665
18 Мая в 12:2618.05.2018 в 12:26

Производная функции

Содержание

Производной функции y=f(x)y = f(x) в точке x0x_0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента Δx\Delta x при Δx0\Delta x→0 (при условии существования данного предела).

Пусть задана функция y=f(x)y = f(x). Выберем любую точку x0x_0 из области определения DD этой функции. Приращение аргумента функции в точке x0x_0:
Δx\Delta x такое, что x0+ΔxDx_0 + \Delta x\in D.
Тогда Δy=f(x0+Δx)f(x0)\Delta y =f (x_0 + \Delta x) - f(x_0).

Пример

Пусть f(x)=x3f(x) = x^3, x0=5x_0=5, Δx=1\Delta x =1.
Вычислим Δy\Delta y:
Δy=f(x0+Δx)f(x0)=(5+1)353=216125=91\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = (5+1)^3 - 5^3 = 216 - 125 = 91

Обозначение производной функции

Производная функции в точке x=x0x=x_0 обозначается как f(x0)f'(x_0):

f(x0)=limΔx0ΔyΔx=limΔx0f(x0+Δx)f(x0)Δxf'(x_0) = \displaystyle\lim_{\Delta x→0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \displaystyle\lim_{\Delta x→0} \frac{f (x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

Пусть для некоторого x0:f(x0)=limΔx0ΔyΔx=±x_0:f'(x_0) = \displaystyle\lim_{\Delta x→0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = ±∞.

В этом случае f(x)f(x) имеет в точке x0x_0 бесконечную производную.

Задача 1

Вычислим производную f(x)=x2f(x) = x^2 в точке x=x0x = x_0.

Снабдим аргумент xx в точке x0x_0 приращением Δx\Delta x:

Δy=f(x0+Δx)f(x0)=(x0+Δx)2x02=x02+2x0Δx+(Δx)2x02=\Delta y= f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) =(x_0 + \Delta x)^2 - x_0^2 = x_0^2 +2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - x_0^2 =
=2x0Δx+(Δx)2=2x_0\Delta x + (\Delta x)^2

Отсюда:

ΔyΔx=2x0Δx+(Δx)2Δx=Δx(2x0+Δx)Δx=2x0+Δx\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{2x_0\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} =\frac{\Delta x(2x_0 + \Delta x)}{\Delta x} =2x_0 + \Delta x

Найдем предел этого отношения, устремив Δx\Delta x к нулю:
limΔx0ΔyΔx=2x0+0=2x0\displaystyle\lim_{\Delta x→0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = 2x_0 + 0 = 2x_0

f(x0)=2x0f'(x_0) = 2x_0

Односторонние производные

Правой производной функции f(x)f(x) в точке x0x_0 называется предельное значение отношения Δy\Delta y к Δx\Delta x при Δx0+\Delta x→0+, если данный предел существует.
Левой производной называется предельное значение того же отошения при Δx0\Delta x→0-
Обозначается как f+(x0)f'_+(x_0) и f(x0)f'_- (x_0).

f+(x0)=limΔx0+ΔyΔx=limΔx0+f(x0+Δx)f(x0)Δxf'_+(x_0) = \displaystyle\lim_{\Delta x→0+}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \displaystyle\lim_{\Delta x→0+}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

f(x0)=limΔx0ΔyΔx=limΔx0f(x0+Δx)f(x0)Δxf'_-(x_0) = \displaystyle\lim_{\Delta x→0-}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \displaystyle\lim_{\Delta x→0-}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

Напомним, что Δx0+\Delta x→0+ и Δx0\Delta x→0- обозначают соответственно: Δx0\Delta x→0, Δx>0\Delta x>0 и Δx0\Delta x→0, Δx<0\Delta x<0

Правую и левую производные называют односторонними.

Из того, что f(x)f(x) имеет производную в точке x0x_0, следует: f(x)f(x) имеет в этой точке равные правую и левую производные. Из существования односторонних производных в точке не следует, что в ней имеется производная.

Пример

Рассмотрим функцию f(x)=xf(x) = |x|. Возьмем x0=0x_0 = 0 Тогда f+(0)=1f'_+(0) = 1, f(0)=1f'_- (0) = -1. Правая и левая производные существуют в точке x0=0x_0=0, но их значения не одинаковы, поэтому производной в x0x_0 = 0 не существует.

+0
-0
Комментарии
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Как защищать курсовую работу

О том, как преподнести себя публике и уберечь нервную систему (не только свою), представляя свое научное детище, – читайте в нашей статье.
117 +31
1

Кто в России счастлив на работе

Кто в России счастлив на работе?
344 +26
3

Как понять, что ты творческая личность?

С чего начинается творческий путь и кто такая эта «творческая личность»?
227 +17
0

Что должно быть под рукой у хорошего студента?

Иногда вещи могут рассказать о нас больше, чем мы сами в себе замечаем.
339 +17
1
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ