Производная экспоненты

Найдем производную функции $f(x)=e^x$ и приведем некоторые ее свойства и практические примеры использования.

Производная экспоненты

Как известно, производной функции $f(x)$, определенной в точке $x_0$ и в некотором интервале, содержащем $x_0$, называют предел следующего вида:

$f^{'}(x_0)=\dfrac{df}{dx}\Bigr|_{x=x_0}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{ f(x_0+ \Delta x)-f(x_0 )}{ \Delta x}$,

если только такой предел существует.

Таким образом, для вычисления производной функции $f(x)$ необходимо последовательно:

• Записать выражение для приращения функции:

$\Delta f(x_0 )=f(x_0+\Delta x)-f(x_0 )$

• Упростить, по возможности, дробь

$\dfrac {\Delta f(x_0)}{\Delta x}=\dfrac {f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

• Вычислить предел дроби при $\Delta x \to 0$ и записать полученное выражение для производной.

Применим этот алгоритм к вычислению производной экспоненты:

• Записываем приращение функции:

$\Delta f(x_0)= f(x_0+\Delta x)-f(x_0)= e^{x_0+\Delta x}-e^{x_0}=e^{x_0} (e^{\Delta x}-1)$

• Получаем дробь:

$\dfrac {\Delta f(x_0)}{\Delta x}= e^{x_0} \dfrac {e^{\Delta x}-1}{\Delta x}$

• Вычисляем производную:

$f'(x_0 )= \lim\limits_{\Delta x \to 0} {e^{x_0} \dfrac {e^{\Delta x}-1}{\Delta x}}= e^{x_0}\lim\limits_{\Delta x \to 0} {\dfrac {e^{\Delta x}-1}{\Delta x}}$

Для преобразования $e^{\Delta x}$ используем представление числа $e \approx2,71828$ (числа Непера или числа Эйлера) в виде предела:

$e=\lim\limits_{n\to\infty} \Bigl( {1+\dfrac {1}{n}} \Bigr) ^n$

Следовательно:

$e^{\Delta x} =\lim\limits_{n\to\infty} \Bigl( {1+\dfrac {\Delta x }{n}} \Bigr) ^n$

Используем для выражения под знаком предела бином Ньютона:

$\Bigl( {1+\dfrac {\Delta x }{n}} \Bigr) ^n=1+C_n^1 \dfrac{\Delta x }{n}+ C_n^2 \Bigl( {\dfrac{\Delta x }{n}}\Bigr)^2+ \ldots + C_n^n \Bigl( {\dfrac{\Delta x }{n}}\Bigr)^n$

Тогда:

$f'(x_0 )= e^{x_0}\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac {\lim\limits_{n\to\infty} \Bigl( {1+C_n^1 \dfrac{\Delta x }{n}+ C_n^2 \Bigl( {\dfrac{\Delta x }{n}}\Bigr)^2+ \ldots + C_n^n \Bigl( {\dfrac{\Delta x }{n}}\Bigr)^n }\Bigr)-1}{\Delta x } =$

$=e^{x_0}\lim\limits_{\Delta x \to 0}\Bigl( \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac {C_n^1 \dfrac{\Delta x }{n}+ C_n^2 \Bigl( {\dfrac{\Delta x }{n}}\Bigr)^2+ \ldots + C_n^n \Bigl( {\dfrac{\Delta x }{n}}\Bigr)^n }{\Delta x } \Bigr)=$

$=e^{x_0}\lim\limits_{\Delta x \to 0} \lim\limits_{n\to\infty} \Bigl( {C_n^1 \dfrac{1}{n}+ C_n^2 \dfrac{(\Delta x)^{2-1} }{n^2}+ \ldots + C_n^n \dfrac{(\Delta x)^{n-1} }{n^n}}\Bigr)=$

$= e^{x_0}\lim\limits_{ n\to\infty } \lim\limits_{\Delta x \to 0} \Bigl( {n \dfrac{1}{n}+ C_n^2 \dfrac{(\Delta x)^{2-1} }{n^2}+ \ldots + C_n^n \dfrac{(\Delta x)^{n-1} }{n^n}}\Bigr)=$

$= e^{x_0} \Bigl( 1+ \lim\limits_{ n\to\infty } \lim\limits_{\Delta x \to 0} \Bigl( { C_n^2 \dfrac{(\Delta x)^{2-1} }{n^2}+ \ldots + C_n^n \dfrac{(\Delta x)^{n-1} }{n^n}}\Bigr) \Bigr)$

Учитывая, что:

$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \Bigl( { C_n^2 \dfrac{(\Delta x)^{2-1} }{n^2}+ \ldots + C_n^n \dfrac{(\Delta x)^{n-1} }{n^n}}\Bigr)=0$,

получаем:

$f'(x_0 )= e^{x_0}(1+0)$

Таким образом:

$f'(x)= (e^{x})^{'}=e^{x}$

Как видно, производная экспоненциальной функции $f(x)=e^x$ равна этой же функции.

Некоторые свойства и практические примеры

Угол наклона $\alpha$ касательной к графику функции $y=e^x$ в точке $x=x_0$ определяется соотношением:

$\tg \alpha =y^{'} (x_0 )=e^{x_0}$

Здесь угол $\alpha$ это угол между касательной и осью $Ox$, отсчитываемый от положительного направления $Ox$ против часовой стрелки.

Производная функции $f(x)=e^x$ в точке $x=0$ равна $1$:

$f^{'}(0)=(e^x )_{x=0}^{'}=e^0=1$

Это означает, что касательная к графику в точке $M(0;1)$ с координатами: $x_0=0, y_0=e^0=1$ составляют с осью $Ox$ угол $45^{\circ} (\tg {45^{\circ}}=1)$

Производная сложной функции $y=e^{g(x)}$ согласно правил дифференцирования, равна:

$y'=g'(x) e^{g(x)}$

Производная сложной функции $y=u(v)$, где $v=e^x$ равна:

$y'=u'_v \cdot v'=u'_v \cdot e^x$

Пример 1

Найти производную функции

$f(x)=e^{x^2+2x}$

Решение
$f'(x)= \Bigl( e^{x^2+2x} \Bigr)'=(x^2+2x)' \cdot e^{x^2+2x}=(2x+2) e^{x^2+2x}$

Пример 2

Найти производную функции

$f(x)=\sin{e^{2x}}$

Решение

Полагаем: $e^{2x}=v$

Тогда:

$f'(x) = (\sin v)_v' \cdot v' = \cos v \cdot (e^{2x} )' = \cos (e^{2x}) \cdot (2x)' e^{2x}= 2e^{2x} \cos(e^{2x})$

Пример 3

Найти точку $M(x_0; y_0)$ на графике функции $y=e^x$ в которой касательная к этому графику составляет с осью $Ox$ угол в $60^{\circ}$.

Решение

Используя соотношение для угла наклона $\alpha$ касательной:

$\tg \alpha =f' (x)$

для $\alpha =60^{\circ}$ получаем:

$\tg 60^{\circ}= f' (x)=e^{x_0}$

Отсюда находим координату $x_0$ точки $M$:

$e^{x_0}= \sqrt 3 \Rightarrow x_0=\ln \sqrt 3$

Далее:

$y_0=e^{x_0}=e^{\ln \sqrt 3}=\sqrt 3$

Искомая точка: $M(\ln \sqrt 3; \sqrt 3)$

Не знаете, где заказать написание статьи по математике на заказ? Авторы Студворк к вашим услугам!

Тест по теме «Производная экспоненты»