366
27 Июл в 08:4627.07.2018 в 08:46

Одномерная задача с закрепленными концами

Содержание

Постановка задачи

Данная задача чаще всего формулируется так:

Найти экстремали функционала

J[y]=x0x1L(x,y,y)dxJ [y]=\int\limits_{x_0}^{x_1}L (x, y, y')dx

y(x0)=y0,y(x1)=y1y(x_0)=y_0,\,\,y(x_1)=y_1

Шаблон решения

Вычисление производных. Уравнение Эйлера

Уравнение Эйлера для данного функционала:

ddxyL(x,y,y)=yL(x,y,y)\frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial y'}L(x,y,y')=\frac{\partial}{\partial y}L(x,y,y')

Вычисляем производные:

yL(x,y,y)\frac{\partial}{\partial y}L\left(x,y,y'\right),

yL(x,y,y)\frac{\partial}{\partial y'}L\left(x,y,y'\right),

ddxyL(x,y,y)\frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial y'}L\left(x,y,y'\right)

Выписываем уравнение Эйлера и приводим его к максимально простому виду.

Решение уравнения

Решаем полученное уравнение и выписываем общее решение:

y=y(x,C1,C2)y=y(x,C_1,C_2).

Определение констант

Используя граничные условия, получаем систему для определения постоянных:

{y(x0,C1,C2)=y0y(x1,C1,C2)=y1\left\{\begin{array}{l} y\left(x_0,C_1,C_2\right)=y_0\\ y\left(x_1,C_1,C_2\right)=y_1 \end{array}\right.

Решая данную систему, получаем значения констант

C1=C1(x0,x1,y0,y1)C_1=C_1(x_0,x_1,y_0,y_1),

C2=C2(x0,x1,y0,y1)C_2=C_2(x_0,x_1,y_0,y_1).

Уравнение экстремали

Подставляем найденные в предыдущем пункте значения констант в общее решение и получаем уравнение экстремали функционала

y(x)=y(x,C1(x0,x1,y0,y1),C2(x0,x1,y0,y1))y_*(x)=y(x,C_1(x_0,x_1,y_0,y_1), C_2(x_0,x_1,y_0,y_1)).

Важный частный случай

Если подинтегральная функция L(x,y,y)L\left(x,y,y'\right) не зависит от первого аргумента, то уравнение Эйлера имеет первый интеграл

yL(y,y)yL(y,y)=C1y'\frac{\partial L\left(y,y'\right)}{\partial y'}-L\left(y,y'\right)=C_1

Данное выражение определяет дифференциальное уравнение первого порядка, общее решение которого (зависящее от некоторой постоянной C2C_2) совпадает с решением уравнения Эйлера (См. пример 2 ниже).

Примеры

Пример 1

Найти экстремали функционала

J[y]=0π/2(4ycosx+y2y2)dxJ [y]=\int\limits_{0}^{\pi/2}(4y \cos x+y'^2 - y^2) dx

y(0)=0,y(π/2)=1y(0)=0,\,\,y(\pi/2)=1.

Решение

  1. Уравнение Эйлера для данного функционала имеет вид:

ddxy(4ycosx+y2y2=y(4ycosx+y2y2){\frac{d}{dx} \frac{\partial }{\partial y{'} }(4y\cos x+y{'} ^{2} -y^{2} =\frac{\partial }{\partial y} (4y\cos x+y{'} ^{2} -y^{2}})

Вычислим производные:

y(4ycosx+y2y2)=4cosx2y,y(4ycosx+y2y2)=2y,\frac{\partial}{\partial y}\left(4y\cos x+y{'} ^{2} -y^{2}\right)=4\cos x-2y,\quad\frac{\partial}{\partial y'}\left(4y\cos x+y{'}^{2} -y^{2}\right)=2y',

ddxy(4ycosx+y2y2)=ddx(2y)=2y.\frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial y'}\left(4y\cos x+y{'} ^{2} -y^{2}\right)=\frac{d}{dx}\left(2y'\right)=2y''.

Таким образом, уравнение может быть записано как

2y=4cosx2yy+y=2cosx2y''=4\cos x-2y\,\,\Leftrightarrow\,\, y''+y=2\cos x

  1. Уравнение Эйлера является неоднородным ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение соответствующего однородного уравнения

y0=C1cosx+C2sinx.y_{0} =C_{1} \cos x+C_{2} \sin x.

Решение неоднородного уравнения ищем в виде

y1=Axcosx+Bxsinx.y_{1} =Ax\cos x+Bx\sin x.

Подстановка в уравнение Эйлера дает

y+y=2Asinx+2Bcosx=2cosx.y''+y=-2A\sin x+2B\cos x=2\cos x.

Следовательно, A=0A=0 и B=1B=1.

Таким образом, общее решение уравнения Эйлера

y=C1cosx+C2sinx+xsinx.y=C_{1} \cos x+C_{2} \sin x+x\sin x.

  1. Используя граничные условия, получаем систему для определения постоянных

{C1cos0+C2sin0+0sin0=0C1cosπ/2+C2sinπ/2+(π/2)sinπ/2=1\left\{\begin{array}{l} C_{1} \cos 0+C_{2} \sin 0+0\sin 0=0\\ C_{1} \cos \pi/2+C_{2} \sin \pi/2+\left(\pi/2\right)\sin \pi/2=1 \end{array}\right.

Решая данную систему, получим

{C1=0C2+π/2=1{C1=0C2=1π/2\left\{\begin{array}{l} C_{1}=0\\ C_{2}+\pi/2=1 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} C_{1}=0\\ C_{2}=1-{\pi}/{2} \end{array}\right.

  1. Подставляем найденные в предыдущем пункте значения констант в общее решение и получаем уравнение экстремали функционала JJ

y(x)=(x+1π2)sinx.y_*(x)=\left(x+1-\frac{\pi}{2}\right) \sin x.

Пример 2

Найти экстремали функционала

J[y]=021+y2ydx,J[y]=\int\limits_{0}^{2}\frac{\sqrt{1+y'^2}}{y}dx,

y(0)=0,y(2)=4.y(0)=0,\,\,y(2)=4.

Решение

1, 2. Подинтегральная функция L(x,y,y)=1+y2yL\left(x,y,y'\right)=\frac{\sqrt{1+y'^2}}{y} не зависит от переменной xx, поэтому уравнение Эйлера для данного функционала имеет первый интеграл

yy1+y2y1+y2y=C,y'\frac{\partial }{\partial y'}\frac{\sqrt{1+y'^2}}{y}-\frac{\sqrt{1+y'^2}}{y}=C,

где CC – некоторая постоянная.

Вычислив частную производную и выполнив элементарные преобразования, получим уравнение

y=C12y21y'=\sqrt{\frac{C_1^2}{y^2}-1},

где C1=1/CC_1=1/C.

Отсюда следует, что

dx=ydyC12y2.dx=\frac{yd y}{\sqrt{C_1^2-y^2}}.

Интегрируя, получим

x=ydyC12y2=12d(C12y2)C12y2=C12y2+C2.x=\int\frac{y d y}{\sqrt{C_1^2-y^2}}=-\frac{1}{2}\int\frac{d (C_1^2-y^2)}{\sqrt{C_1^2-y^2}}=-\sqrt{C_1^2-y^2}+C_2.

Таким образом, общее решение уравнения Эйлера

y(x)=C12(xC2)2.y(x)=\sqrt{C_1^2-(x-C_2)^2}.

  1. Используя граничные условия, получаем систему для определения постоянных

{0=C12(0C2)24=C12(2C2)2{C1=±C216=4C24{C1=±5C2=5\left\{\begin{array}{l} 0=\sqrt{C_1^2-(0-C_2)^2}\\ 4=\sqrt{C_1^2-(2-C_2)^2} \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} C_1=\pm C_2\\ 16=4C_2-4\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} C_1=\pm 5\\ C_2=5 \end{array}\right.

  1. Подставляем найденные в предыдущем пункте значения констант в общее решение и получаем уравнение экстремали функционала JJ

y(x)=10xx2.y_*(x)=\sqrt{10x-x^2}.

Экстремаль является дугой окружности радиуса 5 с центром в точке (5,0)(5,0).

Пример 3

Важно отметить, что существуют функционалы, у которых нет экстремалей, удовлетворяющих данным граничным условиям.

Найти экстремали функционала

J[y]=01(xy+y22y2y)dxJ[y]=\int\limits_{0}^{1}(xy+y^2-2y^2y')d x,

y(0)=y0,y(1)=y1.y(0)=y_0,\,\,y(1)=y_1.

Решение

Уравнение Эйлера для данного функционала имеет вид

ddxy(xy+y22y2y)=y(xy+y22y2y)\frac{d}{dx} \frac{\partial }{\partial y{'} } \left(xy+y^2-2y^2y'\right)=\frac{\partial }{\partial y} \left(xy+y^2-2y^2y'\right)

Вычислим производные:

y(xy+y22y2y)=x+2y4yy,y(xy+y22y2y)=2y2,\frac{\partial}{\partial y}\left(xy+y^2-2y^2y'\right)=x+2y-4yy',\quad\frac{\partial}{\partial y'}\left(xy+y^2-2y^2y'\right)=-2y^2,

ddxy(xy+y22y2y)=ddx(2y2)=4yy.\frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial y'}\left(xy+y^2-2y^2y'\right)=\frac{d}{dx}\left(-2y^2\right)=-4yy'.

Таким образом, уравнение Эйлера может быть записано как

x+2y4yy=4yyy=x2x+2y-4yy'=-4yy'\,\,\Leftrightarrow\,\, y=-\frac{x}{2}

и по сути не является дифференциальным.

Исходный функционал имеет только одну экстремаль y=x2y=-\frac{x}{2}. Поставленная задача имеет решение только если y0=0y_0=0 и y1=12y_1=-\frac{1}{2}.

Автор статьи
+1
-2
Комментарии
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Кто в России счастлив на работе

Кто в России счастлив на работе?
358 +21
3

Как защищать курсовую работу

О том, как преподнести себя публике и уберечь нервную систему (не только свою), представляя свое научное детище, – читайте в нашей статье.
132 +20
1

Антиплагиат: что это такое

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
3462 +17
0

Образование за рубежом: все ли так идеально?

Студенты за рубежом выступают против платного образования и поддельных дипломов.
20 +14
0
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ