109
14 Сен в 11:3714.09.2018 в 11:37

Примеры решения квадратных уравнений

Содержание

Квадратное уравнение

Это уравнение вида ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0,

где aa – коэффициент перед x2x^2,

bb – коэффициент перед xx,

cc – свободное число.

Существуют разные способы нахождения корней квадратного уравнения. Пожалуй, самый основной и распространенный способ – через вычисление дискриминанта. В этом случае он рассчитывается по формуле:

D=b24acD = b^2 – 4ac

Если второй коэффициент уравнения четный, можно решать уравнение через kk, тогда будет другая формула дискриминанта:

D1=k2acD_1 = k^2 – ac

Если первый коэффициент уравнения равен 1, то можно воспользоваться теоремой Виета, которая имеет 2 условия:

x1+x2=bx_1 + x_2 = -b
x1x2=cx_1 \cdot x_2 = c

Но если мы захотим решить уравнение основным способом, ошибки не будет. Нахождение корней уравнения через дискриминант – универсальный способ, а остальные введены для удобства вычислений.

Задача 1

Решим уравнение: 3x2+7x6=0.3x^2 + 7x - 6 = 0.

Обозначим коэффициенты:

a=3a = 3,

b=7b = 7,

c=6c = -6

Далее находим дискриминант по формуле:

D=b24acD = b^2 – 4ac

D=7243(6)=49+72=121=112D = 7^2 – 4 * 3 * (-6) = 49 + 72 = 121 = {11}^2

D>0D > 0 – значит, уравнение имеет 2 корня.

Находим корни уравнения по следующим формулам:

x1=(b+D)/2ax_1 = (-b + √D) / 2a
x2=(bD)/2ax_2 = (-b - √D) / 2a

Подставляем численные значения:

x1=(7+11)/23=4/6=23x_1 = (-7 + 11) / 2*3 = 4 / 6 = \frac{2}{3}

x2=(711)/23=18/6=3x_2 = (-7 – 11) / 2*3 = -18 / 6 = -3

Ответ: x1=23x_1 = \frac{2}{3}, x2=3x_2 = -3.

Задача 2

Решим уравнение: x2+7x+8=0.-x^2 + 7x + 8 = 0.

Обозначим коэффициенты:

a=1a = -1,

b=7b = 7,

c=8.c = 8.

Далее находим дискриминант по формуле:

D=b24acD = b^2 – 4ac

D=724(1)8=49+32=81=92D = 7^2 – 4 \cdot (-1) \cdot 8 = 49 + 32 = 81 = 9^2

D>0D > 0 – значит, уравнение имеет 2 корня.

Находим корни уравнения по следующим формулам:

x1=(b+D)/2ax_1 = (-b + √D) / 2a
x2=(bD)/2ax_2 = (-b - √D) / 2a

Подставляем численные значения:

x1=(7+9)/2(1)=2/(2)=1x_1 = (-7 + 9) / 2 * (-1) = 2 / (-2) = -1
x2=(79)/2(1)=16/(2)=8x_2 = (-7 – 9) / 2 * (-1) = -16 / (-2) = 8

Ответ: x1=1x_1 = -1, x2=8x_2 = 8.

Задача 3

Решим уравнение: 4x2+4x+1=0.4x^2 + 4x + 1 = 0.

Обозначим коэффициенты:
a=4a = 4,

b=4b = 4,

c=1.c = 1.

Далее находим дискриминант по формуле: D=b24acD = b^2 – 4ac

D=42441=1616=0D = 4^2 – 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 – 16 = 0

D=0D = 0 – значит, уравнение имеет 1 корень.

Находим корень уравнения по следующей формуле: x=b/2ax = -b / 2a

Подставляем численные значения:

x=4/24=4/8=1/2=0,5x = -4 / 2 \cdot 4 = -4 / 8 = -1 / 2 = -0,5

Ответ: x=0,5.x = -0,5.

Задача 4

Решим уравнение: 2x2+x+1=0.2x^2 + x + 1 = 0.

Обозначим коэффициенты:
a=2a = 2,

b=1b = 1,

c=1.c = 1.

Далее находим дискриминант по формуле: D=b24acD = b^2 – 4ac

D=12421=18=7D = 1^2 – 4 * 2 * 1 = 1 – 8 = -7

D<0D < 0 – значит, уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Решение квадратного уравнения через k

Если у квадратного уравнения коэффициент bb четный, то можно решать уравнение через kk, при этом k=12bk = \frac{1}{2} b.

Задача 5

Решим уравнение: x2+2x+8=0.-x^2 + 2x + 8 = 0.

Обозначим коэффициенты:

a=1a = -1,

b=2b = 2,

c=8c = 8

bb – четное.

k=12b=1k = \frac {1}{2} b = 1.

Далее находим дискриминант по формуле: D1=k2acD_1 = k^2 – ac

D1=12(1)8=1+8=9=32D_1 = 1^2 – (-1) * 8 = 1 + 8 = 9 = 3^2

D1>0D_1 > 0 – значит, уравнение имеет 2 корня.

Находим корни уравнения по следующим формулам:

x1=(k+D1)/ax_1 = (-k + {\sqrt D}_1) / a
x2=(kD1)/ax_2 = (-k - {\sqrt D}_1) / a

Подставляем численные значения:

x1=(1+3)/(1)=2/(1)=2x_1 = (-1 + 3) / (-1) = 2 / (-1) = -2
x2=(13)/(1)=4/(1)=4x_2 = (-1 – 3) / (-1) = -4 / (-1) = 4

Ответ: x_1 = -2, x_2 = 4.

Задача 6

Решим уравнение: 9x26x+1=0.9x^2 – 6x + 1 = 0.

Обозначим коэффициенты:
a=9a = 9,

b=6b = -6,

c=1c = 1

bb – четное.

K=12b=3.K = \frac{1}{2} b = -3.

Далее находим дискриминант по формуле: D1=k2acD_1 = k^2 – ac

D1=(3)291=99=0D_1 = {(-3)}^2 – 9 * 1 = 9 – 9 = 0

D1=0D_1 = 0 – значит, уравнение имеет 1 корень.

Находим корень уравнения по следующей формуле: x=k/ax = -k / a

Подставляем численные значения:

x=3/9=13x = 3 / 9 = \frac{1}{3}

Ответ: x=13.x = \frac{1}{3}.

Нахождение корней уравнения по теореме Виета

Если в квадратном уравнении a=1a = 1, то можно найти корни уравнения по теореме Виета.

Задача 7

Найдем корни уравнения: x2+3x+2=0.x^2 + 3x + 2 = 0.

Обозначим коэффициенты:
a=1a = 1,

b=3b = 3,

c=2c = 2.

Запишем 2 условия теоремы Виета:

x1+x2=bx_1 + x_2 = -b
x1x2=cx_1 * x_2 = c

Теперь методом подбора найдем 2 числа, которые будут соответствовать этим условиям. Вероятно, это числа -2 и -1.

Значит, корни уравнения равны:

x1=2x_1 = -2
x2=1x_2 = -1

Ответ: x1=2x_1 = -2, x2=1x_2 = -1.

Задача 8

Найдем корни уравнения: x25x+6=0.x^2 – 5x +6 = 0.

Обозначим коэффициенты:

a=1a = 1,

b=5b = -5,

c=6c = 6

Запишем 2 условия теоремы Виета:

x1+x2=bx_1 + x_2 = -b
x1x2=cx_1 * x_2 = c

Теперь методом подбора найдем 2 числа, которые будут соответствовать этим условиям. Вероятно, это числа 2 и 3.

Значит, корни уравнения равны:

x1=2x_1 = 2
x2=3x_2 = 3

Ответ: x1=2x_1 = 2, x2=3.x_2 = 3.

+0
-0
Комментарии
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Кто в России счастлив на работе

Кто в России счастлив на работе?
358 +21
3

Как защищать курсовую работу

О том, как преподнести себя публике и уберечь нервную систему (не только свою), представляя свое научное детище, – читайте в нашей статье.
132 +20
1

Антиплагиат: что это такое

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
3462 +17
0

Образование за рубежом: все ли так идеально?

Студенты за рубежом выступают против платного образования и поддельных дипломов.
20 +14
0
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ