1239
18 Мая 2018 в 12:26 18.05.2018 в 12:26

Производная функции

Содержание

Производной функции y=f(x)y = f(x) в точке x0x_0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента Δx\Delta x при Δx0\Delta x→0 (при условии существования данного предела).

Пусть задана функция y=f(x)y = f(x). Выберем любую точку x0x_0 из области определения DD этой функции. Приращение аргумента функции в точке x0x_0:
Δx\Delta x такое, что x0+ΔxDx_0 + \Delta x\in D.
Тогда Δy=f(x0+Δx)f(x0)\Delta y =f (x_0 + \Delta x) - f(x_0).

Пример

Пусть f(x)=x3f(x) = x^3, x0=5x_0=5, Δx=1\Delta x =1.
Вычислим Δy\Delta y:
Δy=f(x0+Δx)f(x0)=(5+1)353=216125=91\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = (5+1)^3 - 5^3 = 216 - 125 = 91

Обозначение производной функции

Производная функции в точке x=x0x=x_0 обозначается как f(x0)f'(x_0):

f(x0)=limΔx0ΔyΔx=limΔx0f(x0+Δx)f(x0)Δxf'(x_0) = \displaystyle\lim_{\Delta x→0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \displaystyle\lim_{\Delta x→0} \frac{f (x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

Пусть для некоторого x0:f(x0)=limΔx0ΔyΔx=±x_0:f'(x_0) = \displaystyle\lim_{\Delta x→0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = ±∞.

В этом случае f(x)f(x) имеет в точке x0x_0 бесконечную производную.

Задача 1

Вычислим производную f(x)=x2f(x) = x^2 в точке x=x0x = x_0.

Снабдим аргумент xx в точке x0x_0 приращением Δx\Delta x:

Δy=f(x0+Δx)f(x0)=(x0+Δx)2x02=x02+2x0Δx+(Δx)2x02=\Delta y= f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) =(x_0 + \Delta x)^2 - x_0^2 = x_0^2 +2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - x_0^2 =
=2x0Δx+(Δx)2=2x_0\Delta x + (\Delta x)^2

Отсюда:

ΔyΔx=2x0Δx+(Δx)2Δx=Δx(2x0+Δx)Δx=2x0+Δx\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{2x_0\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} =\frac{\Delta x(2x_0 + \Delta x)}{\Delta x} =2x_0 + \Delta x

Найдем предел этого отношения, устремив Δx\Delta x к нулю:
limΔx0ΔyΔx=2x0+0=2x0\displaystyle\lim_{\Delta x→0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = 2x_0 + 0 = 2x_0

f(x0)=2x0f'(x_0) = 2x_0

Односторонние производные

Правой производной функции f(x)f(x) в точке x0x_0 называется предельное значение отношения Δy\Delta y к Δx\Delta x при Δx0+\Delta x→0+, если данный предел существует.
Левой производной называется предельное значение того же отошения при Δx0\Delta x→0-
Обозначается как f+(x0)f'_+(x_0) и f(x0)f'_- (x_0).

f+(x0)=limΔx0+ΔyΔx=limΔx0+f(x0+Δx)f(x0)Δxf'_+(x_0) = \displaystyle\lim_{\Delta x→0+}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \displaystyle\lim_{\Delta x→0+}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

f(x0)=limΔx0ΔyΔx=limΔx0f(x0+Δx)f(x0)Δxf'_-(x_0) = \displaystyle\lim_{\Delta x→0-}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \displaystyle\lim_{\Delta x→0-}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

Напомним, что Δx0+\Delta x→0+ и Δx0\Delta x→0- обозначают соответственно: Δx0\Delta x→0, Δx>0\Delta x>0 и Δx0\Delta x→0, Δx<0\Delta x<0

Правую и левую производные называют односторонними.

Из того, что f(x)f(x) имеет производную в точке x0x_0, следует: f(x)f(x) имеет в этой точке равные правую и левую производные. Из существования односторонних производных в точке не следует, что в ней имеется производная.

Пример

Рассмотрим функцию f(x)=xf(x) = |x|. Возьмем x0=0x_0 = 0 Тогда f+(0)=1f'_+(0) = 1, f(0)=1f'_- (0) = -1. Правая и левая производные существуют в точке x0=0x_0=0, но их значения не одинаковы, поэтому производной в x0x_0 = 0 не существует.

+0
-0
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Мы изучили несколько самых необычных предложений насчет ЕГЭ и решили пофантазировать, что будет, если их решат принять.
22807 +4567
0
Что делать, если не сдал ЕГЭ?
8227 +247
0
Блоги, стажировки, собственные проекты – возможностей масса, но что выбрать?
197 +172
0
Почему Оксфорд был самым опасным городом в Средние века?
126 +126
0
Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
7977 +80
6
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку более 30 311 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут