997
6 Июл 2018 в 02:2506.07.2018 в 02:25

Площадь поверхности конуса

Содержание

Введите длину образующей и радиус:
Определение конуса

Конус — это совокупность всех лучей, которые исходят из какой-либо точки пространства и пересекают плоскую поверхность.

Онлайн-калькулятор

Точка, которая является началом этих лучей, называется вершиной конуса. В случае когда в основании конуса лежит многоугольник, конус превращается в пирамиду.

Конус состоит из некоторых элементов, знать которые необходимо для решения задач.

Образующая — отрезок, соединяющий точку, лежащую на окружности круга, который является основанием, и вершину конуса.
Высота — расстояние от плоскости основания до точки вершины конуса.

Виды конуса

Конус может быть нескольких видов:

Прямым, если его основанием является эллипс или круг. Причем вершина должна точно проектироваться в центр основания.
Косым — это тот случай, когда центр фигуры, лежащей в основании, не совпадает с проекцией вершины на это основание.
Круговым — соответственно, если основание — круг.
Усеченным — область конуса, которая будет лежать между основанием и сечением плоскости, параллельной основанию и пересекающей этот конус.

Формула площади поверхности конуса

Для нахождения полной площади поверхности конуса нужно найти сумму площади основания (или оснований, если конус усеченный) конуса и площади его боковой поверхности:

S=Sосн+SбокS=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}

SоснS_{\text{осн}} — площадь основания (оснований) конуса;

SбокS_{\text{бок}} — площадь боковой поверхности конуса.

Рассмотрим примеры нахождения площади поверхности обычного прямого кругового конуса, а также усеченного этого же конуса.

Формула площади поверхности кругового конуса

Sосн=πr2S_{\text{осн}}=\pi\cdot r^2
Sбок=πrlS_{\text{бок}}=\pi\cdot r\cdot l

rr — радиус круга (основания) кругового конуса;
ll — длина образующей этого конуса.

Пример
найти площадь конуса

Найти площадь поверхности кругового конуса, если радиус основания равен 3 (см.), а высота hh треугольника, путем вращения которого образовался данный конус, равна 4 (см.)

Решение

r=3r=3
h=4h=4

Образующую можно найти, если рассмотреть треугольник, катетами которого являются радиус и высота, а гипотенузой - сама образующая ll. По теореме Пифагора имеем:

l2=r2+h2l^2=r^2+h^2
l2=32+42l^2=3^2+4^2
l2=25l^2=25
l=5l=5

Вычислим площадь основания конуса:

Sосн=πr2=π3228.26S_{\text{осн}}=\pi\cdot r^2=\pi\cdot 3^2\approx28.26 (см. кв.)

Площадь боковой поверхности:

Sбок=πrl=π3547.10S_{\text{бок}}=\pi\cdot r\cdot l=\pi\cdot 3\cdot 5\approx47.10 (см. кв.)

Полная площадь

S=Sосн+Sбок28.26+47.10=75.36S=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}\approx28.26+47.10=75.36 (см. кв.)

Ответ: 75.36 см. кв.

Формула площади поверхности усеченного кругового конуса

Для усеченного кругового конуса площадь боковой поверхности можно найти по формуле:

Sбок=πl(r+r)S_{\text{бок}}=\pi\cdot l\cdot (r+r')

ll — длина образующей конуса;
rr — радиус основания;
rr' — радиус круга, получаемый при усечении кругового конуса.

Пример
площадь конуса  радиус второго основания

Условие возьмем из предыдущей задачи, добавив к нему только лишь радиус второго основания rr'. Пусть он будет равен 2 (см.). Требуется вычислить полную площадь поверхности этого усеченного конуса.

Решение

l=5l=5
r=3r=3
r=2r'=2

Оснований у нас теперь два, поэтому полная площадь оснований будет равна сумме площадей этих оснований с радиусами rr и rr':

Sосн=Sосн r+Sосн r’S_{\text{осн}}=S_{\text{осн r}}+S_{\text{осн r'}}

Площадь основания радиуса rr:

Sосн r=πr2=π3228.26S_{\text{осн r}}=\pi\cdot r^2=\pi\cdot 3^2\approx28.26 (см. кв.)

Площадь основания радиуса rr':

Sосн r’=πr2=π2212.56S_{\text{осн r'}}=\pi\cdot r'^2=\pi\cdot 2^2\approx12.56 (см. кв.)

Площадь боковой поверхности:

Sбок=πl(r+r)=π5(3+2)78.50S_{\text{бок}}=\pi\cdot l\cdot (r+r')=\pi\cdot 5\cdot (3+2)\approx78.50 (см. кв.)

Полная площадь:

S=Sосн+Sбок=Sосн r+Sосн r’+Sбок28.26+12.56+78.50=119,32S=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}=S_{\text{осн r}}+S_{\text{осн r'}}+S_{\text{бок}}\approx28.26+12.56+78.50=119,32 (см. кв.)

Ответ: 119,32 см. кв.

+0
-0
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
4024 +18
2
Пишем научную статью в вузе. С чего начать и на что обратить внимание?
183 +14
0
Подборка бесплатных приложений для обработки фотографий.
207 +12
0
Можно ли сдать экзамены раньше срока?
1732 +10
1
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ