509
10 Авг в 14:3910.08.2018 в 14:39

Понижение порядка матрицы

Ранее мы рассматривали различные методы вычисления определителей высших порядков, одним из которых является метод понижения порядка определителя. Остановимся на нем более подробно.
Перед изучением данной темы рекомендуется повторить свойства определителей.

Необходимо помнить, что определитель 1-го порядка — это число.

Вычисление определителя по данному методу сводится к следующим действиям:

  1. В некоторой строке (или столбце) при помощи свойств определителей делаем все элементы кроме одного равными нулю.
  2. Раскладываем определитель по элементам этой строки (или столбца). В результате чего получаем определитель меньшего порядка.
  3. В случае если порядок полученного определителя больше единицы, то действия №1 и №2 повторяем. В противном случае вычисления заканчиваются.

Рассмотрим примеры вычисления определителя методом понижения порядка.

Пример 1

Найти определитель 2111131132231111\begin{vmatrix}2&-1&1&-1\\1&3&-1&-1\\3&-2&2&-3\\1&1&-1&1\end{vmatrix}.

Прибавим к строке №1 строку №4, умноженную на -2:

2111131132231111=0333131132231111\begin{vmatrix}2&-1&1&-1\\1&3&-1&-1\\3&-2&2&-3\\1&1&-1&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&-3&3&-3\\1&3&-1&-1\\3&-2&2&-3\\1&1&-1&1\end{vmatrix}.

Прибавим к строке №2 строку №4, умноженную на -1:

0333131132231111=0333020232231111\begin{vmatrix}0&-3&3&-3\\1&3&-1&-1\\3&-2&2&-3\\1&1&-1&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&-3&3&-3\\0&2&0&-2\\3&-2&2&-3\\1&1&-1&1\end{vmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №4, умноженную на -3:

0333020232231111=0333020205561111\begin{vmatrix}0&-3&3&-3\\0&2&0&-2\\3&-2&2&-3\\1&1&-1&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&-3&3&-3\\0&2&0&-2\\0&-5&5&-6\\1&1&-1&1\end{vmatrix}.

Разложим определитель по столбцу №1:

0333020205561111=1(1)4+1333202556=1(1)5333202556=333202556\begin{vmatrix}0&-3&3&-3\\0&2&0&-2\\0&-5&5&-6\\1&1&-1&1\end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{4+1}\begin{vmatrix}-3&3&-3\\2&0&-2\\-5&5&-6\end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{5}\begin{vmatrix}-3&3&-3\\2&0&-2\\-5&5&-6\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}-3&3&-3\\2&0&-2\\-5&5&-6\end{vmatrix}.

Вынесем из строки №1 множитель 3:

333202556=3111202556-\begin{vmatrix}-3&3&-3\\2&0&-2\\-5&5&-6\end{vmatrix}=-3\begin{vmatrix}-1&1&-1\\2&0&-2\\-5&5&-6\end{vmatrix}.

Вынесем из строки №2 множитель 2:

3111202556=32111101556=6111101556-3\begin{vmatrix}-1&1&-1\\2&0&-2\\-5&5&-6\end{vmatrix}=-3\cdot2\begin{vmatrix}-1&1&-1\\1&0&-1\\-5&5&-6\end{vmatrix}=-6\begin{vmatrix}-1&1&-1\\1&0&-1\\-5&5&-6\end{vmatrix}.

Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на 1:

6111101556=6012101556-6\begin{vmatrix}-1&1&-1\\1&0&-1\\-5&5&-6\end{vmatrix}=-6\begin{vmatrix}0&1&-2\\1&0&-1\\-5&5&-6\end{vmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №2, умноженную на 5:

6012101556=60121010511-6\begin{vmatrix}0&1&-2\\1&0&-1\\-5&5&-6\end{vmatrix}=-6\begin{vmatrix}0&1&-2\\1&0&-1\\0&5&-11\end{vmatrix}.

Разложим определитель по столбцу №1:

60121010511=61(1)2+112511=61(1)312511=612511-6\begin{vmatrix}0&1&-2\\1&0&-1\\0&5&-11\end{vmatrix}=-6\cdot1\cdot(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}1&-2\\5&-11\end{vmatrix}=-6\cdot1\cdot (-1)^{3}\begin{vmatrix}1&-2\\5&-11\end{vmatrix}=6\begin{vmatrix}1&-2\\5&-11\end{vmatrix}.

Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на -5:

612511=612016\begin{vmatrix}1&-2\\5&-11\end{vmatrix}=6\begin{vmatrix}1&-2\\0&-1\end{vmatrix}.

Разложим определитель по столбцу №1:

61201=61(1)1+1(1)=6(1)2(1)=66\begin{vmatrix}1&-2\\0&-1\end{vmatrix}=6\cdot1\cdot(-1)^{1+1}\cdot(-1)=6\cdot(-1)^{2}\cdot(-1)=-6.

Пример 2

Найти определитель

5722216004050202020646115554101146302030\begin{vmatrix}-5&-7&-2&2&-2&16\\0&0&4&0&-5&0\\2&0&-2&0&2&0\\6&4&6&-1&15&-5\\5&-4&10&1&14&6\\3&0&-2&0&3&0\end{vmatrix}.

Прибавим к строке №1 строку №5, умноженную на -2:

5722216004050202020646115554101146302030=151220304004050202020646115554101146302030\begin{vmatrix}-5&-7&-2&2&-2&16\\0&0&4&0&-5&0\\2&0&-2&0&2&0\\6&4&6&-1&15&-5\\5&-4&10&1&14&6\\3&0&-2&0&3&0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}-15&1&-22&0&-30&4\\0&0&4&0&-5&0\\2&0&-2&0&2&0\\6&4&6&-1&15&-5\\5&-4&10&1&14&6\\3&0&-2&0&3&0\end{vmatrix}.

Прибавим к строке №5 строку №4, умноженную на 1:

151220304004050202020646115554101146302030=1512203040040502020206461155110160291302030\begin{vmatrix}-15&1&-22&0&-30&4\\0&0&4&0&-5&0\\2&0&-2&0&2&0\\6&4&6&-1&15&-5\\5&-4&10&1&14&6\\3&0&-2&0&3&0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}-15&1&-22&0&-30&4\\0&0&4&0&-5&0\\2&0&-2&0&2&0\\6&4&6&-1&15&-5\\11&0&16&0&29&1\\3&0&-2&0&3&0\end{vmatrix}.

Разложить определитель по столбцу №4:

1512203040040502020206461155110160291302030=(1)(1)4+41512230400450202201101629130230=(1)(1)81512230400450202201101629130230=1512230400450202201101629130230\begin{vmatrix}-15&1&-22&0&-30&4\\0&0&4&0&-5&0\\2&0&-2&0&2&0\\6&4&6&-1&15&-5\\11&0&16&0&29&1\\3&0&-2&0&3&0\end{vmatrix}=(-1)\cdot(-1)^{4+4}\begin{vmatrix}-15&1&-22&-30&4\\0&0&4&-5&0\\2&0&-2&2&0\\11&0&16&29&1\\3&0&-2&3&0\end{vmatrix}=(-1)\cdot(-1)^{8}\begin{vmatrix}-15&1&-22&-30&4\\0&0&4&-5&0\\2&0&-2&2&0\\11&0&16&29&1\\3&0&-2&3&0\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}-15&1&-22&-30&4\\0&0&4&-5&0\\2&0&-2&2&0\\11&0&16&29&1\\3&0&-2&3&0\end{vmatrix}.

Разложим определитель по столбцу №2:

1512230400450202201101629130230=11(1)1+20450222011162913230=11(1)30450222011162913230=0450222011162913230-\begin{vmatrix}-15&1&-22&-30&4\\0&0&4&-5&0\\2&0&-2&2&0\\11&0&16&29&1\\3&0&-2&3&0\end{vmatrix}=-1\cdot1\cdot(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}0&4&-5&0\\2&-2&2&0\\11&16&29&1\\3&-2&3&0\end{vmatrix}=-1\cdot1\cdot(-1)^{3}\begin{vmatrix}0&4&-5&0\\2&-2&2&0\\11&16&29&1\\3&-2&3&0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&4&-5&0\\2&-2&2&0\\11&16&29&1\\3&-2&3&0\end{vmatrix}.

Разложим определитель по столбцу №4:

0450222011162913230=1(1)3+4045222323=1(1)7045222323=045222323\begin{vmatrix}0&4&-5&0\\2&-2&2&0\\11&16&29&1\\3&-2&3&0\end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{3+4}\begin{vmatrix}0&4&-5\\2&-2&2\\3&-2&3\end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{7}\begin{vmatrix}0&4&-5\\2&-2&2\\3&-2&3\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}0&4&-5\\2&-2&2\\3&-2&3\end{vmatrix}.

Вынесем из строки №2 множитель 2:

045222323=2045111323-\begin{vmatrix}0&4&-5\\2&-2&2\\3&-2&3\end{vmatrix}=-2\begin{vmatrix}0&4&-5\\1&-1&1\\3&-2&3\end{vmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №2, умноженную на -3:

2045111323=2045111010-2\begin{vmatrix}0&4&-5\\1&-1&1\\3&-2&3\end{vmatrix}=-2\begin{vmatrix}0&4&-5\\1&-1&1\\0&1&0\end{vmatrix}.

Разложим определитель по столбцу №1:

2045111010=21(1)2+14510=21(1)34510=24510-2\begin{vmatrix}0&4&-5\\1&-1&1\\0&1&0\end{vmatrix}=-2\cdot1\cdot(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}4&-5\\1&0\end{vmatrix}=-2\cdot1\cdot(-1)^{3}\begin{vmatrix}4&-5\\1&0\end{vmatrix}=2\begin{vmatrix}4&-5\\1&0\end{vmatrix}.

Разложим определитель по строке №2:

24510=21(1)2+1(5)=21(1)3(5)=2(1)(5)=102\begin{vmatrix}4&-5\\1&0\end{vmatrix}=2\cdot1\cdot(-1)^{2+1}\cdot(-5)=2\cdot1\cdot(-1)^{3}\cdot(-5)=2\cdot(-1)\cdot(-5)=10.

Данный метод может применяться для вычисления определителей любого порядка.

Автор статьи
+1
-0
Комментарии
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Как защищать курсовую работу

О том, как преподнести себя публике и уберечь нервную систему (не только свою), представляя свое научное детище, – читайте в нашей статье.
132 +20
1

Кто в России счастлив на работе

Кто в России счастлив на работе?
359 +20
3

Антиплагиат: что это такое

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
3462 +17
0

Сессия досрочно

Можно ли сдать экзамены раньше срока?
1306 +15
1
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ