131
27 Авг в 09:3127.08.2018 в 09:31

Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы

Перед тем как перейти к решению систем линейных уравнений методом обратной матрицы вспомним, что такое обратная матрица, какие способы ее нахождения существуют, что такое матричные уравнения и как они решаются.

Система линейных уравнений (СЛУ)

Под системой линейных уравнений (СЛУ) будем понимать систему {a11x1+a12x2+a13x3++a1nxn=b1,a21x1+a22x2+a23x3++a2nxn=b2,.am1x1+am2x2+am3x3++amnxn=bm.\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}+\ldots+a_{1n}x_{n}=b_{1},\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+\ldots+a_{2n}x_{n}=b_{2},\\\ldots\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots.\\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+a_{m3}x_{3}+\ldots+a_{mn}x_{n}=b_{m}.\end{cases},
содержащую mm уравнений и nn неизвестных.

Линейность означает, что все неизвестные в уравнении содержатся в первой степени.

Рассмотрим на схеме основные понятия, связанные с понятием системы линейных уравнений.

Решение систем линейных уравнений.png

Матричная форма записи СЛУ

С каждой системой линейных уравнений

{a11x1+a12x2+a13x3++a1nxn=b1,a21x1+a22x2+a23x3++a2nxn=b2,.am1x1+am2x2+am3x3++amnxn=bm.\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}+\ldots+a_{1n}x_{n}=b_{1},\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+\ldots+a_{2n}x_{n}=b_{2},\\\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots.\\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+a_{m3}x_{3}+\ldots+a_{mn}x_{n}=b_{m}.\end{cases} можно связать несколько матриц.

  1. Матрица системы, состоящая из коэффициентов заданной системы линейных уравнений: A=(a11a12a13a1na21a22a23a2nam1am2am3amn)A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots&a_{2n}\\\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\ldots&a_{mn}\end{pmatrix}.

  2. Матрица неизвестных, состоящая из столбца, который содержит неизвестные x1,x2,...,xn:x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}:

X=(x1x2...xn)X=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\...\\x_{n}\end{pmatrix}.

  1. Матрица свободных членов, состоящая из столбца, который содержит свободные члены b1,b2,...,bm:b_{1}, b_{2}, ... , b_{m}:

B=(b1b2...bm)B=\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\ ... \\b_{m}\end{pmatrix}.

Используя введенные обозначения (AA — матрица системы, XX — матрица неизвестных, BB — матрица свободных членов) СЛУ можно записать в виде матричного уравнения AX=BA\cdot X=B, поэтому метод обратной матрицы, по существу, является частным случаем матричного уравнения.

Важно!

Метод обратной матрицы может применяться только для тех систем линейных уравнений, у которых определитель матрицы системы отличен от нуля, а именно A0\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}\neq0. Если же A=0\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=0, то решить СЛУ матричным методом невозможно (в таком случае СЛУ может быть решена методом Гаусса).

Алгоритм решения СЛУ методом обратной матрицы

  1. Записать систему линейных уравнений в матричной форме: AX=BA\cdot X=B, где

A=(a11a12a13a1na21a22a23a2nam1am2am3amn)A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots&a_{2n}\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\ldots&a_{mn}\end{pmatrix} — матрица системы,

X=(x1x2...xn)X=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\...\\x_{n}\end{pmatrix} — матрица неизвестных,

B=(b1b2...bm)B=\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\...\\b_{m}\end{pmatrix} — матрица свободных членов.

  1. Решить матричное уравнение AX=BA\cdot X=B:

2.1 Найти обратную матрицу A1A^{-1} одним из способов.
2.2 Найти XX, используя равенство X=(x1x2...xn)=A1BX=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\...\\x_{n}\end{pmatrix}=A^{-1}\cdot B.
Рассмотрим примеры решения СЛУ методом обратной матрицы.

Пример 1

Решить систему {x12x2+x3=1,2x1x2+x3=2,3x1+2x2+2x3=2.\begin{cases}x_{1}-2x_{2}+x_{3}=1,\\2x_{1}-x_{2}+x_{3}=2,\\3x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=-2.\end{cases} с помощью обратной матрицы.

Запишем систему в матричной форме AX=BA\cdot X=B, где

A=(121211322)A=\begin{pmatrix}1&-2&1\\2&-1&1\\3&2&2\end{pmatrix},

X=(x1x2x3)X=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix},

B=(122):B=\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}:

(121211322)(x1x2x3)=(122)\begin{pmatrix}1&-2&1\\2&-1&1\\3&2&2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}.

121211322=50\begin{vmatrix}1&-2&1\\2&-1&1\\3&2&2\end{vmatrix}=5\neq0, значит, уравнение можно решить методом обратной матрицы.

Найдем обратную матрицу A1A^{-1} методом элементарных преобразований.

Составим расширенную матрицу:

(121211322100010001)\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-2&1\\2&-1&1\\3&2&2\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\end{pmatrix}.

Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на -2:

(121211322100010001)(121031322100210001)\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-2&1\\2&-1&1\\3&2&2\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-2&1\\0&3&-1\\3&2&2\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0&0\\-2&1&0\\0&0&1\end{matrix}\end{pmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №1, умноженную на -3:

(121031322100210001)(121031081100210301)\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-2&1\\0&3&-1\\3&2&2\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0&0\\-2&1&0\\0&0&1\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-2&1\\0&3&-1\\0&8&-1\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0&0\\-2&1&0\\-3&0&1\end{matrix}\end{pmatrix}.

Прибавим к строке №2 строку №3, умноженную на -1:

(121031081100210301)(121050081100111301)\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-2&1\\0&3&-1\\0&8&-1\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0&0\\-2&1&0\\-3&0&1\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-2&1\\0&-5&0\\0&8&-1\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0&0\\1&1&-1\\-3&0&1\end{matrix}\end{pmatrix}.

Умножим строку №2 на 15-\frac{1}{5}:

(121050081100111301)(121010081100151515301)\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-2&1\\0&-5&0\\0&8&-1\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0&0\\1&1&-1\\-3&0&1\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-2&1\\0&1&0\\0&8&-1\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0&0\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-3&0&1\end{matrix}\end{pmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №2, умноженную на -8:

(121010081100151515301)(121010001100151515758535)\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-2&1\\0&1&0\\0&8&-1\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0&0\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-3&0&1\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-2&1\\0&1&0\\0&0&-1\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0&0\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{7}{5}&\frac{8}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\end{pmatrix}.

Умножим строку №3 на -1:

(121010001100151515758535)(121010001100151515758535)\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-2&1\\0&1&0\\0&0&-1\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0&0\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{7}{5}&\frac{8}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-2&1\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0&0\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{7}{5}&-\frac{8}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\end{pmatrix}.

Прибавим к строке №1 строку №3, умноженную на -1:

(121010001100151515758535)(120010001258535151515758535)\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-2&1\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0&0\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{7}{5}&-\frac{8}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-2&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{8}{5}&-\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{7}{5}&-\frac{8}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\end{pmatrix}.

Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на 2:

(120010001258535151515758535)(100010001456515151515758535)\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-2&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{8}{5}&-\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{7}{5}&-\frac{8}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}-\frac{4}{5}&\frac{6}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{7}{5}&-\frac{8}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\end{pmatrix}.

A1=(456515151515758535)=15(461111783)A^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac{4}{5}&\frac{6}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{7}{5}&-\frac{8}{5}&\frac{3}{5}\end{pmatrix}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}-4&6&-1\\-1&-1&1\\7&-8&3\end{pmatrix}.

Подставим матрицы в равенство X=A1BX=A^{-1}\cdot B:

(x1x2x3)=15(461111783)(122)=15(10515)=(213)\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}-4&6&-1\\-1&-1&1\\7&-8&3\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}10\\-5\\-15\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}.

Получили равенство (x1x2x3)=(213)\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}. Исходя из этого, имеем: x1=2,x2=1,x3=3x_{1}=2, x_{2}=-1, x_{3}=-3.

Ответ: x1=2,x2=1,x3=3x_{1}=2, x_{2}=-1, x_{3}=-3.

Пример 2

Решить систему {3x1+2x2+x3=5,2x1+3x2+x3=1,2x1+x2+3x3=11.\begin{cases}3x_{1}+2x_{2}+x_{3}=5,\\2x_{1}+3x_{2}+x_{3}=1,\\2x_{1}+x_{2}+3x_{3}=11.\end{cases} с помощью обратной матрицы.

Запишем систему в матричной форме AX=BA\cdot X=B,

где A=(321231213)A=\begin{pmatrix}3&2&1\\2&3&1\\2&1&3\end{pmatrix},
X=(x1x2x3)X=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix},

B=(5111):B=\begin{pmatrix}5\\1\\11\end{pmatrix}:

(321231213)(x1x2x3)=(5111)\begin{pmatrix}3&2&1\\2&3&1\\2&1&3\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\1\\11\end{pmatrix}.

321231213=120\begin{vmatrix}3&2&1\\2&3&1\\2&1&3\end{vmatrix}=12\neq0, значит, уравнение можно решить методом обратной матрицы.

Найдем обратную матрицу A1A^{-1} по формуле A1=1AATA^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot A_{*}^{T}, где ATA_{*}^{T}транспонированная матрица алгебраических дополнений.

AT=(a11a21a31a12a22a32a13a23a33)A_{*}^{T}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{21}&a_{31}\\a_{12}&a_{22}&a_{32}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}, aija_{ij} — алгебраические дополнения матрицы AA.

AT=(851471415)A_{*}^{T}=\begin{pmatrix}8&-5&-1\\-4&7&-1\\-4&1&5\end{pmatrix}.

A1=112(851471415)A^{-1}=\frac{1}{12}\cdot \begin{pmatrix}8&-5&-1\\-4&7&-1\\-4&1&5\end{pmatrix}.

Подставим матрицы в равенство X=A1BX=A^{-1}\cdot B:

(x1x2x3)=112(851471415)(5111)=112(242436)=(223)\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}=\frac{1}{12}\begin{pmatrix}8&-5&-1\\-4&7&-1\\-4&1&5\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}5\\1\\11\end{pmatrix}=\frac{1}{12}\begin{pmatrix}24\\-24\\36\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}.

Получили равенство (x1x2x3)=(223)\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}.

Исходя из этого, имеем: x1=2,x2=2,x3=3x_{1}=2, x_{2}=-2, x_{3}=3.

Ответ: x1=2,x2=2,x3=3x_{1}=2, x_{2}=-2, x_{3}=3.

Автор статьи
+0
-0
Комментарии
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Кто в России счастлив на работе

Кто в России счастлив на работе?
358 +21
3

Как защищать курсовую работу

О том, как преподнести себя публике и уберечь нервную систему (не только свою), представляя свое научное детище, – читайте в нашей статье.
132 +20
1

Антиплагиат: что это такое

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
3462 +17
0

Образование за рубежом: все ли так идеально?

Студенты за рубежом выступают против платного образования и поддельных дипломов.
20 +14
0
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ