327
13 Июл в 11:4513.07.2018 в 11:45

Основные типы матриц

Перед тем как перейти к рассмотрению основных типов матриц, встречающихся в математике, вспомним основные определения по теме «Что такое матрица»: понятие матрицы, какие два способа ее записи существуют, что такое размер матрицы, а также какие матрицы можно считать равными. Если вы уже знакомы с данными понятиями, перейдем к знакомству с основными типами матриц.

Типы матриц различают в зависимости от их размеров, а также значений их элементов.

Скаляр

Матрица, имеющая размер «один на один».

Как различать: состоит только из одного элемента.

Пример 1

F=(62)F=\begin{pmatrix}62\end{pmatrix}

Пример 2

P=(15)P=\begin{pmatrix}15\end{pmatrix}

Вектор-строка

Матрица, состоящая только из строки.

Как различать: состоит только из одной строки, столбцов может быть любое количество.

Пример 1
C=(13297163)C=\begin{pmatrix}13&29&71&63\end{pmatrix}

Пример 2

T=(161317311815)T=\begin{pmatrix}16&13&-17&31&-18&-15\end{pmatrix}

Вектор-столбец

Матрица, состоящая только из столбца.

Как различать: состоит только из одного столбца и любого количества строк.

Пример 1
Q=(1001391)Q=\begin{pmatrix}10\\0\\13\\91\end{pmatrix}

Пример 2

B=(1517191215)B=\begin{pmatrix}15\\-17\\19\\-12\\-15\end{pmatrix}

Прямоугольная матрица

Матрица с неодинаковым числом строк и столбцов.

Как различать: матрица, в которой число строк \neq числу столбцов, по форме напоминает геометрическую фигуру — прямоугольник.

Пример 1

M=(18151391713)M=\begin{pmatrix}-18&15&13\\9&17&13\end{pmatrix}

Пример 2

N=(21151413618)N=\begin{pmatrix}21&15\\14&13\\6&18\end{pmatrix}

Главная диагональ прямоугольной матрицы состоит из элементов aiia_{ii}, где i=1,2i=1,2, min{m,n}min\begin{Bmatrix}m,n\end{Bmatrix} и может выглядеть следующим образом:

M=(18151391713)M=\begin{pmatrix}\mathbf{-18}&15&13\\9&\mathbf{17}&13\end{pmatrix}

Квадратная матрица

Матрица с одинаковым числом строк и столбцов.

Как различать: число строк = числу столбцов.

Z=(z11z12z13...z1nz21z22z23...z2nz31z32z33...z3n...zn1zn2zn3...znn)Z=\begin{pmatrix}z_{11}&z_{12}&z_{13}&...&z_{1n}\\z_{21}&z_{22}&z_{23}&...&z_{2n}\\z_{31}&z_{32}&z_{33}&...&z_{3n}\\...\\z_{n1}&z_{n2}&z_{n3}&...&z_{nn}\end{pmatrix}

Пример 1

J=(112113431861178119)J=\begin{pmatrix}11&21&13\\43&18&61\\17&81&19\end{pmatrix}

Пример 2

K=(1410211017911631765431151541928)K=\begin{pmatrix}14&10&21&10\\17&91&16&31\\76&54&31&15\\15&4&19&28\end{pmatrix}

Главная диагональ квадратной матрицы образована последовательностью элементов, проходящих через воображаемый отрезок, соединяющий верхний левый и правый нижний углы.
Жирным шрифтом выделены главные диагонали матриц JJ и KK

J=(112113431861178119)J=\begin{pmatrix}\mathbf{11}&21&13\\43&\mathbf{18}&61\\17&81&\mathbf{19}\end{pmatrix},

K=(1410211017911631765431151541928)K=\begin{pmatrix}\mathbf{14}&10&21&10\\17&\mathbf{91}&16&31\\76&54&\mathbf{31}&15\\15&4&19&\mathbf{28}\end{pmatrix}.

Побочная диагональ квадратной матрицы образована последовательностью элементов, проходящих через воображаемый отрезок, соединяющий верхний правый и нижний левый углы.
Жирным шрифтом выделены побочные диагонали матриц JJ и KK

J=(112113431861178119)J=\begin{pmatrix}11&21&\mathbf{13}\\43&\mathbf{18}&61\\\mathbf{17}&81&19\end{pmatrix},

K=(1410211017911631765431151541928)K=\begin{pmatrix}14&10&21&\mathbf{10}\\17&91&\mathbf{16}&31\\76&\mathbf{54}&31&15\\\mathbf{15}&4&19&28\end{pmatrix}.

Квадратная матрица размера n×nn\times n называется матрицей n-го порядка.

Например, JJ — матрица 3-го порядка (поскольку имеет размер 3×33\times 3), KK — 4-го порядка (поскольку имеет размер 4×44\times 4).

Треугольная матрица

Квадратная матрица, в которой элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Виды треугольной матрицы

Нижнетреугольная Верхнетреугольная

Матрица, в которой нули расположены выше главной диагонали.

Как различать:

  • является квадратной матрицей;
  • элементы, стоящие выше главной диагонали — нули.


Пример 1

L=(370041540325748)L=\begin{pmatrix}37&0&0\\41&54&0\\32&57&48\end{pmatrix}

Пример 2

M=(59000712500933756085522213)M=\begin{pmatrix}59&0&0&0\\71&25&0&0\\93&37&56&0\\85&52&22&13\end{pmatrix}

Матрица, в которой нули расположены ниже главной диагонали.

Как различать:

  1. является квадратной матрицей;
  2. элементы, стоящие ниже главной диагонали — нули.


Пример 1

N=(581931014120067)N=\begin{pmatrix}58&19&31\\0&14&12\\0&0&67\end{pmatrix}

Пример 2

P=(13124639075839100243700096)P=\begin{pmatrix}13&12&46&39\\0&75&83&91\\0&0&24&37\\0&0&0&96\end{pmatrix}

Диагональная матрица

Квадратная матрица, все элементы которой равны нулю кроме элементов, стоящих на главной диагонали.

Как различать:

  • является квадратной матрицей;
  • элементы главной диагонали — произвольные числа, остальные элементы — нули.

Пример 1

Q=(610005500049)Q=\begin{pmatrix}61&0&0\\0&55&0\\0&0&49\end{pmatrix}

Пример 2

R=(350000064000007700000810000099)R=\begin{pmatrix}35&0&0&0&0\\0&64&0&0&0\\0&0&77&0&0\\0&0&0&81&0\\0&0&0&0&99\end{pmatrix}

Симметричная матрица

Квадратная матрица с симметричными относительно главной диагонали элементами.

Как различать:

  • является квадратной матрицей;
  • элементы симметричны относительно главной диагонали, т.е. для матрицы A=(a11a12a13...a1na21a22a23...a2n...............am1am2am3...amn):a2,1=a1,2,a3,1=a1,3,a3,2=a2,3,...A= \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&...&a_{2n}\\...&...&...&...&...\\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&...&a_{mn}\end{pmatrix}: a_{2,1}=a_{1,2}, a_{3,1}=a_{1,3}, a_{3,2}=a_{2,3}, ... .

Пример 1

S=(1504403723442369)S=\begin{pmatrix}15&0&44\\0&37&23\\44&23&69\end{pmatrix}

Пример 2

T=(412736412705879365824364179360)T=\begin{pmatrix}41&27&36&41\\27&0&58&79\\36&58&24&36\\41&79&36&0\end{pmatrix}

Кососимметрическая матрица

Квадратная матрица, в которой элементы симметричные относительно главной диагонали равны по модулю, но отличаются по знаку.

Как различать:

  • является квадратной матрицей;
  • элементы, симметричные относительно главной диагонали равны по модулю: a2,1=a1,2,a3,1=a1,3,a3,2=a2,3,...|a_{2,1}|=|a_{1,2}|, |a_{3,1}|=|a_{1,3}|, |a_{3,2}|=|a_{2,3}|, ... ;
  • элементы, симметричные относительно главной диагонали имеют разные знаки: a2,1=a1,2a_{2,1}=-a_{1,2} или a2,1=a1,2-a_{2,1}=a_{1,2} — это справедливо для всех симметричных элементов.

Пример 1

U=(097970)U=\begin{pmatrix}0&97\\-97&0\end{pmatrix}

Пример 2

V=(1535433506443643)V=\begin{pmatrix}15&-35&43\\35&0&-64\\-43&64&3\end{pmatrix}

Ступенчатая матрица (квазитреугольная)

Матрица произвольного размера, имеющая вид

Xm×n=(x11x12x13...x1r...x1n0x22x23...x2r...x2n00x33...x3r...x3n.....................000...xrr...xrn000...0...0.....................000...0...0),0<rmin{m,n}X_{m\times n}=\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}&x_{13}&...&x_{1r}&...&x_{1n}\\0&x_{22}&x_{23}&...&x_{2r}&...&x_{2n}\\0&0&x_{33}&...&x_{3r}&...&x_{3n}\\...&...&...&...&...&...&...\\0&0&0&...&x_{rr}&...&x_{rn}\\0&0&0&...&0&...&0\\...&...&...&...&...&...&...\\0&0&0&...&0&...&0\end{pmatrix}, 0<r\leqslant min\begin{Bmatrix}m,n\end{Bmatrix}

Как различать:

  • первый элемент первой строки отличен от нуля: a1,10a_{1,1}\neq 0;
  • ненулевая строка — строка, содержащая хотя бы один ненулевой элемент. Она состоит из первой части — нулей и второй части — ненулевых элементов (произвольных чисел);
  • из двух ненулевых строк ниже та, у которой больше нулей в первой части, содержащей нули;
  • строки, состоящие только из нулей, могут располагаться после ненулевых строк, однако их наличие необязательно.

Пример 1

W=(112132140157119001211)W=\begin{pmatrix}11&21&32&14\\0&15&71&19\\0&0&12&11\end{pmatrix}
Пример 2

Z=(161917016410018)Z=\begin{pmatrix}16&19&17\\0&-16&41\\0&0&18\end{pmatrix}

Отдельного рассмотрения требуют единичная, нулевая и транспонированная матрицы.

Автор статьи
+1
-0
Комментарии
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Как составить резюме молодому специалисту

Что написать в резюме, если вы только окончили вуз и у вас нет опыта?
51 +39
0

Кто в России счастлив на работе

Кто в России счастлив на работе?
435 +27
4

Антиплагиат: что это такое

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
3538 +26
0

Как защищать курсовую работу

О том, как преподнести себя публике и уберечь нервную систему (не только свою), представляя свое научное детище, – читайте в нашей статье.
200 +25
1
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ