Площадь поверхности конуса

Содержание

Тест: 3 вопроса
1. Образующая конуса равна 5 см, а его высота - 4 см. Вычислите площадь боковой поверхности конуса, считать π≈3.
72
75
79
2. Образующая конуса равна 4, радиус основания равен 2, π≈3. Чему равна площадь боковой поверхности конуса?
24
36
48
3. Развертка боковой поверхности конуса представляет собой….
конус
дугу
круговой сектор
основание конуса
Введите длину образующей и радиус:
Определение конуса

Конус — это совокупность всех лучей, которые исходят из какой-либо точки пространства и пересекают плоскую поверхность.

Онлайн-калькулятор

Точка, которая является началом этих лучей, называется вершиной конуса. В случае когда в основании конуса лежит многоугольник, конус превращается в пирамиду.

Конус состоит из некоторых элементов, знать которые необходимо для решения задач.

Образующая — отрезок, соединяющий точку, лежащую на окружности круга, который является основанием, и вершину конуса.
Высота — расстояние от плоскости основания до точки вершины конуса.

Виды конуса

Конус может быть нескольких видов:

Прямым, если его основанием является эллипс или круг. Причем вершина должна точно проектироваться в центр основания.
Косым — это тот случай, когда центр фигуры, лежащей в основании, не совпадает с проекцией вершины на это основание.
Круговым — соответственно, если основание — круг.
Усеченным — область конуса, которая будет лежать между основанием и сечением плоскости, параллельной основанию и пересекающей этот конус.

Формула площади поверхности конуса

Для нахождения полной площади поверхности конуса нужно найти сумму площади основания (или оснований, если конус усеченный) конуса и площади его боковой поверхности:

S=Sосн+SбокS=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}

SоснS_{\text{осн}} — площадь основания (оснований) конуса;

SбокS_{\text{бок}} — площадь боковой поверхности конуса.

Рассмотрим примеры нахождения площади поверхности обычного прямого кругового конуса, а также усеченного этого же конуса.

Формула площади поверхности кругового конуса

Sосн=πr2S_{\text{осн}}=\pi\cdot r^2
Sбок=πrlS_{\text{бок}}=\pi\cdot r\cdot l

rr — радиус круга (основания) кругового конуса;
ll — длина образующей этого конуса.

Пример
найти площадь конуса

Найти площадь поверхности кругового конуса, если радиус основания равен 3 (см.), а высота hh треугольника, путем вращения которого образовался данный конус, равна 4 (см.)

Решение

r=3r=3
h=4h=4

Образующую можно найти, если рассмотреть треугольник, катетами которого являются радиус и высота, а гипотенузой - сама образующая ll. По теореме Пифагора имеем:

l2=r2+h2l^2=r^2+h^2
l2=32+42l^2=3^2+4^2
l2=25l^2=25
l=5l=5

Вычислим площадь основания конуса:

Sосн=πr2=π3228.26S_{\text{осн}}=\pi\cdot r^2=\pi\cdot 3^2\approx28.26 (см. кв.)

Площадь боковой поверхности:

Sбок=πrl=π3547.10S_{\text{бок}}=\pi\cdot r\cdot l=\pi\cdot 3\cdot 5\approx47.10 (см. кв.)

Полная площадь

S=Sосн+Sбок28.26+47.10=75.36S=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}\approx28.26+47.10=75.36 (см. кв.)

Ответ: 75.36 см. кв.

Формула площади поверхности усеченного кругового конуса

Для усеченного кругового конуса площадь боковой поверхности можно найти по формуле:

Sбок=πl(r+r)S_{\text{бок}}=\pi\cdot l\cdot (r+r')

ll — длина образующей конуса;
rr — радиус основания;
rr' — радиус круга, получаемый при усечении кругового конуса.

Пример
площадь конуса  радиус второго основания

Условие возьмем из предыдущей задачи, добавив к нему только лишь радиус второго основания rr'. Пусть он будет равен 2 (см.). Требуется вычислить полную площадь поверхности этого усеченного конуса.

Решение

l=5l=5
r=3r=3
r=2r'=2

Оснований у нас теперь два, поэтому полная площадь оснований будет равна сумме площадей этих оснований с радиусами rr и rr':

Sосн=Sосн r+Sосн r’S_{\text{осн}}=S_{\text{осн r}}+S_{\text{осн r'}}

Площадь основания радиуса rr:

Sосн r=πr2=π3228.26S_{\text{осн r}}=\pi\cdot r^2=\pi\cdot 3^2\approx28.26 (см. кв.)

Площадь основания радиуса rr':

Sосн r’=πr2=π2212.56S_{\text{осн r'}}=\pi\cdot r'^2=\pi\cdot 2^2\approx12.56 (см. кв.)

Площадь боковой поверхности:

Sбок=πl(r+r)=π5(3+2)78.50S_{\text{бок}}=\pi\cdot l\cdot (r+r')=\pi\cdot 5\cdot (3+2)\approx78.50 (см. кв.)

Полная площадь:

S=Sосн+Sбок=Sосн r+Sосн r’+Sбок28.26+12.56+78.50=119,32S=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}=S_{\text{осн r}}+S_{\text{осн r'}}+S_{\text{бок}}\approx28.26+12.56+78.50=119,32 (см. кв.)

Ответ: 119,32 см. кв.

Тест по теме «Площадь поверхности конуса»

6 Июл 2018 в 02:25
10 908
+3
-0
Комментарии
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Предыдущая статья
Площадь поверхности шара
Следующая статья
Площадь поверхности тора
Напишем уникальную работу
Скидка 10%
Поможем написать учебную работу
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 34 799 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Показать ещё
Показать ещё
Отвечай на вопросы, зарабатывай баллы и трать их на призы.
Подробнее
Прямой эфир