Производная неявной функции
Производная неявной функции , заданной уравнением вычисляется по формуле
где
, – частные производные.
Пример 1
Найти производную функции , заданной неявно и ее экстремумы.
Имеем . Частные производные
Производная неявной функции
Учитывая, что из определения неявной функции следует, что , получим
Отсюда следует, что точка экстремума функции имеет ординату на графике. Подстановка в определяющее функцию равенство дает , то есть . Следовательно, неявная функция имеет экстремум в точке и его значение равно .
Вторая производная неявной функции , заданной уравнением вычисляется по формуле
где
– вторые частные производные.
Пример 2
Найти вторую производную функции , заданной неявно и точки перегиба ее графика.
Имеем . Первые частные производные вычислены выше. Вторые частные производные:
Вторая производная неявной функции
Учитывая, что из определения неявной функции следует, что , получим
Ординаты точек перегиба на графике найдем из уравнения , то есть . Решениями данного уравнения являтся числа . Однако, из равенства следует, что . Таким образом, точки перегиба имеют ординату и абсциссы
На графике неявной функции отмечены точки перегиба.