Решение квадратного уравнения

Квадратным называется уравнение следующего вида:

Общий вид квадратного уравнения

$ax^2+bx+c=0$

$x$ — неизвестная величина;
$a, b, c$ — числовые, постоянные коэффициенты, среди которых $a$ не должно быть равно нулю, иначе уравнение примет линейный вид.

Решением данного уравнения называется такое число “икс”, при подстановке которого в исходное выражение оно становится верным тождеством, то есть его правая часть будет равна левой.

Уравнения такого типа имеют несколько вариантов решений: это может быть один корень, либо два корня из множества вещественных чисел или это будут комплексные числа.

Так же существует несколько способов решения таких уравнений. Разберем их подробнее.

Здесь будет калькулятор

Способ 1 (через дискриминант)

Первым шагом при решении квадратного уравнения будет являться нахождение так называемого дискриминанта. Он вычисляется по следующей формуле:

$D=b^4-4\cdot a\cdot c$

Сами же корни уравнения находятся следующим образом:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2\cdot a}$

Причем корни будут вещественными, если дискриминант не отрицателен.
В случае же, когда он равен нулю, то уравнение имеет единственное решение, которое можно найти по формуле:

$x=\frac{-b}{2\cdot a}$

Задача 1

Решить квадратное уравнение:

$x^2-3x-4=0$

Решение

Ищем дискриминант:

$D=b^4-4\cdot a\cdot c=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-4)=25$

Дискриминант больше нуля, значит уравнение имеет два корня. Находим их по формуле:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2\cdot a}=\frac{3+5}{2\cdot 1}=4$

$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2\cdot a}=\frac{3-5}{2\cdot 1}=-1$

Ответ

$x_1=4, x_2=-1$

Разберем теперь случай, когда дискриминант получается отрицательным. Если $D<0$, то корни квадратного уравнения нужно вычислять по формуле:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{|D|}}{2\cdot a}$

$i$ — это мнимая единица (это такое комплексное число, для которого $i^2=-1$;
$|D|$ — абсолютная величина (модуль) дискриминанта, то есть положительное число.

Задача 2

Найти корни уравнения:

$-x^2+3x-7=0$

Находим дискриминант по той же формуле:

$D=b^4-4\cdot a\cdot c=3^2-4\cdot(-1)\cdot(-7)=-19$

Корни этого уравнения:

$x_1=\frac{-b+i\sqrt{|D|}}{2\cdot a}=\frac{-3+i\sqrt{19}}{2\cdot (-1)}\approx1.5-2.179i$

$x_1=\frac{-b-i\sqrt{|D|}}{2\cdot a}=\frac{-3-i\sqrt{19}}{2\cdot (-1)}\approx1.5+2.179i$

Ответ

$x_1=1.5-2.179i, x_2=1.5+2.179i$

Способ 2 (через теорему Виета)

Данный метод нахождения корней лучше использовать для приведенных квадратных уравнений, то есть для тех, у которых в уравнении вида:

$ax^2+bx+c=0$

$a=1$

Тогда корни будут удовлетворять таким двум условиям:

$x_1+x_2=-b$

$x_1\cdot x_2=c$

Задача 3

Решить уравнение:

$x^2-5x+6=0$

данным методом.

Решение

$x_1+x_2=5$

$x_1\cdot x_2=6$

Путем подбора наши корни имеют такие значения: $2$ и $3$. Проверяем ответ, подставив их в исходное уравнение:

$2^2-5\cdot2+6=0$ — верно;

$3^2-5\cdot3+6=0$ — верно.

Значит, ответ получен правильный.

Ответ

$x_1=2, x_2=3$

Статья по математике на заказ от проверенных исполнителей!

Тест по теме “Решение квадратного уравнения”