301
1 Авг в 11:0401.08.2018 в 11:04

Производная неявной функции

Производная неявной функции y(x)y(x), заданной уравнением F(x,y)=0F(x,y)=0 вычисляется по формуле

dydx=Fx(x,y)Fy(x,y), \frac{dy}{dx}=-\frac{F'_x(x,y)}{F'_y(x,y)},

где

Fx=FxF'_x=\frac{\partial F}{\partial x}, Fy=FyF'_y=\frac{\partial F}{\partial y}частные производные.

Пример 1

Найти производную функции y(x)y(x), заданной неявно x2ey+y=1 x^2e^y+y=1 и ее экстремумы.

Имеем F(x,y)=x2ey+y1F(x,y)=x^2e^y+y-1. Частные производные

Fx=x(x2ey+y1)=2xey,Fy=y(x2ey+y1)=x2ey+1. \frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(x^2e^y+y-1\right)=2xe^y,\quad \frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(x^2e^y+y-1\right)=x^2e^y+1.

Производная неявной функции

dydx=Fx(x,y)Fy(x,y)=2xeyx2ey+1. \frac{dy}{dx}=-\frac{F'_x(x,y)}{F'_y(x,y)}=-\frac{2xe^y}{x^2e^y+1}.

Учитывая, что из определения неявной функции x2ey+y=1x^2e^y+y=1 следует, что xey=(1y)/xxe^y=(1-y)/x, получим

dydx=2xeyx2ey+1=2(1y)/x(1y)+1=2(y1)x(2y). \frac{dy}{dx}=-\frac{2xe^y}{x^2e^y+1}=-\frac{2(1-y)/x}{(1-y)+1}=\frac{2(y-1)}{x(2-y)}.

Отсюда следует, что точка экстремума функции имеет ординату y=1y=1 на графике. Подстановка y=1y=1 в определяющее функцию равенство x2ey+y=1x^2e^y+y=1 дает x2+1=1x^2+1=1, то есть x=0x=0. Следовательно, неявная функция y(x)y(x) имеет экстремум в точке x=0x=0 и его значение равно y(0)=1y(0)=1.

Вторая производная неявной функции y(x)y(x), заданной уравнением F(x,y)=0F(x,y)=0 вычисляется по формуле

d2ydx2=FxxFy22FxyFxFy+FyyFx2Fy3, \frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{F_{xx}''F_y'^2-2F_{xy}''F_x'F_y'+F_{yy}''F_x'^2}{F_y'^3},

где

Fαβ=2Fαβ F''_{\alpha\beta}=\frac{\partial^2 F}{\partial \alpha\partial\beta} – вторые частные производные.

Пример 2

Найти вторую производную функции y(x)y(x), заданной неявно x2ey+y=1x^2e^y+y=1 и точки перегиба ее графика.

Имеем F(x,y)=x2ey+y1F(x,y)=x^2e^y+y-1. Первые частные производные вычислены выше. Вторые частные производные:

2Fx2=x(2xey)=2ey,\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\left(2xe^y\right)=2e^y,

2Fyx=y(2xey)=2xey,\frac{\partial^2 F}{\partial y\partial x}=\frac{\partial}{\partial y}\left(2xe^y\right)=2xe^y,

2Fy2=y(x2ey+1)=x2ey.\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial y}\left(x^2e^y+1\right)=x^2e^y.

Вторая производная неявной функции

d2ydx2=2ey(x2ey+1)222xey2xey(x2ey+1)+x2ey(2xey)2)(x2ey+1)3. \frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{2e^y\left(x^2e^y+1\right)^2-2\cdot 2xe^y\cdot 2xe^y\left(x^2e^y+1\right)+x^2e^y\left(2xe^y\right)^2)}{\left(x^2e^y+1\right)^3}.

Учитывая, что из определения неявной функции x2ey+y=1x^2e^y+y=1 следует, что xey=(1y)/xxe^y=(1-y)/x, получим

d2ydx2=2ey(2y)28ey(1y)(2y)+4ey(1y)2)(2y)3=2ey(y24y+2)(2y)3. \frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{2e^y(2-y)^2-8e^y(1-y)(2-y)+4e^y(1-y)^2)}{(2-y)^3}=\frac{2e^y\left(y^2-4y+2\right)}{(2-y)^3}.

Ординаты точек перегиба на графике найдем из уравнения y=0y''=0, то есть y24y+2=0y^2-4y+2=0. Решениями данного уравнения являтся числа 2±22\pm\sqrt{2}. Однако, из равенства y=1x2eyy=1-x^2e^y следует, что y1y\le 1. Таким образом, точки перегиба имеют ординату y0=22y_0=2-\sqrt{2} и абсциссы

x1,2=±(21)e22. x_{1,2}=\pm\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)e^{\sqrt{2}-2}}.

производная неявной функции.png

На графике неявной функции y(x)y(x) отмечены точки перегиба.

Автор статьи
+0
-0
Комментарии
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Как составить резюме молодому специалисту

Что написать в резюме, если вы только окончили вуз и у вас нет опыта?
51 +39
0

Как защищать курсовую работу

О том, как преподнести себя публике и уберечь нервную систему (не только свою), представляя свое научное детище, – читайте в нашей статье.
199 +27
1

Кто в России счастлив на работе

Кто в России счастлив на работе?
435 +27
4

Антиплагиат: что это такое

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
3538 +26
0
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ