Содержание

Тест: 3 вопроса
1. Как разделить трапецию на две равновеликие части одной прямой, пересекающей основание?
провести прямую через середины оснований.
провести диагональ.
опустить высоту из вершины одного основания на другое.
2. Может ли диагональ трапеции разделить ее на два равновеликих треугольника?
может
не может
3. Площадь трапеции равна ...
произведению полусуммы длин ее оснований на высоту.
произведению длин ее оснований.
произведению суммы длин ее оснований на высоту.
произведению длин ее оснований на высоту.
половине произведения длины большего основания на высоту, проведенную к ней.
Введите длины сторон трапеции и высоту:
Определение трапеции

Трапеция — это четырехугольник, в котором две противоположные стороны параллельны.

Онлайн-калькулятор

Введем некоторые понятия, которые в дальнейшем помогут решить задачи, связанные с нахождением площади данной фигуры.

Основания трапеции — это стороны, параллельные друг другу.

Боковые стороны — соответственно, две оставшиеся стороны.

Средняя линия — отрезок, который соединяет центры боковых сторон. Эта линия всегда параллельна основаниям трапеции.

Виды трапеций

Трапеция бывает трех видов:

  1. Равнобедренная – та, у которой боковые стороны равны.
  2. Прямоугольная, у которой два углы прямые, т. е. равны 90 градусам.
  3. Произвольная, которая не относится к двум вышеописанным категориям.

Площадь трапеции можно найти различными способами. Разберем их более подробно и закрепим материал решением простых задач.

Формула площади трапеции по основанию и высоте

Пусть нам дана произвольная трапеция. Чтобы найти ее площадь, воспользуемся следующей формулой:

S=a+b2hS=\frac{a+b}{2}\cdot h

a,ba, b — основания трапеции;
hh — высота трапеции.

Пример
площадь трапеции

Найти площадь SS трапеции, в которой известны основания, численно равные 10 (см.) и 8 (см.) и высота, длиной 6 (см.).

Решение

a=8a=8
b=10b=10
h=6h=6

Сразу подставляем числа в имеющуюся у нас формулу и вычисляем искомую величину:
S=a+b2h=8+1026=54S=\frac{a+b}{2}\cdot h=\frac{8+10}{2}\cdot 6=54 (см. кв.)

Ответ: 54 см. кв.

Формула площади трапеции по основанию и средней линии

Нужно упомянуть, что средняя линия трапеции равна половине суммы ее оснований. Тем самым, способ нахождения площади через среднюю линию есть не что иное, как способ, аналогичный первому. Поскольку:

l=a+b2,l=\frac{a+b}{2},

то:

S=lhS=l\cdot h

ll — средняя линия трапеции;
hh — высота.

Пример
площадь трапеции по основанию и средней линии

Найти площадь трапеции, если известно, что средняя линия равна 5 (см.), а высота трапеции в 2 раза больше её.

Решение

l=5l=5
h=2lh=2\cdot l

Найдем высоту трапеции:
h=25=10h=2\cdot 5=10
Площадь:
S=lh=510=50S=l\cdot h=5\cdot 10=50 (см. кв.)

Ответ: 50 см. кв.

Формула площади трапеции по всем сторонам

Данный способ подходит для тех случаев, когда в задаче известны все 4 стороны нашей трапеции.

S=a+b2c2((ba)2+c2d22(ba))2S=\frac{a+b}{2}\sqrt{c^2-\big(\frac{(b-a)^2+c^2-d^2}{2\cdot(b-a)}\big)^2}

Пример
площадь трапеции по всем сторона

Даны длины всех сторон трапеции. Основания равны 10 (см.) и 5 (см.), боковые стороны: 4 (см.) и 3 (см.). Найти площадь фигуры.

Решение

a=5a=5
b=10b=10
c=4c=4
d=3d=3

Тогда:
S=a+b2c2((ba)2+c2d22(ba))2=15216(25+16910)2=18S=\frac{a+b}{2}\sqrt{c^2-\big(\frac{(b-a)^2+c^2-d^2}{2\cdot(b-a)}\big)^2}=\frac{15}{2}\sqrt{16-\big(\frac{25+16-9}{10}\big)^2}=18 (см. кв.)

Ответ: 18 см. кв.

Формула площади трапеции через диагонали и угол между ними

S=12d1d2sin(α)S=\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2\cdot\sin(\alpha)

d1,d2d_1, d_2 — диагонали трапеции;
α\alpha — угол между диагоналями.

Пример
площадь трапеции через диагонали и угол между ними

Пусть две диагонали трапеции равны 20 (см.) и 7 (см.) и при пересечении они образуют угол 30 градусов. Найти площадь трапеции SS.

Решение

d1=20d_1=20
d2=7d_2=7
α=30\alpha=30^{\circ}

Площадь:
S=12d1d2sin(α)=12207sin(30)=35S=\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2\cdot\sin(\alpha)=\frac{1}{2}\cdot20\cdot 7\cdot\sin(30^{\circ})=35 (см. кв.)

Ответ: 35 см. кв.

Формула площади трапеции через радиус вписанной окружности и угол

Этот случай подходит только для равнобедренной трапеции.

S=4r2sin(α)S=\frac{4\cdot r^2}{\sin(\alpha)}

rr — радиус вписанной окружности;
α\alpha — угол между основанием и боковой стороной.

Пример
площадь трапеции через диагонали и угол между ними

Дан радиус вписанной окружности в трапецию, равный 4 (см.). Угол α\alpha равный 90 градусам. Найти площадь трапеции.

Решение

r=4r=4
α=90\alpha=90^{\circ}

По формуле:
S=4r2sin(α)=416=64S=\frac{4\cdot r^2}{\sin(\alpha)}=4\cdot 16=64 (см. кв.)

Ответ: 64 см. кв.

Тест по теме «Площадь трапеции»

2 Июл 2018 в 22:29
28 362
+7
-0
Комментарии
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Предыдущая статья
Площадь параллелограмма
Следующая статья
Площадь ромба
Напишем уникальную работу
Скидка 10%
Поможем написать учебную работу
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 34 793 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Показать ещё
Показать ещё
Отвечай на вопросы, зарабатывай баллы и трать их на призы.
Подробнее
Прямой эфир