925
4 Июл 2018 в 18:2504.07.2018 в 18:25

Площадь поверхности куба

Содержание

Введите длину стороны куба:
Определение куба

Куб (или гексаэдр) — это правильный многогранник, который состоит из многоугольников, являющихся квадратами.

Онлайн-калькулятор

площадь треугольника

У куба есть двенадцать ребер, то есть, отрезков, которые являются сторонами квадратов.
Также он имеет восемь вершин и шесть граней.
У куба есть диагональ, соединяющая противоположные вершины.

Формула площади поверхности куба

Площадь поверхности куба – это сумма площадей всех его граней:

S=S1+S2+S3+S4+S5+S6S=S_1+S_2+S_3+S_4+S_5+S_6

Площадь каждой грани одинакова, то есть:

S1=S2=S3=S4=S5=S6=SS_1=S_2=S_3=S_4=S_5=S_6=S'

SS' — площадь любой грани куба.

Тогда полная площадь поверхности куба запишется как:

S=6SS=6\cdot S'

Рассмотрим на примерах разные способы вычисления полной площади поверхности куба.

Формула площади поверхности куба по длине ребра куба

Площадь каждой грани куба вычисляется как площадь квадрата, со стороной ребра куба по формуле:

S=aa=a2S'=a\cdot a=a^2

aa — сторона куба.

Отсюда, окончательно площадь поверхности куба:

S=6a2S=6\cdot a^2

aa — длина стороны куба.

Пример

Найти площадь поверхности куба, если длина его ребра равна 12 (см.).

Решение

a=12a=12

S=6a2=6122=6144=864S=6\cdot a^2=6\cdot 12^2=6\cdot 144=864 (см. кв.)

Ответ: 864 см. кв.

Формула площади поверхности куба по диагонали куба

По теореме Пифагора, диагональ куба связанна с длиной его ребра по формуле:

d2=a2+a2+a2d^2=a^2+a^2+a^2
d2=3a2d^2=3\cdot a^2
d=3ad=\sqrt{3}\cdot a

Отсюда:

a=d3a=\frac{d}{\sqrt{3}}

Подставим в формулу для площади:

S=6a2=6(d3)2=2d2S=6\cdot a^2=6\cdot\Big(\frac{d}{\sqrt{3}}\Big)^2=2\cdot d^2

S=2d2S=2\cdot d^2

dd — диагональ куба.

Пример

Одна четвертая часть диагонали куба равна 2 (см.). Найти площадь поверхности куба.

Решение

14d=2\frac{1}{4}\cdot d=2

Найдем диагональ:

d=42=8d=4\cdot 2=8

Площадь:

S=2d2=282=264=128S=2\cdot d^2=2\cdot 8^2=2\cdot 64=128 (см. кв.)

Ответ: 128 см. кв.

Формула площади поверхности куба по длине диагонали квадрата (грани куба)

По теореме Пифагора, диагональ квадрата ll связанна с его стороной aa:

l2=a2+a2l^2=a^2+a^2
l2=2a2l^2=2\cdot a^2
l=2al=\sqrt{2}\cdot a

Тогда сторона квадрата:

a=l2a=\frac{l}{\sqrt{2}}

Подставляем в формулу для площади и получаем:

S=6a2=3l2S=6\cdot a^2=3\cdot l^2

S=3l2S=3\cdot l^2

ll — диагональ квадрата (грани куба).

Пример

Одна четвертая часть диагонали квадрата равна 1 (см). Найти площадь поверхности куба, образованного данным четырехугольником.

Решение

14l=1\frac{1}{4}\cdot l=1

Найдем диагональ квадрата:

l=41=4l=4\cdot 1=4

Тогда площадь:

S=3l2=342=48S=3\cdot l^2=3\cdot 4^2=48 (см. кв.)

Ответ: 48 см. кв.

Разберем более сложные примеры.

Формула площади поверхности куба по площади вписанного в куб шара

В куб вписан шар площади SшарS_{\text{шар}}. Тогда радиус RR этого шара равен половине длины стороны куба aa:

R=a2R=\frac{a}{2}

Площадь шара дается формулой:

Sшар=4πR2S_{\text{шар}}=4\cdot\pi\cdot R^2

Отсюда найдем радиус шара:

R=Sшар4πR=\sqrt{\frac{S_{\text{шар}}}{4\cdot\pi}}

Сторона грани куба:

a=2R=2Sшар4πa=2\cdot R=2\cdot\sqrt{\frac{S_{\text{шар}}}{4\cdot\pi}}

Наконец площадь поверхности куба:

S=6a2=6SшарπS=6\cdot a^2=\frac{6\cdot S_{\text{шар}}}{\pi}

S=6SшарπS=\frac{6\cdot S_{\text{шар}}}{\pi}

SшарS_{\text{шар}} — площадь шара, вписанного в куб.

Пример

В куб вписан шар, площадь которого равна 64 “пи” (см. кв.). Найти полную площадь поверхности куба.

Решение

Sшар=64πS_{\text{шар}}=64\pi

По формуле:

S=6Sшарπ=664ππ=384S=\frac{6\cdot S_{\text{шар}}}{\pi}=\frac{6\cdot 64\cdot\pi}{\pi}=384 (см. кв.)

Ответ: 384 см. кв.

+0
-0
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Как их избежать и на что обратить особое внимание?
378 +96
0
Список самых необычных предложений современного рынка труда.
423 +48
0
Как же справиться с чувством неутихающего волнения перед таким важным делом?
388 +25
0
Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
4940 +25
5
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ