83
31 Авг в 13:1731.08.2018 в 13:17

Решение примеров с корнями

Содержание

Корень квадратный

Квадратный корень

Положительное число, квадрат которого равен aa.

Например, уравнение вида x2=9x^2 = 9 имеет два решения 33 и 3-3, поскольку оба числа при возведении в квадрат дают результат 9. Именно для выполнения таких арифметических операций используют понятие корня a=x\sqrt a=x. Однако результатом подкоренного выражения число 3-3 являться не может

Свойства арифметического квадратного корня

  1. a=xx2=a,\sqrt a=x \rightarrow x^2=a, a0a\geq0
  2. aa=a\sqrt a\cdot\sqrt a=a
  3. a2=a\sqrt{a^2}=a
  4. ab=ab,\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b, a0,a\geq0, b0b\geq0
  5. ab=ab,\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}, a0,a\geq0, b0b\geq0
  6. (a)n=an, a0\left(\sqrt a\right)^n=\sqrt{a^n},\ a\geq0
  7. (a)n=1an\left(\sqrt a\right)^{-n}=\frac{1}{\sqrt{a^n}}

При сравнении арифметических корней нужно знать, что чем больше подкоренное выражение, тем больше корень этого числа.

Пример 1

Вычислить выражение

98123162:1632:3\frac{\sqrt{98}\cdot{\sqrt{12}}^{-3}}{\sqrt{{16}^2}:\sqrt{{16}^3}\cdot\sqrt2:\sqrt3}

Решение

  1. Преобразуем подкоренное выражение 98\sqrt{98} по свойству 4 и свойству 3:

98=772=772=722=72\sqrt{98}=\sqrt{7\cdot7\cdot2}=\sqrt{7\cdot7}\cdot\sqrt2=\sqrt{7^2}\cdot\sqrt2=7\sqrt2

  1. На основании свойств 7 и 4 упростим 123{\sqrt{12}}^{-3}

123=1123=1(43)3=14333=142413231=14433=1243{\sqrt{12}}^{-3}=\frac{1}{\sqrt{{12}^3}}=\frac{1}{\sqrt{{(4\cdot3)}^3}}=\frac{1}{\sqrt{4^3}\cdot\sqrt{3^3}}=\frac{1}{\sqrt{4^2}\cdot\sqrt{4^1}\cdot\sqrt{3^2}\cdot\sqrt{3^1}}=\frac{1}{4\cdot\sqrt4\cdot3\cdot\sqrt3}=\frac{1}{24\cdot\sqrt3}

Получили

72112cdot43162:1632:3=7224316216323\frac{7\sqrt2\cdot\frac{1}{12cdot\sqrt4\cdot\sqrt3}}{\sqrt{{16}^2}:\sqrt{{16}^3}\cdot\sqrt2:\sqrt3}=\frac{\frac{7\sqrt2}{24\cdot\sqrt3}}{\frac{\sqrt{{16}^2}}{\sqrt{{16}^3}}\cdot\frac{\sqrt2}{\sqrt3}}

  1. Преобразуем 162163\frac{\sqrt{{16}^2}}{\sqrt{{16}^3}} по свойству 5

162163=162163=116=14\frac{\sqrt{{16}^2}}{\sqrt{{16}^3}}=\sqrt{\frac{{16}^2}{{16}^3}}=\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}

Получили

722431423=72243243=72243432\frac{\frac{7\sqrt2}{24\bullet\sqrt3}}{\frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt2}{\sqrt3}}=\frac{\frac{7\sqrt2}{24\sqrt3}}{\frac{\sqrt2}{4\sqrt3}}=\frac{7\sqrt2}{24\sqrt3}\cdot\frac{4\sqrt3}{\sqrt2}

  1. Выполним сокращения

72243432=7464=76\frac{7\sqrt2}{24\sqrt3}\cdot\frac{4\sqrt3}{\sqrt2}=\frac{7\cdot4}{6\cdot4}=\frac{7}{6}

Ответ: 98123162:1632:3=76\frac{\sqrt{98}\cdot{\sqrt{12}}^{-3}}{\sqrt{{16}^2}:\sqrt{{16}^3}\cdot\sqrt2:\sqrt3}=\frac{7}{6}

Пример 2

Вычислить выражение при x=2x = 2
x21(x+5)2(x+5)(x21)4:(x1)(x+1)\frac{\sqrt{x^2-1}\cdot\sqrt{{(x+5)}^2}}{(x+5)\cdot\sqrt{\left(x^2-1\right)^4}:\sqrt{(x-1)(x+1)}}

Решение

  1. Упростим знаменатель, для чего свернем выражение

(x1)(x+1)=x21\left(x-1\right)\left(x+1\right)=x^2-1

Таким образом,

x21(x+5)2(x+5)(x21)4:x21=x21(x+5)2x21(x+5)(x21)4\frac{\sqrt{x^2-1}\cdot\sqrt{{(x+5)}^2}}{(x+5)\cdot\sqrt{\left(x^2-1\right)^4}:\sqrt{x^2-1}}=\frac{\sqrt{x^2-1}\cdot\sqrt{{(x+5)}^2}\cdot\sqrt{x^2-1}}{(x+5)\cdot\sqrt{\left(x^2-1\right)^4}}

  1. По свойству 2

x21x21=x21\sqrt{x^2-1}\cdot\sqrt{x^2-1}=x^2-1

Значит,

x21(x+5)2(x+5)(x21)4\frac{x^2-1\cdot\sqrt{{(x+5)}^2}}{(x+5)\cdot\sqrt{\left(x^2-1\right)^4}}

  1. По свойству 3

(x+5)2=(x+5)\sqrt{{(x+5)}^2}=(x+5)

Получим

x21(x+5)(x+5)(x21)4\frac{x^2-1\cdot(x+5)}{(x+5)\cdot\sqrt{\left(x^2-1\right)^4}}

  1. Разобьем корень на слагаемые

(x21)4=(x21)2(x21)2=(x21)(x21)\sqrt{\left(x^2-1\right)^4}=\sqrt{\left(x^2-1\right)^2}\cdot\sqrt{\left(x^2-1\right)^2}=\left(x^2-1\right)\cdot\left(x^2-1\right)

  1. Упростим выражение, выполнив сокращения

x21(x+5)(x+5)(x21)(x21)=x21(x21)(x21)=1(x21)\frac{x^2-1\cdot(x+5)}{(x+5)\cdot\left(x^2-1\right)\cdot\left(x^2-1\right)}=\frac{x^2-1}{\left(x^2-1\right)\cdot\left(x^2-1\right)}=\frac{1}{\left(x^2-1\right)}

Заменим х известным значением

1(x21)=1(221)=13\frac{1}{\left(x^2-1\right)}=\frac{1}{\left(2^2-1\right)}=\frac{1}{3}

Ответ: При x=2x = 2, выражение
x21(x+5)2(x+5)(x21)4:(x1)(x+1)=13\frac{\sqrt{x^2-1}\cdot\sqrt{{(x+5)}^2}}{(x+5)\cdot\sqrt{\left(x^2-1\right)^4}:\sqrt{(x-1)(x+1)}}=\frac{1}{3}

Корень степени n

Корень произвольной степени $n$

Число, nn степень которого равна aa.

Корень nn степени может быть определен только в следующих случаях:

  • если nn – четное число (2, 4, 6 и др.), то корень извлекается только при положительном подкоренном выражении;
  • если nn – число нечетное (3, 5, 7 и др.), то корень извлекается при любом значении выражения под корнем.
Следствие

Кубический корень в отличие от квадратного существует при a0a\geq0 и a<0a<0.

Свойства корня nn степени:

  1. an=x xn=a\sqrt[n]{a}=x\ \rightarrow x^n=a
  2. anam=an+mилиan:am=anm\sqrt[n]{a}\bullet\sqrt[m]{a}=\sqrt[n+m]{a} или \sqrt[n]{a}:\sqrt[m]{a}=\sqrt[n-m]{a}
  3. ann=a\sqrt[n]{a^n}=a
  4. abn=anbn\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}
  5. abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}
  6. (an)m=amn\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}
  7. (an)m=1amn\left(\sqrt[n]{a}\right)^{-m}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}
  8. amn=amn\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}

Для удобства корни степени nn можно преобразовать к степени по свойству 8

Пример 1

Упростить выражение

25375xy53143573253xy14235\frac{\sqrt[3]{25}\cdot\sqrt[5]{7}xy}{\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{14}}\cdot\frac{5\sqrt{7^3}\cdot\sqrt[3]{25}xy}{\sqrt[3]{{14}^2}\cdot5}

Решение

  1. Представим подкоренные выражения в виде произведения простых множителей

55375xy53723573553(72)235xy\frac{\sqrt[3]{5\cdot5}\cdot\sqrt[5]{7}xy}{\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{7\cdot2}}\cdot\frac{5\sqrt{7^3}\cdot\sqrt[3]{5\cdot5}}{\sqrt[3]{\left(7\cdot2\right)^2}\cdot5}xy

  1. По свойству 4 выполним следующие действия

535375xy5373235735353727235xy=535375xy5373235735353732373235x\frac{\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[5]{7}xy}{\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{7}\cdot\sqrt[3]{2}}\cdot\frac{5\sqrt{7^3}\cdot\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{7\cdot2\cdot7\cdot2}\cdot5xy}=\frac{\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[5]{7}xy}{\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{7}\cdot\sqrt[3]{2}}\cdot\frac{5\sqrt{7^3}\cdot\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{7}\cdot\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{7}\cdot\sqrt[3]{2}\cdot5}x

  1. Сократим числитель и знаменатель

535375xy5373235735353732373235xy=5375xy732373535373237323xy\frac{\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[5]{7}xy}{\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{7}\cdot\sqrt[3]{2}}\cdot\frac{5\sqrt{7^3}\cdot\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{7}\cdot\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{7}\cdot\sqrt[3]{2}\cdot5xy}=\frac{\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[5]{7}xy}{\sqrt[3]{7}\cdot\sqrt[3]{2}}\cdot\frac{\sqrt{7^3}\cdot\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{7}\cdot\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{7}\cdot\sqrt[3]{2}}xy

По свойству 2

7573=753=725372xy2373535373237323x\frac{\sqrt[5]{7}}{\sqrt[3]{7}}=\sqrt[5-3]{7}=\sqrt[2]{7} \frac{\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[2]{7}xy}{\sqrt[3]{2}}\cdot\frac{\sqrt{7^3}\cdot\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{7}\cdot\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{7}\cdot\sqrt[3]{2}}x

  1. По свойству 8 перейдем от корней к степеням

513712xy213732513513713213713213xy=513712xy213732523723223xy\frac{5^\frac{1}{3}\cdot7^\frac{1}{2}xy}{2^\frac{1}{3}}\cdot\frac{7^\frac{3}{2}\cdot5^\frac{1}{3}\cdot5^\frac{1}{3}}{7^\frac{1}{3}\cdot2^\frac{1}{3}\cdot7^\frac{1}{3}\cdot2^\frac{1}{3}\cdot x y}=\frac{5^\frac{1}{3}\cdot7^\frac{1}{2}xy}{2^\frac{1}{3}}\cdot\frac{7^\frac{3}{2}\cdot5^\frac{2}{3}}{7^\frac{2}{3}\cdot2^\frac{2}{3}}xy

  1. По свойству степеней 732:723=732+23=7567^\frac{3}{2}:7^\frac{2}{3}=7^{\frac{3}{2}+\frac{2}{3}}=7^\frac{5}{6}

513712xy213756523xy223=513712xy756523xy213+23=533743(xy)2233=52743(xy)2\frac{5^\frac{1}{3}\cdot7^\frac{1}{2}xy}{2^\frac{1}{3}}\cdot\frac{7^\frac{5}{6}\cdot5^\frac{2}{3}xy}{2^\frac{2}{3}}=\frac{5^\frac{1}{3}\cdot7^\frac{1}{2}xy\cdot7^\frac{5}{6}\cdot5^\frac{2}{3}xy}{2^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}}=\frac{5^\frac{3}{3}\cdot7^\frac{4}{3}\left(xy\right)^2}{2^\frac{3}{3}}=\frac{5}{2}7^\frac{4}{3}\left(xy\right)^2

Ответ: 25375xy53143+573253xy14235=52743(xy)2\frac{\sqrt[3]{25}\cdot\sqrt[5]{7}xy}{\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{14}}+\frac{5\sqrt{7^3}\cdot\sqrt[3]{25}xy}{\sqrt[3]{{14}^2}\cdot5}=\frac{5}{2}7^\frac{4}{3}\left(xy\right)^2

Автор статьи
+0
-0
Комментарии
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Как защищать курсовую работу

О том, как преподнести себя публике и уберечь нервную систему (не только свою), представляя свое научное детище, – читайте в нашей статье.
132 +20
1

Кто в России счастлив на работе

Кто в России счастлив на работе?
359 +20
3

Антиплагиат: что это такое

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
3462 +17
0

Сессия досрочно

Можно ли сдать экзамены раньше срока?
1306 +15
1
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ