3V=2\cdot\pi^2\cdot r^2\cdot R=2\cdot\pi^2\cdot 8^2\cdot 13\approx16406\text{ см}^3

Ответ

16406 см3.16406\text{ см}^3.

+1
-0
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
4024 +18
2
Пишем научную статью в вузе. С чего начать и на что обратить внимание?
183 +14
0
Подборка бесплатных приложений для обработки фотографий.
207 +12
0
Можно ли сдать экзамены раньше срока?
1732 +10
1
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ