4202
2 Июл 2018 в 22:2902.07.2018 в 22:29

Площадь трапеции

Содержание

Введите длины сторон трапеции и высоту:
Определение трапеции

Трапеция — это четырехугольник, в котором две противоположные стороны параллельны.

Онлайн-калькулятор

Введем некоторые понятия, которые в дальнейшем помогут решить задачи, связанные с нахождением площади данной фигуры.

Основания трапеции — это стороны, параллельные друг другу.

Боковые стороны — соответственно, две оставшиеся стороны.

Средняя линия — отрезок, который соединяет центры боковых сторон. Эта линия всегда параллельна основаниям трапеции.

Виды трапеций

Трапеция бывает трех видов:

  1. Равнобедренная – та, у которой боковые стороны равны.
  2. Прямоугольная, у которой два углы прямые, т. е. равны 90 градусам.
  3. Произвольная, которая не относится к двум вышеописанным категориям.

Площадь трапеции можно найти различными способами. Разберем их более подробно и закрепим материал решением простых задач.

Формула площади трапеции по основанию и высоте

Пусть нам дана произвольная трапеция. Чтобы найти ее площадь, воспользуемся следующей формулой:

S=a+b2hS=\frac{a+b}{2}\cdot h

a,ba, b — основания трапеции;
hh — высота трапеции.

Пример
площадь трапеции

Найти площадь SS трапеции, в которой известны основания, численно равные 10 (см.) и 8 (см.) и высота, длиной 6 (см.).

Решение

a=8a=8
b=10b=10
h=6h=6

Сразу подставляем числа в имеющуюся у нас формулу и вычисляем искомую величину:
S=a+b2h=8+1026=54S=\frac{a+b}{2}\cdot h=\frac{8+10}{2}\cdot 6=54 (см. кв.)

Ответ: 54 см. кв.

Формула площади трапеции по основанию и средней линии

Нужно упомянуть, что средняя линия трапеции равна половине суммы ее оснований. Тем самым, способ нахождения площади через среднюю линию есть не что иное, как способ, аналогичный первому. Поскольку:

l=a+b2,l=\frac{a+b}{2},

то:

S=lhS=l\cdot h

ll — средняя линия трапеции;
hh — высота.

Пример
площадь трапеции по основанию и средней линии

Найти площадь трапеции, если известно, что средняя линия равна 5 (см.), а высота трапеции в 2 раза больше её.

Решение

l=5l=5
h=2lh=2\cdot l

Найдем высоту трапеции:
h=25=10h=2\cdot 5=10
Площадь:
S=lh=510=50S=l\cdot h=5\cdot 10=50 (см. кв.)

Ответ: 50 см. кв.

Формула площади трапеции по всем сторонам

Данный способ подходит для тех случаев, когда в задаче известны все 4 стороны нашей трапеции.

S=a+b2c2((ba)2+c2d22(ba))2S=\frac{a+b}{2}\sqrt{c^2-\big(\frac{(b-a)^2+c^2-d^2}{2\cdot(b-a)}\big)^2}

Пример
площадь трапеции по всем сторона

Даны длины всех сторон трапеции. Основания равны 10 (см.) и 5 (см.), боковые стороны: 4 (см.) и 3 (см.). Найти площадь фигуры.

Решение

a=5a=5
b=10b=10
c=4c=4
d=3d=3

Тогда:
S=a+b2c2((ba)2+c2d22(ba))2=15216(25+16910)2=18S=\frac{a+b}{2}\sqrt{c^2-\big(\frac{(b-a)^2+c^2-d^2}{2\cdot(b-a)}\big)^2}=\frac{15}{2}\sqrt{16-\big(\frac{25+16-9}{10}\big)^2}=18 (см. кв.)

Ответ: 18 см. кв.

Формула площади трапеции через диагонали и угол между ними

S=12d1d2sin(α)S=\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2\cdot\sin(\alpha)

d1,d2d_1, d_2 — диагонали трапеции;
α\alpha — угол между диагоналями.

Пример
площадь трапеции через диагонали и угол между ними

Пусть две диагонали трапеции равны 20 (см.) и 7 (см.) и при пересечении они образуют угол 30 градусов. Найти площадь трапеции SS.

Решение

d1=20d_1=20
d2=7d_2=7
α=30\alpha=30^{\circ}

Площадь:
S=12d1d2sin(α)=12207sin(30)=35S=\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2\cdot\sin(\alpha)=\frac{1}{2}\cdot20\cdot 7\cdot\sin(30^{\circ})=35 (см. кв.)

Ответ: 35 см. кв.

Формула площади трапеции через радиус вписанной окружности и угол

Этот случай подходит только для равнобедренной трапеции.

S=4r2sin(α)S=\frac{4\cdot r^2}{\sin(\alpha)}

rr — радиус вписанной окружности;
α\alpha — угол между основанием и боковой стороной.

Пример
площадь трапеции через диагонали и угол между ними

Дан радиус вписанной окружности в трапецию, равный 4 (см.). Угол α\alpha равный 90 градусам. Найти площадь трапеции.

Решение

r=4r=4
α=90\alpha=90^{\circ}

По формуле:
S=4r2sin(α)=416=64S=\frac{4\cdot r^2}{\sin(\alpha)}=4\cdot 16=64 (см. кв.)

Ответ: 64 см. кв.

+0
-0
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
4024 +18
2
Пишем научную статью в вузе. С чего начать и на что обратить внимание?
183 +14
0
Подборка бесплатных приложений для обработки фотографий.
207 +12
0
Можно ли сдать экзамены раньше срока?
1732 +10
1
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ