Примеры решения квадратных уравнений

Содержание

Квадратное уравнение

Это уравнение вида ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0,

где aa – коэффициент перед x2x^2,

bb – коэффициент перед xx,

cc – свободное число.

Существуют разные способы нахождения корней квадратного уравнения. Пожалуй, самый основной и распространенный способ – через вычисление дискриминанта. В этом случае он рассчитывается по формуле:

D=b24acD = b^2 – 4ac

Если второй коэффициент уравнения четный, можно решать уравнение через kk, тогда будет другая формула дискриминанта:

D1=k2acD_1 = k^2 – ac

Если первый коэффициент уравнения равен 1, то можно воспользоваться теоремой Виета, которая имеет 2 условия:

x1+x2=bx_1 + x_2 = -b
x1x2=cx_1 \cdot x_2 = c

Но если мы захотим решить уравнение основным способом, ошибки не будет. Нахождение корней уравнения через дискриминант – универсальный способ, а остальные введены для удобства вычислений.

Задача 1

Решим уравнение: 3x2+7x6=0.3x^2 + 7x - 6 = 0.

Обозначим коэффициенты:

a=3a = 3,

b=7b = 7,

c=6c = -6

Далее находим дискриминант по формуле:

D=b24acD = b^2 – 4ac

D=7243(6)=49+72=121=112D = 7^2 – 4 * 3 * (-6) = 49 + 72 = 121 = {11}^2

D>0D > 0 – значит, уравнение имеет 2 корня.

Находим корни уравнения по следующим формулам:

x1=(b+D)/2ax_1 = (-b + √D) / 2a
x2=(bD)/2ax_2 = (-b - √D) / 2a

Подставляем численные значения:

x1=(7+11)/23=4/6=23x_1 = (-7 + 11) / 2*3 = 4 / 6 = \frac{2}{3}

x2=(711)/23=18/6=3x_2 = (-7 – 11) / 2*3 = -18 / 6 = -3

Ответ: x1=23x_1 = \frac{2}{3}, x2=3x_2 = -3.

Задача 2

Решим уравнение: x2+7x+8=0.-x^2 + 7x + 8 = 0.

Обозначим коэффициенты:

a=1a = -1,

b=7b = 7,

c=8.c = 8.

Далее находим дискриминант по формуле:

D=b24acD = b^2 – 4ac

D=724(1)8=49+32=81=92D = 7^2 – 4 \cdot (-1) \cdot 8 = 49 + 32 = 81 = 9^2

D>0D > 0 – значит, уравнение имеет 2 корня.

Находим корни уравнения по следующим формулам:

x1=(b+D)/2ax_1 = (-b + √D) / 2a
x2=(bD)/2ax_2 = (-b - √D) / 2a

Подставляем численные значения:

x1=(7+9)/2(1)=2/(2)=1x_1 = (-7 + 9) / 2 * (-1) = 2 / (-2) = -1
x2=(79)/2(1)=16/(2)=8x_2 = (-7 – 9) / 2 * (-1) = -16 / (-2) = 8

Ответ: x1=1x_1 = -1, x2=8x_2 = 8.

Задача 3

Решим уравнение: 4x2+4x+1=0.4x^2 + 4x + 1 = 0.

Обозначим коэффициенты:
a=4a = 4,

b=4b = 4,

c=1.c = 1.

Далее находим дискриминант по формуле: D=b24acD = b^2 – 4ac

D=42441=1616=0D = 4^2 – 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 – 16 = 0

D=0D = 0 – значит, уравнение имеет 1 корень.

Находим корень уравнения по следующей формуле: x=b/2ax = -b / 2a

Подставляем численные значения:

x=4/24=4/8=1/2=0,5x = -4 / 2 \cdot 4 = -4 / 8 = -1 / 2 = -0,5

Ответ: x=0,5.x = -0,5.

Задача 4

Решим уравнение: 2x2+x+1=0.2x^2 + x + 1 = 0.

Обозначим коэффициенты:
a=2a = 2,

b=1b = 1,

c=1.c = 1.

Далее находим дискриминант по формуле: D=b24acD = b^2 – 4ac

D=12421=18=7D = 1^2 – 4 * 2 * 1 = 1 – 8 = -7

D<0D < 0 – значит, уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Решение квадратного уравнения через k

Если у квадратного уравнения коэффициент bb четный, то можно решать уравнение через kk, при этом k=12bk = \frac{1}{2} b.

Задача 5

Решим уравнение: x2+2x+8=0.-x^2 + 2x + 8 = 0.

Обозначим коэффициенты:

a=1a = -1,

b=2b = 2,

c=8c = 8

bb – четное.

k=12b=1k = \frac {1}{2} b = 1.

Далее находим дискриминант по формуле: D1=k2acD_1 = k^2 – ac

D1=12(1)8=1+8=9=32D_1 = 1^2 – (-1) * 8 = 1 + 8 = 9 = 3^2

D1>0D_1 > 0 – значит, уравнение имеет 2 корня.

Находим корни уравнения по следующим формулам:

x1=(k+D1)/ax_1 = (-k + {\sqrt D}_1) / a
x2=(kD1)/ax_2 = (-k - {\sqrt D}_1) / a

Подставляем численные значения:

x1=(1+3)/(1)=2/(1)=2x_1 = (-1 + 3) / (-1) = 2 / (-1) = -2
x2=(13)/(1)=4/(1)=4x_2 = (-1 – 3) / (-1) = -4 / (-1) = 4

Ответ: x_1 = -2, x_2 = 4.

Задача 6

Решим уравнение: 9x26x+1=0.9x^2 – 6x + 1 = 0.

Обозначим коэффициенты:
a=9a = 9,

b=6b = -6,

c=1c = 1

bb – четное.

K=12b=3.K = \frac{1}{2} b = -3.

Далее находим дискриминант по формуле: D1=k2acD_1 = k^2 – ac

D1=(3)291=99=0D_1 = {(-3)}^2 – 9 * 1 = 9 – 9 = 0

D1=0D_1 = 0 – значит, уравнение имеет 1 корень.

Находим корень уравнения по следующей формуле: x=k/ax = -k / a

Подставляем численные значения:

x=3/9=13x = 3 / 9 = \frac{1}{3}

Ответ: x=13.x = \frac{1}{3}.

Нахождение корней уравнения по теореме Виета

Если в квадратном уравнении a=1a = 1, то можно найти корни уравнения по теореме Виета.

Задача 7

Найдем корни уравнения: x2+3x+2=0.x^2 + 3x + 2 = 0.

Обозначим коэффициенты:
a=1a = 1,

b=3b = 3,

c=2c = 2.

Запишем 2 условия теоремы Виета:

x1+x2=bx_1 + x_2 = -b
x1x2=cx_1 * x_2 = c

Теперь методом подбора найдем 2 числа, которые будут соответствовать этим условиям. Вероятно, это числа -2 и -1.

Значит, корни уравнения равны:

x1=2x_1 = -2
x2=1x_2 = -1

Ответ: x1=2x_1 = -2, x2=1x_2 = -1.

Задача 8

Найдем корни уравнения: x25x+6=0.x^2 – 5x +6 = 0.

Обозначим коэффициенты:

a=1a = 1,

b=5b = -5,

c=6c = 6

Запишем 2 условия теоремы Виета:

x1+x2=bx_1 + x_2 = -b
x1x2=cx_1 * x_2 = c

Теперь методом подбора найдем 2 числа, которые будут соответствовать этим условиям. Вероятно, это числа 2 и 3.

Значит, корни уравнения равны:

x1=2x_1 = 2
x2=3x_2 = 3

Ответ: x1=2x_1 = 2, x2=3.x_2 = 3.

+1
-0
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Делимся основными ошибками, которые из года в год допускают старшеклассники.
1390 +163
0
Как к ним подготовиться и что отвечать.
3337 +154
3
Признаки хорошего колледжа.
763 +109
0
Автор
Хотите выполнять заказы? Стать автором
Заказчик
Хотите заказать работу? Разместить заказ
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 33 747 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Напишем уникальную работу
Скидка 10%