193
13 Авг в 09:5613.08.2018 в 09:56

Прямая на плоскости

Содержание

Общее уравнение прямой на плоскости

«Школьное» уравнение прямой y=kx+by=kx+b не является уравнением прямой общего вида, так как не может задать вертикальные прямые, как, например, прямую x=1x=1, параллельную оси ординат.

Общим уравнением прямой на плоскости называется уравнение вида
Ax+By+C=0Ax+By+C=0.

Вектор N=(AB)\vec{N}={A\choose B} на плоскости с декартовыми координатами AA и BB является вектором нормали прямой Ax+By+C=0Ax+By+C=0, то есть перпендикулярен данной прямой.

прямая на плосоксти 1.png

Пример 1

Общее уравнение прямой, проходящей через точку M(x0,y0)M(x_0,y_0), перпендикулярно вектору (AB){A\choose B} получается из уравнения

A(xx0)+B(yy0)=0, A(x-x_0)+B(y-y_0)=0,

то есть имеет вид

Ax+By(Ax0+By0)=0. Ax+By-(Ax_0+By_0)=0.

Уравнение прямой в отрезках

Пусть прямая Ax+By+C=0Ax+By+C=0 пересекает обе координатных оси, причем в разных точках. Это равносильно тому, что все три числа A,BA,B и CC ненулевые. В этом случае уравнение Ax+By+C=0Ax+By+C=0 можно записать как

xC/A+yC/B=1. \frac{x}{-C/A}+\frac{y}{-C/B}=1.

Уравнением прямой в отрезках называется уравнение вида

xa+yb=1. \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1.

Точка пересечения данной прямой с осью OxOx имеет абсциссу, равную aa. Тогда как точка пересечения с осью OyOy имеет ординату bb.

прямая на плоскости 2.png

Нормальное уравнение прямой

Нормальным уравнением прямой называется уравнение вида

xcosφ+ysinφ=d. x\cos\varphi+y\sin\varphi=d.

Здесь dd – расстояние от прямой до начала координат, а угол φ\varphi определяется наклоном вектора нормали данной прямой.

прямая на плскости 3.png

Каноническое уравнение прямой

Каноническим уравнением прямой на плоскости называется уравнение вида

xx0k=yy0l. \frac{x-x_0}{k}=\frac{y-y_0}{l}.

Здесь (x0,y0)(x_0,y_0) – координаты произвольной точки на прямой, а (kl){k\choose l} – координаты направляющего вектора прямой, то есть вектора, параллельного прямой.

В случае, когда k=0k=0 (соответственно, l=0l=0) прямая параллельна оси ординат и имеет вид x=x0x=x_0 (соответственно, параллельна оси абсцисс, y=y0y=y_0).

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки AA и BB удобно записывать в каноническом виде. При этом (x0,y0)(x_0,y_0) – координаты любой из точек, а (kl){k\choose l} – координаты вектора AB\overrightarrow{AB}.

Пример 2

Уравнение прямой, проходящей через точки A(2,0)A(-2,0) и B(3,4)B(3,4) имеет каноническую запись

x(2)3(2)=y040, \frac{x-(-2)}{3-(-2)}=\frac{y-0}{4-0},

то есть

x+25=y4. \frac{x+2}{5}=\frac{y}{4}.

Последнее уравнение может быть приведено к общему виду

4x5y+8=0, 4x-5y+8=0,

или записано как уравнение в отрезках

x2+y8/5=1. \frac{x}{-2}+\frac{y}{8/5}=1.

На рисунке направляющий вектор изображен красным цветом.

прямая на плоскости 4.png

Автор статьи
+0
-0
Комментарии
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Как составить резюме молодому специалисту

Что написать в резюме, если вы только окончили вуз и у вас нет опыта?
52 +39
0

Кто в России счастлив на работе

Кто в России счастлив на работе?
435 +27
4

Антиплагиат: что это такое

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
3538 +26
0

Как защищать курсовую работу

О том, как преподнести себя публике и уберечь нервную систему (не только свою), представляя свое научное детище, – читайте в нашей статье.
200 +25
1
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ