Одномерная задача с закрепленными концами

Содержание

Постановка задачи

Данная задача чаще всего формулируется так:

Найти экстремали функционала

J[y]=x0x1L(x,y,y)dxJ [y]=\int\limits_{x_0}^{x_1}L (x, y, y')dx

y(x0)=y0,y(x1)=y1y(x_0)=y_0,\,\,y(x_1)=y_1

Шаблон решения

Вычисление производных. Уравнение Эйлера

Уравнение Эйлера для данного функционала:

ddxyL(x,y,y)=yL(x,y,y)\frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial y'}L(x,y,y')=\frac{\partial}{\partial y}L(x,y,y')

Вычисляем производные:

yL(x,y,y)\frac{\partial}{\partial y}L\left(x,y,y'\right),

yL(x,y,y)\frac{\partial}{\partial y'}L\left(x,y,y'\right),

ddxyL(x,y,y)\frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial y'}L\left(x,y,y'\right)

Выписываем уравнение Эйлера и приводим его к максимально простому виду.

Решение уравнения

Решаем полученное уравнение и выписываем общее решение:

y=y(x,C1,C2)y=y(x,C_1,C_2).

Определение констант

Используя граничные условия, получаем систему для определения постоянных:

{y(x0,C1,C2)=y0y(x1,C1,C2)=y1\left\{\begin{array}{l} y\left(x_0,C_1,C_2\right)=y_0\\ y\left(x_1,C_1,C_2\right)=y_1 \end{array}\right.

Решая данную систему, получаем значения констант

C1=C1(x0,x1,y0,y1)C_1=C_1(x_0,x_1,y_0,y_1),

C2=C2(x0,x1,y0,y1)C_2=C_2(x_0,x_1,y_0,y_1).

Уравнение экстремали

Подставляем найденные в предыдущем пункте значения констант в общее решение и получаем уравнение экстремали функционала

y(x)=y(x,C1(x0,x1,y0,y1),C2(x0,x1,y0,y1))y_*(x)=y(x,C_1(x_0,x_1,y_0,y_1), C_2(x_0,x_1,y_0,y_1)).

Важный частный случай

Если подинтегральная функция L(x,y,y)L\left(x,y,y'\right) не зависит от первого аргумента, то уравнение Эйлера имеет первый интеграл

yL(y,y)yL(y,y)=C1y'\frac{\partial L\left(y,y'\right)}{\partial y'}-L\left(y,y'\right)=C_1

Данное выражение определяет дифференциальное уравнение первого порядка, общее решение которого (зависящее от некоторой постоянной C2C_2) совпадает с решением уравнения Эйлера (См. пример 2 ниже).

Примеры

Пример 1

Найти экстремали функционала

J[y]=0π/2(4ycosx+y2y2)dxJ [y]=\int\limits_{0}^{\pi/2}(4y \cos x+y'^2 - y^2) dx

y(0)=0,y(π/2)=1y(0)=0,\,\,y(\pi/2)=1.

Решение

  1. Уравнение Эйлера для данного функционала имеет вид:

ddxy(4ycosx+y2y2=y(4ycosx+y2y2){\frac{d}{dx} \frac{\partial }{\partial y{'} }(4y\cos x+y{'} ^{2} -y^{2} =\frac{\partial }{\partial y} (4y\cos x+y{'} ^{2} -y^{2}})

Вычислим производные:

y(4ycosx+y2y2)=4cosx2y,y(4ycosx+y2y2)=2y,\frac{\partial}{\partial y}\left(4y\cos x+y{'} ^{2} -y^{2}\right)=4\cos x-2y,\quad\frac{\partial}{\partial y'}\left(4y\cos x+y{'}^{2} -y^{2}\right)=2y',

ddxy(4ycosx+y2y2)=ddx(2y)=2y.\frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial y'}\left(4y\cos x+y{'} ^{2} -y^{2}\right)=\frac{d}{dx}\left(2y'\right)=2y''.

Таким образом, уравнение может быть записано как

2y=4cosx2yy+y=2cosx2y''=4\cos x-2y\,\,\Leftrightarrow\,\, y''+y=2\cos x

  1. Уравнение Эйлера является неоднородным ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение соответствующего однородного уравнения

y0=C1cosx+C2sinx.y_{0} =C_{1} \cos x+C_{2} \sin x.

Решение неоднородного уравнения ищем в виде

y1=Axcosx+Bxsinx.y_{1} =Ax\cos x+Bx\sin x.

Подстановка в уравнение Эйлера дает

y+y=2Asinx+2Bcosx=2cosx.y''+y=-2A\sin x+2B\cos x=2\cos x.

Следовательно, A=0A=0 и B=1B=1.

Таким образом, общее решение уравнения Эйлера

y=C1cosx+C2sinx+xsinx.y=C_{1} \cos x+C_{2} \sin x+x\sin x.

  1. Используя граничные условия, получаем систему для определения постоянных

{C1cos0+C2sin0+0sin0=0C1cosπ/2+C2sinπ/2+(π/2)sinπ/2=1\left\{\begin{array}{l} C_{1} \cos 0+C_{2} \sin 0+0\sin 0=0\\ C_{1} \cos \pi/2+C_{2} \sin \pi/2+\left(\pi/2\right)\sin \pi/2=1 \end{array}\right.

Решая данную систему, получим

{C1=0C2+π/2=1{C1=0C2=1π/2\left\{\begin{array}{l} C_{1}=0\\ C_{2}+\pi/2=1 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} C_{1}=0\\ C_{2}=1-{\pi}/{2} \end{array}\right.

  1. Подставляем найденные в предыдущем пункте значения констант в общее решение и получаем уравнение экстремали функционала JJ

y(x)=(x+1π2)sinx.y_*(x)=\left(x+1-\frac{\pi}{2}\right) \sin x.

Пример 2

Найти экстремали функционала

J[y]=021+y2ydx,J[y]=\int\limits_{0}^{2}\frac{\sqrt{1+y'^2}}{y}dx,

y(0)=0,y(2)=4.y(0)=0,\,\,y(2)=4.

Решение

1, 2. Подинтегральная функция L(x,y,y)=1+y2yL\left(x,y,y'\right)=\frac{\sqrt{1+y'^2}}{y} не зависит от переменной xx, поэтому уравнение Эйлера для данного функционала имеет первый интеграл

yy1+y2y1+y2y=C,y'\frac{\partial }{\partial y'}\frac{\sqrt{1+y'^2}}{y}-\frac{\sqrt{1+y'^2}}{y}=C,

где CC – некоторая постоянная.

Вычислив частную производную и выполнив элементарные преобразования, получим уравнение

y=C12y21y'=\sqrt{\frac{C_1^2}{y^2}-1},

где C1=1/CC_1=1/C.

Отсюда следует, что

dx=ydyC12y2.dx=\frac{yd y}{\sqrt{C_1^2-y^2}}.

Интегрируя, получим

x=ydyC12y2=12d(C12y2)C12y2=C12y2+C2.x=\int\frac{y d y}{\sqrt{C_1^2-y^2}}=-\frac{1}{2}\int\frac{d (C_1^2-y^2)}{\sqrt{C_1^2-y^2}}=-\sqrt{C_1^2-y^2}+C_2.

Таким образом, общее решение уравнения Эйлера

y(x)=C12(xC2)2.y(x)=\sqrt{C_1^2-(x-C_2)^2}.

  1. Используя граничные условия, получаем систему для определения постоянных

{0=C12(0C2)24=C12(2C2)2{C1=±C216=4C24{C1=±5C2=5\left\{\begin{array}{l} 0=\sqrt{C_1^2-(0-C_2)^2}\\ 4=\sqrt{C_1^2-(2-C_2)^2} \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} C_1=\pm C_2\\ 16=4C_2-4\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} C_1=\pm 5\\ C_2=5 \end{array}\right.

  1. Подставляем найденные в предыдущем пункте значения констант в общее решение и получаем уравнение экстремали функционала JJ

y(x)=10xx2.y_*(x)=\sqrt{10x-x^2}.

Экстремаль является дугой окружности радиуса 5 с центром в точке (5,0)(5,0).

Пример 3

Важно отметить, что существуют функционалы, у которых нет экстремалей, удовлетворяющих данным граничным условиям.

Найти экстремали функционала

J[y]=01(xy+y22y2y)dxJ[y]=\int\limits_{0}^{1}(xy+y^2-2y^2y')d x,

y(0)=y0,y(1)=y1.y(0)=y_0,\,\,y(1)=y_1.

Решение

Уравнение Эйлера для данного функционала имеет вид

ddxy(xy+y22y2y)=y(xy+y22y2y)\frac{d}{dx} \frac{\partial }{\partial y{'} } \left(xy+y^2-2y^2y'\right)=\frac{\partial }{\partial y} \left(xy+y^2-2y^2y'\right)

Вычислим производные:

y(xy+y22y2y)=x+2y4yy,y(xy+y22y2y)=2y2,\frac{\partial}{\partial y}\left(xy+y^2-2y^2y'\right)=x+2y-4yy',\quad\frac{\partial}{\partial y'}\left(xy+y^2-2y^2y'\right)=-2y^2,

ddxy(xy+y22y2y)=ddx(2y2)=4yy.\frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial y'}\left(xy+y^2-2y^2y'\right)=\frac{d}{dx}\left(-2y^2\right)=-4yy'.

Таким образом, уравнение Эйлера может быть записано как

x+2y4yy=4yyy=x2x+2y-4yy'=-4yy'\,\,\Leftrightarrow\,\, y=-\frac{x}{2}

и по сути не является дифференциальным.

Исходный функционал имеет только одну экстремаль y=x2y=-\frac{x}{2}. Поставленная задача имеет решение только если y0=0y_0=0 и y1=12y_1=-\frac{1}{2}.

Автор статьи
+5
-2
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Делимся основными ошибками, которые из года в год допускают старшеклассники.
1390 +163
0
Как к ним подготовиться и что отвечать.
3337 +154
3
Признаки хорошего колледжа.
764 +103
0
Автор
Хотите выполнять заказы? Стать автором
Заказчик
Хотите заказать работу? Разместить заказ
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 33 747 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Напишем уникальную работу
Скидка 10%