710
18 Мая в 12:2718.05.2018 в 12:27

Понятие интеграла

На практике часто приходится решать задачи следующих типов:

  • найти площадь под кривой;
  • вычислить массу неоднородного тела;
  • рассчитать длину пути при неравномерном движении.

Именно их решение привело к возникновению целого раздела математического анализа, именуемого интегральным исчислением. В его основе лежит понятие интеграла.

Рассмотрим пример функции вида y=f(x)y=f(x) и ее график:

интеграл 2.png

Под кривой f(x)f(x) имеем фигуру, ограниченную осью xx, линиями x=ax=a и x=bx=b (заштрихованная фигура). Необходимо найти ее площадь. Если координаты точек aa и bb известны, то площадь SS находится при помощи определенного интеграла. В этом состоит геометрический смысл данного понятия.

Определенный интеграл

Это число, значение которого зависит от вида функции y=f(x)y=f(x) и пределов интегрирования.

Запись определенного интеграла

abf(x)dx\int\limits^b_af(x)dx

aa и bb – пределы интегрирования (aa – нижний, bb – верхний),

f(x)f(x) – подынтегральная функция,

xx – переменная интегрирования.

Для вычисления определенного интеграла используют формулу Ньютона-Лейбница:

S=abf(x)dx=F(x)ab=F(b)F(a)S=\int\limits^b_af(x)dx=F(x)\big|^{b}_{a}=F(b)-F(a)

F(x)F(x) – это первообразная для функции f(x)f(x) на отрезке xx, где любое значение xx принадлежит этому отрезку.

Подставляя в формулу значения aa и bb, получаем два числовых значения, разница которых и будет равна площади фигуры под кривой функции. Неопределенным интегралом функции вида f(x)f(x) является совокупность всех ее первообразных. Когда функция определена и непрерывна на некоем промежутке (a,b)(a,b), а функция F(x)F(x) является ее первообразной, т. е.

F(x)=f(x)F'(x)=f(x), при x(a,b)x∈(a,b),

тогда

f(x)dx=F(x)+C,\int f(x)dx=F(x)+C,

имея в виду, что CC – некая произвольная постоянная.

Для решения практических задач специально созданы таблицы, в которых вынесены решения самых распространенных функций в виде формул. Эти формулы используются для вычислений.

Задача 1

Необходимо вычислить интеграл:

0312x5x6+1dx\int\limits_0^{\sqrt3}\frac{12x^5}{\sqrt {x ^6 + 1}}dx

Решение

Используем для данного случая способ занесения под дифференциал:

0312x5x6+1dx=\int\limits^{\sqrt3}_{0}\frac{12x^5}{\sqrt {x ^6 + 1}}dx =
=160312x6+1d(x6)==\frac{1}{6}\int\limits^{\sqrt3}_{0}\frac{12}{\sqrt {x ^6 + 1}}d(x^6) =
=203(x6+1)12d(x6+1)==2\int\limits^{\sqrt3}_{0} (x^6 +1)^{-\frac{1}{2}}d (x^6 +1) =
=4x6+103==4 \sqrt {x^6 + 1}\big|_0^{\sqrt{3}} =
=4(3)6+14=4284=874= 4 \sqrt {( \sqrt {3})^6 +1} - 4 = 4\sqrt {28} - 4=8\sqrt{7}-4

Задача 2

С помощью определенного интеграла нужно найти площадь фигуры, ограниченной линиями: x=0x=0, x=πx=\pi, y=0y=0, y=sinx.y=\sin x.

Решение.
Чертеж выглядит следующим образом:

интеграл 1

В данном случае, если обратиться к стандартной формуле:

S=abf(x)dx=F(x)ab=F(b)F(A),S= \int\limits^{b}_{a}f(x)dx = F (x) \big| _a^b = F(b) - F(A),

то a=0a=0, b=πb=\pi, f(x)=sinx.f(x)=\sin x.

Выполняем подстановку:

S=0πsinx dx=(cosx)0π=cosπ(cos0)=(1)+1=2.S= \int\limits^{\pi}_{0} \sin x\ dx = - (\cos x)\big|_0^{\pi} = - \cos \pi - (- \cos 0) = -(-1) + 1 =2.

+1
-0
Комментарии
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Кто в России счастлив на работе

Кто в России счастлив на работе?
358 +21
3

Как защищать курсовую работу

О том, как преподнести себя публике и уберечь нервную систему (не только свою), представляя свое научное детище, – читайте в нашей статье.
132 +20
1

Антиплагиат: что это такое

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
3462 +17
0

Образование за рубежом: все ли так идеально?

Студенты за рубежом выступают против платного образования и поддельных дипломов.
20 +14
0
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ