462
6 Июл 2018 в 14:5406.07.2018 в 14:54

Площадь поверхности тора

Содержание

Введите радиусы RR и rr:
Определение тора

Тором или тороидом называют тело, которое получается путем вращения окружности вокруг оси, не находящейся на этой окружности.

Онлайн-калькулятор

Открытый тор по виду напоминает бублик. Также тор может быть закрытым, но только в том случае, когда ось его вращения касается окружности, которой он был получен.

Тор можно задать параметрическими уравнениями:

x(φ,ψ)=(R+rcosφ)cosψx(\varphi, \psi)=(R+r\cos\varphi)\cos\psi
y(φ,ψ)=(R+rcosφ)sinψy(\varphi, \psi)=(R+r\cos\varphi)\sin\psi
z(φ,ψ)=rsinφz(\varphi, \psi)=r\sin\varphi

Угол φ\varphi лежит в полуинтервале от 00 до 2π2\pi: φ[0,2π)\varphi\in[0, 2\pi)
Угол ψ\psi лежит в полуинтервале от π-\pi до π\pi: ψ[π,π)\psi\in[-\pi, \pi)

rr — радиус окружности, образующей тор при вращении;
RR — расстояние от центра образующей окружности до оси вращения тора.

Займемся задачей вычисления площади поверхности тора.

Формула площади поверхности тора по радиусам

S=4π2RrS=4\cdot\pi^2\cdot R\cdot r

RR — расстояние от центра образующей окружности до оси вращения;
rr — радиус образующей окружности.

Пример

Один из радиусов тора равен 5 (см.) (расстояние от центра образующей окружности до центра вращения тора), а длина ll образующей окружности равна 8π8\pi (см.). Найдите площадь поверхности тора.

Решение

R=5R=5
l=8πl=8\pi

Найдем радиус образующей окружности:

l=2πrl=2\cdot\pi\cdot r
8π=2πr8\pi=2\cdot\pi\cdot r
r=4r=4

Тогда площадь поверхности тора:

S=4π2Rr=4π254789S=4\cdot\pi^2\cdot R\cdot r=4\cdot\pi^2\cdot 5\cdot 4\approx789 (см. кв.)

Ответ: 789 см. кв.

Формула площади поверхности тора по диаметрам

Эту формулу легко получить, если вспомнить, что диаметр равен удвоенному радиусу.

S=π2DdS=\pi^2\cdot D\cdot d

DD — удвоенное расстояние от центра образующей окружности до оси вращения;
dd — диаметр образующей окружности.

Пример

Один из радиусов тора (расстояние от центра его вращения до центра образующей окружности) входит в круг, площадь SS которого равна 64π64\pi (см. кв.). Радиус образующей окружности равен 7 (см.). Найти полную площадь тора.

Решение

S=64πS=64\pi
r=7r=7

Найдем радиус R:

S=πR2S=\pi\cdot R^2
64π=πR264\pi=\pi\cdot R^2
64=R264=R^2
R=8R=8

Найдем диаметры:

D=2R=28=16D=2\cdot R=2\cdot 8=16
d=2r=27=14d=2\cdot r=2\cdot 7=14

Тогда площадь тора:

S=π2Dd=π216142209S=\pi^2\cdot D\cdot d=\pi^2\cdot 16\cdot 14\approx2209 (см. кв.)

Ответ: 2209 см. кв.

+0
-0
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
4024 +18
2
Пишем научную статью в вузе. С чего начать и на что обратить внимание?
183 +14
0
Подборка бесплатных приложений для обработки фотографий.
207 +12
0
Можно ли сдать экзамены раньше срока?
1732 +10
1
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ